数学人教A版（2019）必修第一册4.1.1指数 课件（共38张ppt）

(共38张PPT)
人教版必修第一册A版
4.1《 指 数 》
（ 4 课 时 ）
教学目标
学习目标：1、认识与理解n次幂、n次方根、分数指数幂、实数指数幂的相关概念、性质与运算法则；
2、理解与掌握n次方根与分数指数幂之间的相互转换，并能运用n次方根与分数指数幂的相关知识求解计算问题与实际问题.
教学重点：n次方根、分数指数幂的相关概念、性质与运算法则；
教学难点：n次方根与分数指数幂之间的相互转换.
一
情景问题（导学）
放射性元素在衰变过程中,其放射性核的数目衰变到原来的一半所需的时间称为放射性元素的半衰期.
某种元素同一个样本内有个原子,半衰期是10天,10天之后还有 个原子没有衰变,20天之后还有 个原子没有衰变,没有衰变的原子数就可以用 表示.
（一）情景：放射性元素的半衰期
一
情景问题（导学）
以此类推,设衰变次数为次,那么没有衰变的原子数如何表示？
（二）问题
答：根据衰变规律,容易推出没有衰变的原子数为：
个 相乘
二
探究新知1——次幂的概念（互学）
个相同因子的连乘积称为的次幂, 记作
其中 称为幂的底数,简称底, 称为幂的指数.
即
注：规定 （1），即“任何一个数的1次幂都等于它本身”
（2）当时，，即 “任何一个不为零的数的0次幂等于1”
，即负指数幂满足 “底倒指反”.
个 相乘
三
小组合作、讨论交流1（自学）
（1） ; (2) = ;
(3) = ; (4) = ;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) ;
(9) = ;
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，计算下列各式：
四
成果展示1（自学）
（1） ; (2) = ;
(3) = ; (4) = ;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) ;
(9) = ;
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，计算下列各式：
3
125
五
探究新知2——次方根（导学）
（一）知识复习——平方根与立方根
1.平方根
如果,那么就称为的平方根，记作
其中“”叫做二次根号，叫被开方数且；
正的平方根叫的算术平方根，记作
注：一个非负数的平方根有两个，且它们互为相反数；
特别地，0的平方根为0，记作
例如：∵，∴4的平方根为，记作
其中4的算术平方根为，记作
五
探究新知2——次方根（导学）
（一）知识复习——平方根与立方根
2.立方根
如果,那么就称为的立方根，记作
其中“”叫做三次根号，叫被开方数且；
注：一个实数的立方根只有一个，且立方根与被开方数符号一致；
特别地，0的立方根为0，记作
例如：∵， ∴8的立方根为，记作
∵， ∴0的立方根为，记作0
∵，∴-8的立方根为，记作
五
探究新知2——次方根（导学）
（二）思考
如果把二次根式与三次根式里面的根指数2与3变成4,5,6,7……等更大的正整数，那么这样的根式叫什么根式？它们又具有哪些性质呢？
五
探究新知2——次方根（导学）
（三）次方根的概念与分类
一般地,如果数 的 次方等于 , 即
那么称数为的次方根.
（1）当为偶数时,正实数的次方根有两个,且它们互为相反数.其中正实数的正的次方根用符号表示（称为的次算数根），负的次方根用符号表示，且与可以合并写成.
注：负数没有偶次方根.
例如：∵，∴16的4次方根为，记作
其中16的4次算术根为，记作
五
探究新知2——次方根（导学）
（三）次方根的概念与分类
（2）当为奇数时,实数的次方根只有一个,且它与被开方数符号保持一致（即正数的次方根为正数，负数的次方根为负数），这时实数的次方根用符号表示.
例如：∵， ∴32的5次方根为，记作
∵，∴-32的5次方根为，记作
（3）0的任何次方根都是0（∵），记作
五
探究新知2——次方根（导学）
（四）根式的概念及性质
1.根式的定义
形如的式子称为根式,
其中” ”称为次根号，称为根指数, 称为被开方数．
2.根式的性质（据次方根的定义可得）
（1）性质1（还原性）： (注：还原性的被开方数为)
例如：，
（2）性质2：①当为奇数时，；
②当为偶数时， (注：绝对值性的被开方数为)
例如：，
六
小组合作、讨论交流2（自学）
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例1 填空
（1）-25的3次方根可以表示为 ，其中根指数是 ，被开方数是 ；（2）12的4次算术根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ；
（3）16的4次方根为 ；
（4）-32的5次方根为 .
例2 求下列各式的值
（1） ； （2）； （3）； （4）
七
成果展示2（迁移变迁）
例1 填空
（1）-25的3次方根可以表示为 ，其中根指数是 ，被开方数是 ；
（2）12的4次算术根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 .
3
-25
4
12
±2
2
七
成果展示2（迁移变迁）
例1 填空
（3）16的4次方根为 ；（4）-32的5次方根为 .
±2
-2
∵
∴
∵
∴
七
成果展示2（迁移变迁）
例2 求下列各式的值
（1） ； （2）； （3）； （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
八
探究新知3——分数指数幂
（一）探究：观察下列各个次根式的运算与变形过程，你能从中发现什么规律？
1.
2.
3.
通过左边运算与变形过程可以发现：当根式的被开方数可化为某个正数幂的形式时，结果都可以转换为某个正数的分数指数幂，且满足：
①结果的底数与被开方数的底数相同
②结果中指数的分子为被开方数的指数
③结果中指数的分母为根指数
八
探究新知3——分数指数幂
（二）分数指数幂的概念
由上探究，我们规定，
（1）正数的正分数指数幂：
即正数的正分数指数幂满足： ①分数指数幂中的底数与根式中被开方数底数相同；
②分数指数幂中指数的分子为根式中被开方数的指数；
③分数指数幂中指数的分母为根式中的根指数.
例如：
八
探究新知3——分数指数幂
（二）分数指数幂的概念
由上探究，我们规定，
（1）正数的正分数指数幂：
即正数的正分数指数幂满足： ①分数指数幂中的底数与根式中被开方数底数相同；
②分数指数幂中指数的分子为根式中被开方数的指数；
③分数指数幂中指数的分母为根式中的根指数.
例如：
（2）正数的负分数指数幂：
即正数的负分数指数幂满足 ：“底倒指反”
例如：
（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：特别地，1的任何次幂都为1，即
八
探究新知3——分数指数幂
（二）分数指数幂的概念
（2）正数的负分数指数幂：
即正数的负分数指数幂满足 ：“底倒指反”
例如：
（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：特别地，1的任何次幂都为1，即
注：规定了分数指数幂的意义以后，幂中指数的取值范围就从整数拓展到了有理数.
八
探究新知3——分数指数幂
（三）有理数指数幂的运算法则
规定了分数指数幂的意义以后，我们就可以将整数指数幂的运算性质推广到有理数指数幂的运算上来，即对于,都有
1. (同底数幂相乘，底数不变，指数相加)
2. (幂的乘方，底数不变，指数相乘)
3. (积的乘方，等于对每个因式分别求乘方)
4. (同底数幂相除，底数不变，指数相减)
5. （任何一个数的一次幂都等于它本身）
6. 当 (任何一个不为零的数的零次幂等于1)
(负指数次幂满足：底倒指反)
7. (分数指数幂：底数不变，指数的分子作被开方数的指数，
指数的分母作根指数)
九
小组合作、讨论交流3（自学）
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例3 计算下列分数指数幂的值
（1） ； （2）； （3）； （4）
十
成果展示3（迁移变通）
解：（1）定义法：
公式法：
（2）定义法：
公式法：
例3 计算下列分数指数幂的值
（1） ； （2）； （3）； （4）
十
成果展示3（迁移变通）
解：（3）公式法：
（4）公式法：
十一
探究新知4——无理数指数幂及其运算性质（互学）
上面我们将中指数的取值范围从整数拓展到了有理数.那么，当指数是无理数时，的意义是什么 它是一个确定的数吗 如果是，那么它有什么运算性质
（一）问题引入
十二
探究新知4——无理数指数幂及其运算性质（互学）
根据的不足近似值和过剩近似值 (表 4.1-1)，利用计算工具计算相应的的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现
（二）探究
十二
探究新知4——无理数指数幂及其运算性质（互学）
（二）探究
可以发现，当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是.
也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂和另一串逐渐减小的有理数指数幂逐步逼近的结果，它是一个确定的实数.
这个过程可以用图 4.1-1 表示
十二
探究新知4——无理数指数幂及其运算性质（互学）
（三）无理数指数幂及其运算性质
一般地，无理数指数幂 是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂 中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数,且实数指数幂是一个确定的实数.
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于,都有
1. 2. 3.
4. 5. 6. 当 (底倒指反)
7.
十三
小组合作、讨论交流4（自学）
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
1.题型一 将下列分数指数幂写成根式的形式（其中）：
（1） ; (2) ; (3) ; (4) ;
2.题型二 将下列根式写成分数指数幂的形式并计算（式中字母均为正数）：
（1） ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6)
十三
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
3.题型三 计算下列各式的值（式中字母均为正数）
（1） ； （2） ； （3）
（4） ; (5) ; (6)
(7)
小组合作、讨论交流4（自学）
十四
提升演练（检测实践）
1.题型一 将下列分数指数幂写成根式的形式（其中）：
（1） ; (2) ; (3) ; (4) ;
解：由题意可得
（1） ; (2) ；
(3) ; (4)
十四
提升演练（检测实践）
2.题型二 将下列根式写成分数指数幂的形式并计算（式中字母均为正数）：
（1） ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6)
解：由题意可得
（1） ; (2) ； (3)
(4) ;
(5) ; (6)
十四
提升演练（检测实践）
3.题型三 计算下列各式的值（式中字母均为正数）
（1） ； （2） ； （3）
解：（1）
（2）
（3）
十四
提升演练（检测实践）
3.题型三 计算下列各式的值（式中字母均为正数）
（4） ; (5) ; (6)
解：（4）
(5)
(6)
课堂小结
十五
1、认识与理解了n次幂、n次方根、分数指数幂、实数指数幂的相关概念、性质与运算法则；
2、理解与掌握了n次方根与分数指数幂之间的相互转换，并能运用n次方根与分数指数幂的相关知识求解计算问题与实际问题.
十六
学生自评
十七
家庭作业
1.记背今天所学习n次方根与分数指数幂相关知识；
2.完成《课时规范训练》第37页的相关题型.