8.3 正态分布
课程标准 学习目标
（1）了解正态分布在实际生活中的意义和作用. （2）掌握正态分布的特点及正态分布曲线所表示的意义、性质. （1）利用实际问题的频率分布直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义. （2）了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率大小. （3）掌握正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率．
知识点01 正态分布
1、正态曲线
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布．
2、由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
（1）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（2）曲线在处达到峰值；
（3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴．
3、正态分布的期望与方差
若，则，．
4、正态变量在三个特殊区间内取值的概率
（1）；
（2）；
（3）．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则．
【即学即练1】（多选题）（2024·高二·江苏·课前预习）甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布)，，其正态密度曲线，x∈R 如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
【答案】ABC
【解析】由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，
所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，
故A，C正确；
因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；
因为乙图象的最大值为1.99，即，所以，故D错误.
故选：ABC.
题型一：正态曲线的图象的应用
【典例1-1】（2024·高二·江苏·课时练习）已知正态分布密度函数，，则分别是（ ）
A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和
【答案】B
【解析】，
.
故选：B.
【典例1-2】（2024·高二·全国·课时练习）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由正态分布密度函数，可得.
故选：C.
【变式1-1】（2024·高三·全国·竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】或，因为，
所以或，即或，
或或
因为服从标准正态分布，所以根据对称性可知，所以函数关于对称，故排除AC；
当时，，，所以或,因为，其中，，，根据原则可知，，所以排除B；
故选：D
【变式1-2】（2024·高二·全国·课时练习）给出下列函数：①；②；③；④，其中，，则可以作为正态分布密度函数的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①，，由于，所以，故它可以作为正态分布密度函数；
对于②，若，则应为，若，则应为，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；
对于③，它就是当，时的正态分布密度函数；
对于④，它是当时的正态分布密度函数．
所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数．
故选：C
【变式1-3】（2024·高二·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D；
又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确.
故选：A.
【方法技巧与总结】
利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为，二是最大值为．这两点确定以后，相应参数便确定了，代入中便可求出相应的解析式．
题型二：利用正态分布的对称性求参数
【典例2-1】（2024·高二·广西北海·期末）已知随机变量，且，则（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【解析】由随机变量，所以函数曲线关于直线对称，
又，且，所以.
故选：B
【典例2-2】（2024·高二·山东济宁·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，.
故选：B.
【变式2-1】（2024·高二·辽宁鞍山·阶段练习）设随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】由题意随机变量X服从正态分布，即正态分布曲线关于对称,
因为，
故，
故选：B
【变式2-2】（2024·高二·辽宁沈阳·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以．
故选：D
【变式2-3】（2024·高二·湖北·期末）已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，
，解得：.
故选：B.
【方法技巧与总结】
对称法：由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和为1，故关于直线对称的区间概率相等．如：
①；
②．
题型三：正态曲线的性质
【典例3-1】（多选题）（2024·高三·山东日照·期末）数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当都增大时，概率增大
【答案】BC
【解析】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，即，故A不正确；
对于B, 当时，，故B正确；
对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在的概率是常数，
故由可知，C正确，D错误，
故选：BC
【典例3-2】（多选题）（2024·高三·河北·期末）若随机变量，，X、Y的分布密度曲线如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】观察图象知，的均值比的均值小，的标准差比的标准差大，即，，即A正确，B错误；
，，
而，则，C错误；
由，，得，
因此，D正确.
故选：AD
【变式3-1】（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
【答案】AC
【解析】X，Y均服从正态分布，，
结合正态密度函数的图象可知，可得，，
故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；
甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．
故选：AC
【变式3-2】（多选题）（2024·高三·江西·阶段练习）若随机变量，则（ ）
A．的密度曲线与轴只有一个交点 B．的密度曲线关于对称
C． D．若，则，
【答案】ACD
【解析】若，则其密度函数，因此的密度曲线与轴只有一个交点，故A正确；
的密度曲线关于直线对称，故B错误；
，故C正确；
，，故D正确.
故选：ACD.
【方法技巧与总结】
由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
（1）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（2）曲线在处达到峰值；
（3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴．
题型四：特殊区间与指定区间的概率
【典例4-1】（2024·高二·安徽滁州·期末）若随机变量，，则 ．
【答案】
【解析】由题意知，，，所以，
，
故答案为：
【典例4-2】（2024·高二·天津滨海新·期末）如果随机变量，且，那么 .
【答案】0.8/
【解析】因为随机变量，
所以正态曲线的对称轴是，
所以，
所以.
故答案为：0.8.
【变式4-1】（2024·高二·广东佛山·期末）设随机变量，，则 .
【答案】0.15/
【解析】因为，由对称性可知.
故答案为：0.15
【变式4-2】（2024·高二·江西·期末）已知随机变量，若，则 .
【答案】0.14/
【解析】因为，所以，
故答案为：0.14.
【变式4-3】（2024·高二·全国·开学考试）若随机变量，且，则 ．
【答案】0.26/
【解析】因为，
所以．
故答案为：0.26.
【方法技巧与总结】
面积法求概率
题型五：原则
【典例5-1】（2024·高二·安徽滁州·阶段练习）“民以食为天，食以安为先”．质监部门对某种袋装面粉进行质量检测，这种袋装面粉质量服从正态分布，随机抽取10000袋，其中至少有9545袋面粉的质量在内，则的最大值为 ．（质量单位：，若随机变量服从正态分布，则，，
【答案】/
【解析】由题意可知，，即，
则，解得，故的最大值为．
故答案为：.
【典例5-2】（2024·高二·福建莆田·期末）若某工厂制造的机械零件尺寸服从正态分布，则零件尺寸介于3.5和5之间的概率约为 .
（若，则，，）
【答案】
【解析】因为服从正态分布，所以，
所以，
所以
，
故答案为：
【变式5-1】（2024·高二·河南信阳·期末）某校高二年级1200人，期末统测的数学成绩，则这次统测数学及格的人数约为（满分150分，不低于90分为及格） ．
（附：，）
【答案】190
【解析】依题意，，
，，
，
则．
故答案为：190
【变式5-2】（2024·高二·福建南平·期末）已知，且，则 .
参考数据：，，.
【答案】0.84
【解析】因为，所以，
所以，
即，
所以.
故答案为：0.84．
【变式5-3】（2024·高二·浙江台州·期末）某省的高中数学学业水平考试，分为A，B，C，D，E五个等级，其中A，B等级的比例为16%，34%.假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布，其中王同学得分88分等级为A，李同学得分85分等级为B.请写出一个符合条件的值 .
（参考数据：若，则，）
【答案】7（答案不唯一，只需要填区间内的任意一个值）
【解析】由题意可知，，解得.
故答案为：（答案不唯一，只需要填区间内的任意一个值）.
【方法技巧与总结】
“”法：利用落在区间内的概率分别是0．6827，0．9545，0．9973求解．
题型六：正态分布的实际应用
【典例6-1】（2024·高三·全国·专题练习）某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上（不含90分）视为非常满意.
(1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数）
(2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望. （附：若，则，）
【解析】（1）因为对产品功能满意程度的评分服从正态分布，
其中，
设对产品功能满意程度的评分为，
所以，
所以本次调查对产品功能非常满意的顾客约有（人）.
根据频率分布直方图得，对产品外观非常满意的频率为，
则本次调查对产品外观非常满意的顾客约有（人）.
（2）根据题意，这人中对两项都非常满意的有人，则只对产品功能非常满意的有人，
只对产品外观非常满意的有人，的可能取值为
，，，
则的分布列为
数学期望.
【典例6-2】（2024·高三·江苏·专题练习）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.
(1)若此次知识问答的得分X服从，其中近似为参与本次活动的240位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；
(2)中国移动为支持本次活动提供了大力支持，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张10元的话费充值卡，有的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额Y（单位：元）的概率分布列，并估计本次活动中国移动需要准备的话费充值卡的总金额（单位：元）
参考数据：，，.
【解析】（1）
依题意，，
所以，
故
．
（2）参与活动的每位居民得分低于74分的概率为，得分不低于74分的概率为．
Y的所有可能取值分别为10，20，30，40．
，，
，，
所以Y的概率分布为
Y 10 20 30 40
P
所以，
所以本次活动中国移动需要准备的话费充值卡的总金额为元．
【变式6-1】（2024·安徽安庆·二模）树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．
第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值时体能指标合格；
第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．
经过统计，该校学生身体体能指标服从正态分布．
参考数值：，，．
(1)请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；
(2)学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为，作答B类试题，每次测试合格的概率为，且每次测试相互独立．
①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．
②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）
．
所以符合该项指标的学生人数为：人．
（2）①记表示解答A类试题第一次测试合格，
，分别表示解答B类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M，
则，．
②设X的取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望．
【变式6-2】（2024·四川泸州·二模）统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布．
(1)假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求；
(2)希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．
附：①随机变量服从正态分布，则，，；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
【解析】（1）依题意，又，
所以，，
且，
所以.
（2）由（1）可得，
又希尔伯特计算份披萨质量的平均值为，，
而，
所以份披萨质量的平均值为为小概率事件，小概率事件基本不会发生，
所以希尔伯特认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的理由.
【变式6-3】（2024·福建莆田·二模）某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．
(1)据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在内的人数；
附：若，则．
(2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为，刮出乙奖品的概率为．
①求顾客获得乙奖品的概率；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．
【解析】（1）由题意
，
若某天该商场有20000位顾客，
估计该天消费额在内的人数为；
（2）设事件“顾客中龙腾奖”， 事件“顾客中旺旺奖”， 事件“顾客获得乙奖品”，
由题意知，
事件包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和为18”，
则（i）若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”， “1点，2点，3点”， “2点，2点，2点”，三类情况，
共有种；
（ii）若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”， “2点，5点，5点”， “2点，4点，6点”， “3点，4点，5点”， “3点，3点，6点”， “4点，4点，4点”，六类情况，
共有种；
（iii）若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”，一类情况，
共有1种；
所有，
①由全概率公式可得，
即顾客获得乙奖品的概率为；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是，
所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是.
【变式6-4】（2024·高三·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布．
(1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）；
(2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客．
附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，．
【解析】（1）由乘客的体重（单位：）服从正态分布可得，
则可得，
即任意一名乘客体重大于的概率为，
则的所有可能取值为，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
期望值为
（2）设为第位乘客的体重，则，其中，
所以，
由可得，
即，可得，即，.
所以保证该轮渡不超载的概率不低于，最多可运载64名乘客.
【方法技巧与总结】
解题时，应当注意零件尺寸应落在之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．
题型七：标准正态分布
【典例7-1】（2024·山东潍坊·模拟预测）2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为.
(1)令，则，且，求，并证明：；
(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题.
（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列；
（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.
参考数据：，则，，.
【解析】（1），又，
所以.
因为，根据正态曲线对称性，，
又因为，所以.
（2），
.
令，得.
当时，，在上为增函数；
当时，，在上为减函数.
所以的最大值点，从而.
（ⅰ）的可能取值为3，2，1，0.
，，
，，
所以的分布列为
3 2 1 0
（ⅱ）若，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，
则11轮过后的总积分是28分，，所以，1班如果第10轮积3分，
则可提前一轮夺得冠军，其概率为.
【典例7-2】（2024·河南开封·模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，．
(1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；
(2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差．
附：当时，，．
【解析】（1）由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为，
由且，可得，
由，可得，
估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为分.
（2）若，则，，
由题意可知，
，.
【变式7-1】已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．
（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；
（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是的值．
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808， 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157' 0.7190 0.7224
①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？
【解析】（1）由题意可得，随机变量X服从二项分布，
则，
，
（2）①由于（1）中二项分布的n值增大，
故可以认为随机变量X服从二项分布，
由（1）可得，，
可得，则，
则，
由标准正态分布性质可得，，
故，
故，
在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为；
②查表可得，，则，
即，
又，
故座位数至少要1016个，
，
【变式7-2】（2024·河南平顶山·二模）2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．
参考数据：，．若，则．
【解析】（1）．
．
（2）（ⅰ）由题知，，所以，．
所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知，可得．
．
故的数学期望．
【方法技巧与总结】
变换法
一、单选题
1．（2024·高二·上海·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．数据，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1
B．若随机变量满足，则
C．已知随机变量，若，则
D．若随机变量，，则
【答案】D
【解析】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误；
对于选项B，，故B错误；
对于选项C，因为，则，故C错误；
对于选项D，因为随机变量，由正态曲线的对称性可得：，
则，所以，故D正确.
故选：D.
2．（2024·高三·全国·阶段练习）一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，由，，得，即，
则有，解得，，
所以带宽为.
故选：D
3．（2024·高三·浙江金华·期末）某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（ ）
参考数据：若，则
A．3173 B．6346 C．6827 D．13654
【答案】A
【解析】由题意可得，又，
故，
则80分以上的人数大约是人.
故选：A.
4．（2024·高三·湖南常德·期末）某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（ ）
（附：，，）
A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名
【答案】B
【解析】因为成绩近似服从正态分布,，则，
且，
所以，
因此该校数学成绩不低于102分的人数即年级排名大约是．
故选：B．
5．（2024·高二·辽宁·开学考试）某校高三学生的一次期中考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为为事件，记该同学的成绩为为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（ ）（附参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知，事件为“该同学的成绩满足”，
因为，
所以
，
又，所以，
故选：A．
6．（2024·高三·全国·开学考试）某校高三数学摸底考试成绩（单位：分）近似服从正态分布，且，该校高三数学摸底考试成绩超过90分的人数有930人，则（ ）
A．估计该校高三学生人数为1200
B．估计该校学生中成绩不超过90分的人数为70．
C．估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为425．
D．估计该校学生中成绩不超过90分的人数比超过130分的人数多．
【答案】B
【解析】由，得，
．
估计该校学生人数为：人，A不正确；
估计该校学生中成绩不超过90分的人数为，B正确；
估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为，C错误；
由，
估计该校学生中成绩不超过90分的人数与超过130分的人数相等，D错误，
故选：B．
7．（2024·高二·河南南阳·期末）为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取罐咖啡，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的罐咖啡中质量在之外的罐数，若的数学期望，则的最小值为（ ）
附：若随机变量服从正态分布，则.
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解析】因为，所以，
故，
所以，解得，
因为，故的最小值为11.
故选：B.
8．（2024·高三·河北保定·期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家 物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（ ）
（附：若，则，
A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865
【答案】B
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设硬币正面向上的次数为，
则.
由题意，且，
因为，即，
所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·高二·江苏·课前预习）甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布)，，其正态密度曲线，x∈R 如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
【答案】ABC
【解析】由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，
所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，
故A，C正确；
因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；
因为乙图象的最大值为1.99，即，所以，故D错误.
故选：ABC.
10．（2024·高二·辽宁·开学考试）随机变量，且，随机变量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，，
且，故A正确；
对于C，，
，故C正确；
对于B，，，故B正确；
对于D，，故D错误．
故选：ABC.
11．（2024·高三·山东日照·期末）数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当都增大时，概率增大
【答案】BC
【解析】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，即，故A不正确；
对于B, 当时，，故B正确；
对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在的概率是常数，
故由可知，C正确，D错误，
故选：BC
三、填空题
12．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为 ；（若，则）
【答案】0.1/
【解析】若，则）
因为工业生产中轴承的直径服从，
所以，则，
由，
得，
则要使拒绝的概率控制在之内，则至少为.
故答案为：
13．（2024·高三·山西·期末）已知随机变量，设函数，且满足，则 .
【答案】2
【解析】，，
又，，
，有与关于对称，
则.
故答案为：2.
14．（2024·高三·全国·阶段练习）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ．
参考数据：若，则，，．
【答案】0.84/
【解析】由题意知，该产品服从，则，
所以
，
又，
，
所以，
所以，
即.
所以抽到“可用产品”的概率为.
故答案为：0.84.
四、解答题
15．（2024·高三·重庆·开学考试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个产品中尺寸在之外的产品数，求
②请说明上述监控生产过程方法的合理性．
附：
【解析】（1）由题意可知：（
），
[
]，
（2）①由题意可知生产状态正常，此时一个产品尺寸在之内的概率为，
所以；
②如果生产状态正常，此时一个产品尺寸在之外的概率只有，
一天内抽取10个零件中，发现尺寸在之外的概率只有，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监管过程方法合理.
16．（2024·全国·模拟预测）大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．
(1)根据频率分布直方图确定的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）；
(2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）
参考数据：若，则，，．
【解析】（1）根据频率分布直方图，可得：
，解得，
这组数据的众数为，
由，
则这100份样本试卷成绩的75%分位数是.
（2）由，
所以，
因为，
所以，
所以测试前预估的平均成绩大约为分．
17．（2024·高二·江苏·专题练习）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g，上下浮动不超过50 g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布．
(1)已知如下结论：若X～N（μ，σ2），从X的取值中随机抽取k（k∈N*，k≥2）个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N.利用该结论解决下面问题．
①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求P（Y≤980）；
②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在区间（950，1 050）内，并得出计算25个面包的平均质量为978.72 g．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包3个．现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黑色面包个数的分布列及数学期望．
附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤η≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤η≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤η≤μ＋3σ）≈0.997 3；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
【解析】（1）①因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以.
②由①知，
又由这25个面包的平均质量为，
因为，而为小概率事件，
小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包的理由.
（2）设取出黑色面包的个数为，则的所有可能取值为，
可得，，
，
所以分布列为
0 1 2
所以期望为.
18．（2024·全国·模拟预测）某校随机抽取了100名本校高一男生进行立定跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图.
(1)若该校高一男生的立定跳远成绩X（单位：厘米）服从正态分布，其中为上面样本数据的平均值（每组数据用该组数据的中间值代替）.在该校所有高一男生中任意选取4人，记立定跳远成绩在厘米以上（包含）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)已知该校高二男生有800名，男生立定跳远成绩在250厘米以上得满分.若认为高二男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计该校高二男生立定跳远得满分的人数（结果保留整数）.
附：若，则，
，.
【解析】（1），
∴，∴，
∴，，
，，
∴的分布列为：
0 1 2 3 4
∴.
（2）记该校高二男生立定跳远成绩为Y厘米，则，
∴
，
∴估计该校高二男生立定跳远得满分的人数为.
19．（2024·高三·江苏常州·期末）某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．
(1)求；
(2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95，6.05），那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？
说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到．
可供查阅的（部分）标准正态分布表
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974
【解析】（1），，
，
，，
；
（2）
，
不合格的金属棒有：根．8.3 正态分布
课程标准 学习目标
（1）了解正态分布在实际生活中的意义和作用. （2）掌握正态分布的特点及正态分布曲线所表示的意义、性质. （1）利用实际问题的频率分布直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义. （2）了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率大小. （3）掌握正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率．
知识点01 正态分布
1、正态曲线
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布．
2、由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
（1）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（2）曲线在处达到峰值；
（3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴．
3、正态分布的期望与方差
若，则，．
4、正态变量在三个特殊区间内取值的概率
（1）；
（2）；
（3）．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则．
【即学即练1】（多选题）（2024·高二·江苏·课前预习）甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布)，，其正态密度曲线，x∈R 如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
题型一：正态曲线的图象的应用
【典例1-1】（2024·高二·江苏·课时练习）已知正态分布密度函数，，则分别是（ ）
A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和
【典例1-2】（2024·高二·全国·课时练习）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2024·高三·全国·竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·高二·全国·课时练习）给出下列函数：①；②；③；④，其中，，则可以作为正态分布密度函数的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】（2024·高二·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为，二是最大值为．这两点确定以后，相应参数便确定了，代入中便可求出相应的解析式．
题型二：利用正态分布的对称性求参数
【典例2-1】（2024·高二·广西北海·期末）已知随机变量，且，则（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【典例2-2】（2024·高二·山东济宁·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·高二·辽宁鞍山·阶段练习）设随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【变式2-2】（2024·高二·辽宁沈阳·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·高二·湖北·期末）已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
对称法：由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和为1，故关于直线对称的区间概率相等．如：
①；
②．
题型三：正态曲线的性质
【典例3-1】（多选题）（2024·高三·山东日照·期末）数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当都增大时，概率增大
【典例3-2】（多选题）（2024·高三·河北·期末）若随机变量，，X、Y的分布密度曲线如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
【变式3-2】（多选题）（2024·高三·江西·阶段练习）若随机变量，则（ ）
A．的密度曲线与轴只有一个交点 B．的密度曲线关于对称
C． D．若，则，
【方法技巧与总结】
由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
（1）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（2）曲线在处达到峰值；
（3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴．
题型四：特殊区间与指定区间的概率
【典例4-1】（2024·高二·安徽滁州·期末）若随机变量，，则 ．
【典例4-2】（2024·高二·天津滨海新·期末）如果随机变量，且，那么 .
【变式4-1】（2024·高二·广东佛山·期末）设随机变量，，则 .
【变式4-2】（2024·高二·江西·期末）已知随机变量，若，则 .
【变式4-3】（2024·高二·全国·开学考试）若随机变量，且，则 ．
【方法技巧与总结】
面积法求概率
题型五：原则
【典例5-1】（2024·高二·安徽滁州·阶段练习）“民以食为天，食以安为先”．质监部门对某种袋装面粉进行质量检测，这种袋装面粉质量服从正态分布，随机抽取10000袋，其中至少有9545袋面粉的质量在内，则的最大值为 ．（质量单位：，若随机变量服从正态分布，则，，
【典例5-2】（2024·高二·福建莆田·期末）若某工厂制造的机械零件尺寸服从正态分布，则零件尺寸介于3.5和5之间的概率约为 .
（若，则，，）
【变式5-1】（2024·高二·河南信阳·期末）某校高二年级1200人，期末统测的数学成绩，则这次统测数学及格的人数约为（满分150分，不低于90分为及格） ．
（附：，）
【变式5-2】（2024·高二·福建南平·期末）已知，且，则 .
参考数据：，，.
【变式5-3】（2024·高二·浙江台州·期末）某省的高中数学学业水平考试，分为A，B，C，D，E五个等级，其中A，B等级的比例为16%，34%.假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布，其中王同学得分88分等级为A，李同学得分85分等级为B.请写出一个符合条件的值 .
（参考数据：若，则，）
【方法技巧与总结】
“”法：利用落在区间内的概率分别是0．6827，0．9545，0．9973求解．
题型六：正态分布的实际应用
【典例6-1】（2024·高三·全国·专题练习）某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上（不含90分）视为非常满意.
(1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数）
(2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望. （附：若，则，）
【典例6-2】（2024·高三·江苏·专题练习）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.
(1)若此次知识问答的得分X服从，其中近似为参与本次活动的240位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；
(2)中国移动为支持本次活动提供了大力支持，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张10元的话费充值卡，有的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额Y（单位：元）的概率分布列，并估计本次活动中国移动需要准备的话费充值卡的总金额（单位：元）
参考数据：，，.
【变式6-1】（2024·安徽安庆·二模）树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．
第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值时体能指标合格；
第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．
经过统计，该校学生身体体能指标服从正态分布．
参考数值：，，．
(1)请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；
(2)学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为，作答B类试题，每次测试合格的概率为，且每次测试相互独立．
①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．
②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望．
【变式6-2】（2024·四川泸州·二模）统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布．
(1)假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求；
(2)希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．
附：①随机变量服从正态分布，则，，；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
【变式6-3】（2024·福建莆田·二模）某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．
(1)据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在内的人数；
附：若，则．
(2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为，刮出乙奖品的概率为．
①求顾客获得乙奖品的概率；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．
【变式6-4】（2024·高三·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布．
(1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）；
(2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客．
附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，．
【方法技巧与总结】
解题时，应当注意零件尺寸应落在之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．
题型七：标准正态分布
【典例7-1】（2024·山东潍坊·模拟预测）2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为.
(1)令，则，且，求，并证明：；
(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题.
（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列；
（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.
参考数据：，则，，.
【典例7-2】（2024·河南开封·模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，．
(1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；
(2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差．
附：当时，，．
【变式7-1】已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．
（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；
（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是的值．
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808， 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157' 0.7190 0.7224
①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？
【变式7-2】（2024·河南平顶山·二模）2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．
参考数据：，．若，则．
【方法技巧与总结】
变换法
一、单选题
1．（2024·高二·上海·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．数据，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1
B．若随机变量满足，则
C．已知随机变量，若，则
D．若随机变量，，则
2．（2024·高三·全国·阶段练习）一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·高三·浙江金华·期末）某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（ ）
参考数据：若，则
A．3173 B．6346 C．6827 D．13654
4．（2024·高三·湖南常德·期末）某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（ ）
（附：，，）
A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名
5．（2024·高二·辽宁·开学考试）某校高三学生的一次期中考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为为事件，记该同学的成绩为为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（ ）（附参考数据：，，）
A． B． C． D．
6．（2024·高三·全国·开学考试）某校高三数学摸底考试成绩（单位：分）近似服从正态分布，且，该校高三数学摸底考试成绩超过90分的人数有930人，则（ ）
A．估计该校高三学生人数为1200
B．估计该校学生中成绩不超过90分的人数为70．
C．估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为425．
D．估计该校学生中成绩不超过90分的人数比超过130分的人数多．
7．（2024·高二·河南南阳·期末）为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取罐咖啡，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的罐咖啡中质量在之外的罐数，若的数学期望，则的最小值为（ ）
附：若随机变量服从正态分布，则.
A．10 B．11 C．12 D．13
8．（2024·高三·河北保定·期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家 物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（ ）
（附：若，则，
A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865
二、多选题
9．（2024·高二·江苏·课前预习）甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布)，，其正态密度曲线，x∈R 如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
10．（2024·高二·辽宁·开学考试）随机变量，且，随机变量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·高三·山东日照·期末）数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当都增大时，概率增大
三、填空题
12．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为 ；（若，则）
13．（2024·高三·山西·期末）已知随机变量，设函数，且满足，则 .
14．（2024·高三·全国·阶段练习）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ．
参考数据：若，则，，．
四、解答题
15．（2024·高三·重庆·开学考试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个产品中尺寸在之外的产品数，求
②请说明上述监控生产过程方法的合理性．
附：
16．（2024·全国·模拟预测）大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．
(1)根据频率分布直方图确定的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）；
(2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）
参考数据：若，则，，．
17．（2024·高二·江苏·专题练习）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g，上下浮动不超过50 g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布．
(1)已知如下结论：若X～N（μ，σ2），从X的取值中随机抽取k（k∈N*，k≥2）个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N.利用该结论解决下面问题．
①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求P（Y≤980）；
②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在区间（950，1 050）内，并得出计算25个面包的平均质量为978.72 g．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包3个．现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黑色面包个数的分布列及数学期望．
附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤η≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤η≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤η≤μ＋3σ）≈0.997 3；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
18．（2024·全国·模拟预测）某校随机抽取了100名本校高一男生进行立定跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图.
(1)若该校高一男生的立定跳远成绩X（单位：厘米）服从正态分布，其中为上面样本数据的平均值（每组数据用该组数据的中间值代替）.在该校所有高一男生中任意选取4人，记立定跳远成绩在厘米以上（包含）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)已知该校高二男生有800名，男生立定跳远成绩在250厘米以上得满分.若认为高二男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计该校高二男生立定跳远得满分的人数（结果保留整数）.
附：若，则，
，.
19．（2024·高三·江苏常州·期末）某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．
(1)求；
(2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95，6.05），那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？
说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到．
可供查阅的（部分）标准正态分布表
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974
