高数必修2 第七章复数章末检测试题（解析）

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第七章 复数末检测试题（解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.第一象限　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.=( )
A. 1 B. 2 C. D. 5
3.已知复数，若的实部为，且的模长为，则=( )
A. B. C. D.
4.设 （ 为虚数单位），则 ( )
A． B． C． D.
5.若复数z1=3+4i,z2=t+i,且是实数,则实数t等于(　　)
A. B. C. D.
6.下列命题中，假命题的是 ( )
A．若 为实数，则 B．若 ，则 为实数
C．若 为实数，则 为实数 D．若 为实数，则 为实数
7.复数,则|z1-z2|的最大值为(　　 )
A.3-2　 B.+1 C.3+2　　　 D.-1
8.已知i为虚单位，z为非零复数，为实数m,则m=( )
A.-1 B. 0 C.1 D.2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.下列命题中为真命题的是(　　 )
A.复数一定是虚数 B.实数一定是复数
C.复数的平方数一定是非负实数 D.实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0
10.已知是虚数单位，是复数，且，则下列说法正确的是( )
A. 在复平面上对应的点位于第一象限 B.
C. D.
11.下列命题中，是真命题是(　　 )
A.方程3x2-2x+1=0的两个根互为共轭虚数 B.设i是虚数单位,则复数
C.a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充要条件 D.是复数为纯虚数的充要条件
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为________.
13.若复数z=在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是 .
14.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为________.
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知z=x+yi,x,y∈R,若2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.
⑴求实数x,y的值;
⑵求.
16.（本题满分15分）
当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i分别为:
⑴实数 ⑵虚数 ⑶纯虚数
17.（本题满分15分）
已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.
18.（本题满分17分）
已知为实数，复数的实部与虚部相等，其中为虚数单位．
⑴求出的值；
⑵若正数，满足，证明：
19.（本题满分17分）
已知复平面内的点A,B对应的复数分别是,其中.设对应的复数是z.
⑴求复数z；
⑵若复数z对应的点P在直线上,求的值.
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.第一象限　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】∵z1=2+i,z2=1+2i. ∴z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i
∴z对应的点为（-1,1）,位于第二象限.故选B.
2.=( )
A. 1 B. 2 C. D. 5
【答案】C
【解析】∵, ∴,
故选C.
3.已知复数，若的实部为，且的模长为，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设， 则,解得．
．故选D.
4.设 （ 为虚数单位），则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A　
【解析】,故选A.
5.若复数z1=3+4i,z2=t+i,且是实数,则实数t等于(　　 )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵z2=t+i,∴,
又∵是实数，∴4t-3=0,t= ,故选A.
6.下列命题中，假命题的是 ( )
A．若 为实数，则 B．若 ，则 为实数
C．若 为实数，则 为实数 D．若 为实数，则 为实数
【答案】D
【解析】若 为实数，则 ；若 ，则 为实数；若 为实数，则 为实数；
取，，所以 ，因此D是假命题．故选D.
7.复数,则|z1-z2|的最大值为(　　 )
A.3-2　 B.+1 C.3+2　　　 D.-1
【答案】B
【解析】∵复数,
∴
.
∴|z1-z2|的最大值为，故选B．
8.已知i为虚单位，z为非零复数，为实数m,则m=( )
A.-1 B. 0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】设z=),则是实数,∴,即,则=0,=0,即m=0.故选B.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.下列命题中为真命题的是(　　 )
A.复数一定是虚数 B.实数一定是复数
C.复数的平方数一定是非负实数 D.实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0
【答案】BD
【解析】因为实数和虚数统称为复数,所以复数不一定是虚数,A是假命题;实数一定是复数,B是真命题;由于i2=-1,复数的平方数可以是负实数,C是假命题;实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0,D是真命题.故选BD.
10.已知是虚数单位，是复数，且，则下列说法正确的是( )
A. 在复平面上对应的点位于第一象限 B.
C. D.
【答案】CD
【解析】由,得，
∴在复平面内对应对为，，
则A，B错误，C,D正确．故选CD.
11.下列命题中，是真命题是(　　 )
A.方程3x2-2x+1=0的两个根互为共轭虚数 B.设i是虚数单位,则复数
C.a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充要条件 D.是复数为纯虚数的充要条件
【答案】ABD
【解析】方程3x2-2x+1=0的Δ<0,两个根为共轭虚数,选项A是真命题；
,选项B是真命题；因为复数(a+i)(1-ai)=2a+(1-a2)i为实数的充要条件是a=±1,所以a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充分不必要条件,选项C是假命题；∵,∴当时,复数为纯虚数,反之成立,选项D是真命题.
故选ABD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为________.
【答案】2
【解析】∵复数z满足i·z=1+2i，∴.
∴z的实部为2.
13.若复数z=在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是 .
【答案】(-∞,-1)
【解析】∵数z=在复平面内对应的点在第二象限,
∴,解得.
∴实数的取值范围是(-∞,-1).
14.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为________.
【答案】.
【解析】由|z-4i|=|z+2|,得
|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,
∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,
∴2x+4y=2x+22y,
当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值.
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知z=x+yi,x,y∈R,若2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.
⑴求实数x,y的值;
⑵求.
【答案】⑴x=3,y=-2; ⑵3+2i.
【解析】⑴ ∵x,y为实数, ∴2x-1,y+1,x-y,-x-y都为实数,.
由复数相等的充要条件得
,解得.
⑵.
16.当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i分别为:
⑴实数 ⑵虚数 ⑶纯虚数
【答案】⑴m=2; ⑵且; ⑶m=-3．
【解析】⑴当，即m=2时，复数z为实数.
⑵当,即0且2时，复数z为虚数.
⑶当，即m=-3时，复数z为纯虚数.
17.已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|．
【答案】1.
【解析】方法1：设z1=a+bi,z2=c+di,
其中a,b,c,d∈R,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,
由|z1|2=|z2|2=1,|z1+z2|2=3,
得a2+b2=1,　①
c2+d2=1,②
(a+c)2+(b+d)2=3,③
将①②代入③,得ac+bd=.
∴|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1,
则|z1-z2|=1.
方法2：∵,,.
∴
即=1
∴=1-1+1=1
则|z1-z2|=1.
方法3：由z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,根据复数与向量的对应关系以及平行四边形法则可知,z1,z2,z1+z2所对应的点围成菱形ABCD,如图,在△ABC中,由余弦定理,
得cos∠ABC==-,
∴∠ABC=120°,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴=1,即|z1-z2|=1.
18.已知为实数，复数的实部与虚部相等，其中为虚数单位．
⑴求出的值；
⑵若正数，满足，证明：
【答案】⑴2; ⑵详细证明见解析.
【解析】⑴由题意得：
，
∵复数z的实部与虚部相等，
∴10-m=3m+2，∴m=2．
⑵证明：由（1）得：a+b=2，
法1∵a+b=2∴（3a+2）+（3b+2）=10，
由柯西不等式得：，
当且仅当，即：a=b时等号成立，
∴，
法2：要想证明成立，
只需证明成立，
即证明成立，
∵a+b=2∴（3a+2）+（3b+2）=10，
即证明成立，
由基本不等式得：，
当且仅当a=b时等号成立，所以，命题得证.
19.已知复平面内的点A,B对应的复数分别是,其中.设对应的复数是z.
⑴求复数z；
⑵若复数z对应的点P在直线上,求的值.
【答案】⑴-1+(-2sin2θ)i ；⑵或.
【解析】⑴∵A,B对应的复数分别是，
∴点A,B的坐标分别为A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos2θ).
∴=(-cos2θ,cos2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos2θ-1)=(-1,-2sin2θ)
∴对应的复数是z=-1+(-2sin2θ)i.
⑵由⑴知点P的坐标为(-1,-2sin2θ)，代入，得
-2sin2θ=-，即sin2θ=，
∴，
又∵， ∴或.
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