第8章 概率单元综合能力测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．随机变量服从正态分布，，，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由对称性可知，
故.
故选：A
2．袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】B
【解析】设第一次取得白球为事件，第二次取得红球为事件，
所以在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为：
.
故选：B.
3．设，随机变量的分布列为：
5 8 9
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
所以.
故选：D
4．随机变量，若，，则（ ）
A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.85
【答案】C
【解析】因为随机变量，
所以，
，
解得，
所以，
故选：C
5．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A
，
所以，
对于B
，
所以，
对于C
，
所以，
对于D
，
所以，
故选：C
6．已知离散型随机变量X的分布列如下，则的最大值为（ ）
X 0 1 2
P a
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】，故，
易得，，则，
故，
，
又因为，所以．
故选：C．
7．袋子中装有3个红球和4个蓝球，甲先从袋子中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋子中随机摸一个球，若甲 乙两人摸到红球的概率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【解析】设为“甲摸到红球”，为“乙摸到红球”，
而乙两人摸到红球可分为甲摸到红球后乙摸到红球、甲摸到蓝球后乙摸到红球，
则，
而
，
故，
故选：A.
8．江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（ ）
参考数据：若，则，，
A．若出门，则开私家车不会迟到
B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到
【答案】D
【解析】对于A，当满足时，
江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A错误；
对于，若出门，
①江先生开私家车，
当满足时，
此时江先生开私家车不会迟到；
②江先生乘坐地铁，
当满足时，
此时江先生乘坐地铁不会迟到；
此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B错误；
对于C，若出门，
①江先生开私家车，
当满足时，
此时江先生开私家车不会迟到；
②江先生乘坐地铁，
当满足时，此时江先生乘坐地铁不会迟到；
此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C错误；
对于D，若出门，
江先生乘坐地铁上班，
当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到，
此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设离散型随机变量的分布列为：
0 1 2 3
0.4 0.3 0.2
若离散型随机变量满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由分布列的性质知，则，
故，故A正确；
，故C错误；
则，故B正确；
所以，故D正确．
故选：ABD．
10．若随机变量，下列说法中正确的有（ ）
A． B．期望
C．期望 D．方差
【答案】AC
【解析】因为随机变量，则，，
，
由期望的性质可得，
由方差的性质可得，AC对，BD错.
故选：AC.
11．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（若，则）
A．
B．
C．
D．取得最大值时，的估计值为53
【答案】ACD
【解析】依题意，，A正确；
由，则，
又，
于是，即，
因此，即，则，B错误；
由
又，C正确；
，
设，由，
解得，即，
由，解得，即，
所以最大时的估计值为53，D正确.
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某科研型农场试验了生态柳丁的种植，在种植基地从收获的果实中随机抽取100个，得到其质量（单位：g）的频率分布直方图及商品果率的频率分布表如图．已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，用频率估计概率，现从中随机抽取1个柳丁，则该柳丁为商品果的概率为 ．
质量/g
商品果率 0.7 0.8 0.8 0.9 0.7
【答案】/
【解析】记事件 “从柳丁中任取1个为商品果”，由全概率公式可得
，
故答案为：.
13．为准备2022年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为 ．附：，，．
【答案】13
【解析】正态分布，可知，
分及以上的人数为人，则，
由正态分布曲线的对称性可得：，得，
所以，则，
则分及以上的人数为人.
故答案为：.
14．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．
【答案】
【解析】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚字宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就.某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照，，，分组，得到如图所示的样本频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；
(2)从测试成绩在的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛.现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立，记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求分布列及期望.
【解析】（1）成绩落在内的频率为，
成绩落在内的频率为，
成绩落在内的频率为，
由于，，
故该校学生测试成绩的中位数落在内，
设中位数为，则，解得，
故估计该校学生测试成绩的中位数为
（2）从6道题中选4道共有种选择，
因为甲能答对其中的4道，故甲能进行复赛的情况有种，
故甲能进行复赛的概率为，不能进复赛的概率为，
因为乙能答对其中的3道，故乙能进行复赛的情况有种，
故乙能进行复赛的概率为，不能进复赛的概率为，
的可能取值为，
，，，
故分布列如下：
0 1 2
数学期望为.
16．（15分）
在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.若已知接收的信号为0，求发送的信号为1的概率.
【解析】设A表示“发送的信号为0”，B表示“接收的信号为0”，则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”.
由题意得，，，，，.
由贝叶斯公式有.
故已知接收的信号为0，则发送的信号为1的概率为.
17．（15分）
法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g，上下浮动不超过50 g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布．
(1)已知如下结论：若X～N（μ，σ2），从X的取值中随机抽取k（k∈N*，k≥2）个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N.利用该结论解决下面问题．
①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求P（Y≤980）；
②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在区间（950，1 050）内，并得出计算25个面包的平均质量为978.72 g．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包3个．现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黑色面包个数的分布列及数学期望．
附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤η≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤η≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤η≤μ＋3σ）≈0.997 3；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
【解析】（1）①因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以.
②由①知，
又由这25个面包的平均质量为，
因为，而为小概率事件，
小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包的理由.
（2）设取出黑色面包的个数为，则的所有可能取值为，
可得，，
，
所以分布列为
0 1 2
所以期望为.
18．（17分）
11月29日，辽宁省政府新闻办召开“山海有情 天辽地宁”冰雪主题系列首场现场新闻发布会，该会重点介绍今年沈阳市深入开展冰雪旅游 冰雪运动 冰雪文化的主要举措 重点活动和亮点特色.某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券.该冰雪乐园计划通过摸球兄奖的方式对1000位顾客发放消费券，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额.
(1)若袋中所装的4个球中1个所标的面值为30元，其余3个均为20元，求顾客所获得的消费券的总额为50元的概率.
(2)该冰雪乐园对消费券总额的预算是100000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值40元 60元的2种球组成，或由标有面值30元 50元 70元的3种球组成.为了使顾客得到的消费券总额的期望符合该冰雪乐园的预算且每位顾客所获得的消费券的总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计方案，并说明理由.
【解析】（1）顾客所获得的消费券的总额为50元的概率为.
（2）根据该冰雪乐园的预算，每个顾客的平均奖励额为100元，所以先寻找期望为100元的可能方案.
对于面值由40元 60元组成的情况：
如果选择的方案，因为100元是面值之和的最大值，所以期望不可能为100元；
如果选择的方案，因为100元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为100元；
因此可能的方案是，记为方案1.
方案1，设每位顾客所获得的消费券的总额为，则的取值范围是，
，
则.
对于面值由30元 50元 70元组成的情况：
可能的方案是，，分别记为方案2，方案3，方案4.
易知方案2，方案3，方案4每位顾客所获得的消费券的总额的期望依次增大，所以先研究方案3.
方案3，设每位顾客所获得的消费券的总额为，则的取值范围是，，则.
所以在方案2，方案3，方案4中，方案3符合该冰雪乐园的预算.
因为，所以比较方案1，方案3的方差.
，
.
因为，
所以选择方案1，即这4个球的面值为40元 40元 60元 60元.
19．（17分）
现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；
(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．
【解析】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；
（2）由题可知可取，
，
，
所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为
1 2 3
P
（3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，
且，
化解得，
得，
而则数列为等比数列,首项为，公比为，
所以，
又由求得：
因此．第8章 概率单元综合能力测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．随机变量服从正态分布，，，则（ ）
A． B． C．1 D．
2．袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6
3．设，随机变量的分布列为：
5 8 9
则（ ）
A． B． C． D．
4．随机变量，若，，则（ ）
A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.85
5．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知离散型随机变量X的分布列如下，则的最大值为（ ）
X 0 1 2
P a
A． B． C． D．1
7．袋子中装有3个红球和4个蓝球，甲先从袋子中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋子中随机摸一个球，若甲 乙两人摸到红球的概率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．或
8．江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（ ）
参考数据：若，则，，
A．若出门，则开私家车不会迟到
B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设离散型随机变量的分布列为：
0 1 2 3
0.4 0.3 0.2
若离散型随机变量满足，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若随机变量，下列说法中正确的有（ ）
A． B．期望
C．期望 D．方差
11．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（若，则）
A．
B．
C．
D．取得最大值时，的估计值为53
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某科研型农场试验了生态柳丁的种植，在种植基地从收获的果实中随机抽取100个，得到其质量（单位：g）的频率分布直方图及商品果率的频率分布表如图．已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，用频率估计概率，现从中随机抽取1个柳丁，则该柳丁为商品果的概率为 ．
质量/g
商品果率 0.7 0.8 0.8 0.9 0.7
13．为准备2022年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为 ．附：，，．
14．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚字宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就.某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照，，，分组，得到如图所示的样本频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；
(2)从测试成绩在的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛.现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立，记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求分布列及期望.
16．（15分）
在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.若已知接收的信号为0，求发送的信号为1的概率.
17．（15分）
法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g，上下浮动不超过50 g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布．
(1)已知如下结论：若X～N（μ，σ2），从X的取值中随机抽取k（k∈N*，k≥2）个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N.利用该结论解决下面问题．
①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求P（Y≤980）；
②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在区间（950，1 050）内，并得出计算25个面包的平均质量为978.72 g．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包3个．现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黑色面包个数的分布列及数学期望．
附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤η≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤η≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤η≤μ＋3σ）≈0.997 3；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
18．（17分）
11月29日，辽宁省政府新闻办召开“山海有情 天辽地宁”冰雪主题系列首场现场新闻发布会，该会重点介绍今年沈阳市深入开展冰雪旅游 冰雪运动 冰雪文化的主要举措 重点活动和亮点特色.某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券.该冰雪乐园计划通过摸球兄奖的方式对1000位顾客发放消费券，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额.
(1)若袋中所装的4个球中1个所标的面值为30元，其余3个均为20元，求顾客所获得的消费券的总额为50元的概率.
(2)该冰雪乐园对消费券总额的预算是100000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值40元 60元的2种球组成，或由标有面值30元 50元 70元的3种球组成.为了使顾客得到的消费券总额的期望符合该冰雪乐园的预算且每位顾客所获得的消费券的总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计方案，并说明理由.
19．（17分）
现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；
(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．
