6.3.1平面向量基本定理的 学案（含解析）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量基本定理的学案
【学习目标】
（一）学习目标
1.理解基底的含义，并能判断两个向量是否构成基底.2.理解平面向量基本定理及其意义.
3.会用基底表示平面向量.4.通过平面向量基本定理的学习，提升直观想象、逻辑推理等素养.
【学习重难点】
（一）学习重难点
1.重点：了解平面向量基本定理及其意义；
2.难点：了解向量基底的含义；
在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量。
【预习新知】
（一）用平面向量基本定理求解平面几何问题
用基底表示向量
典例2　(1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论：
①＝－a－b；②＝a＋b；
③＝－a＋b；④＝a.
其中正确的结论的序号为__①②③__.
(2)如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.
[分析]　用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.
[解析]　(1)如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，①正确；＝＋＝a＋b，②正确；
＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，③正确；④＝＝－a，④不正确.
(2)因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以＝＝a，＝＝＝b.
＝＋＋＝－－＋
＝－×b－a＋b＝b－a.
[归纳提升]　用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义；
③数乘向量的几何意义.
(2)模型：
【对点练习】 　如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　A　)
A．x＝，y＝　　 B．x＝，y＝
C．x＝，y＝　　 D．x＝，y＝
[解析]　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋OB.∴x＝，y＝.
【巩固训练】
（一）巩固训练
1.如图，在中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且，连接CF并延长交AB于E，若，则等于( )
A. B. C. D.
2.设,,若,则实数k值等于( )
A. B.2 C.4 D.
3.若,则( )
A. B. C.3 D.5
4.已知向量，，若，则实数的值为( )
A.1 B.0 C. D.
5.的三个内角为A，B，C，向量，，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量,,则( )
A.0 B.1 C. D.2
7.已知向量,,若,则( )
A.0 B. C.1 D.2
8.已知正方形的边长为1，O为正方形的中心，E是的中点，则( )
A. B. C. D.1
参考答案
1.答案：D
解析：设，，因为，所以，
因为，所以，
又，
又因为，所以，得到，消得到，所以.
故选：D.
2.答案：B
解析：,,且,
,解得.
故选:B.
3.答案：B
解析：.
4.答案：A
解析：向量，，则，
由，得，解得，
所以实数的值为1.
故选：A.
5.答案：C
解析：依题意得，即，，则，.因为，，所以，解得，故选C.
6.答案：A
解析：.
故选:A
7.答案：C
解析：由题意可得:,
若,则,解得.
故选:C.
8.答案：C
解析：如图，以A为坐标原点，，所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以.
故选：C.