知识交汇处试题的设置研究(福建省泉州市)

课件34张PPT。知识交汇处试题的设置研究2009.4.11
知识交汇处试题的设置研究 1．新课程拓宽交汇视野
2．引起交汇的原因探究
3．知识点交汇后怎么考
4．知识点交汇后考什么
5．知识点的交汇应关注的问题《普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验2009年版）》明确指出：“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构”．同时指出“对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面．从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度” ．这一要求，一方面突出并强调了对主干知识以及知识和知识之间相互交汇与综合的考查，另一方面向我们昭示了“在知识网络交汇点处设计试题”是新课程背景下必将仍然坚持的高考命题视角．
基于此，在知识的交汇点处设计试题成为高考命题的一大亮点．
1．新课程拓宽“交汇”视野多年来，高考数学命题较好地注意了“知识网络交汇点”这一独特视角．命题中重视知识的整体性和综合性，在知识网络的交汇点设计试题．目的是倡导对所学内容能够融会贯通，理论联系实际，防止单纯机械记忆．引导学生既关注“模块”内知识的纵向发展，又关注“模块”与“模块”知识之间的相互交汇．关注“交汇点”的创生与发展，以此逐步拓宽“交汇”的视野，重新编织纵横交错的知识网络．
新课程使得知识网络的交汇点正在不断丰富，新增内容已毫无争议地成了新的知识网络交汇点，因而理所当然地成了高考命题的新视角．这些新视角原有的知识网络的交汇点一样，在今后的数学高考试题的命制中必将越来越受到命题专家们的重视和青睐．1．1 传统知识点的交汇向量与三角交汇；向量与解析几何交汇；向量与数列交汇；导数与函数、不等式交汇；导数与数列；导数与三角交汇；数列与函数交汇；数列与解析几何交汇；概率与数列交汇；立几与导数、概率交汇；以算法为主线的交汇；
以概率（几何概型）为主线的交汇．
以线性规划为主线交汇．
1．2 新增内容知识点的交汇 2．引起“交汇”的原因探究是否所有的数学知识点均能进行交汇呢？我们的回答是否定的．那么不同的数学知识点如何交汇？引起交汇的原因是什么？这些问题，是摆在命题者和高中数学教学过程中的新问题.
下面就这些问题提出个人的观点，仅起抛砖引玉之意．2．1 与向量的交汇向量是近代数学中重要和基本的数学概念，有着极其丰富的实际背景．向量具有代数与几何形式的“双重身份”，融数、形于一体，既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换桥梁，它是沟通代数、几何、与三角函数的一种工具．
向量与立体几何交汇：向量有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具．向量概念引入后，几何问题中的全等和平行(平移)、相似、垂直等问题就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积等运算(运算律)，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，这是引起向量与几何交汇的主要因素；向量与数列交汇：向量中引进坐标形式，其目的是显示其运算功能，若把坐标点列化，自然引起向量与数列交汇；
向量与三角交汇：三角形是平面几何中最基本、最重要的图形，而且三角形中的线段可以视为向量，线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量形式表示，与向量有紧密的联系，这就为向量与三角形的沟通、交汇提供了条件．又如平面向量中的夹角、数量积，自然将向量与三角函数有机地联系在一起，这都是引起向量与三角交汇的主要因素；
向量与解析几何交汇：解析几何运用代数的方法解决几何问题，其本质是利用“数”去研究几何问题，具有数形结合与转换的特征．向量的数量积在解决两条直线的平行、夹角、距离等问题中具有广泛的应用，由此自然的就引起向量与解析几何的交汇．2．2 与导数的交汇导数是研究函数性质的有力工具，尤其是处理高次函数、分式函数、根式函数、指数函数、对数函数、三角函数以及它们的复合型函数问题时，更能体现其应用价值和思维价值．
函数、导数、不等式交汇：函数、不等式贯穿于函数的单调性、极值、最值等问题之中．导数的引入，拓宽了高考对函数与不等式问题的考查空间，以致在近年来的高考中，函数、导数、不等式的交汇成为考查的重点、热点；导数与数列交汇：数列是一种特殊的函数，数列中好多问题都可以转化为函数问题解决，而导数是处理函数问题的重要工具，所以数列很容易与导数交汇；
导数与三角函数交汇：三角函数的考查往往都是围绕其其对称性、单调性、最值等来展开，对三角函数问题的处理也应“与时惧进”，运用导数知识解决，就显得非常简洁流畅，由此导数与三角函数的交汇成为考查的创新点；
导数与解析几何交汇：解析几何融合了代数、三角和几何等知识，是考查学生综合能力的绝好索材．如涉及解析几何的最值问题，常常因为目标函数出现形式的多样性，用传统的知识和方法难以难以赛效，因而新增的导数知识为这类问题的解决提供新视角、新方法．又如导数的引入对研究函数和解析几何中的切线带来便利，从而使切线为导数、函数、解析几何的整合提供了方向，通过切线把这三者完美地交汇在一起，出现了大量充满活力与生机的试题，体现出现行高考稳中求新的特点．2．3 与数列的交汇数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型．新课程强调用函数的背景和研究方法来认识、研究数列，体会数列的函数背景，感受数列是研究现实问题情境的数学模型．数列与函数交汇：等差数列与等比数列是特殊数列，也是特殊函数，等差数列实际是一次型函数，是最简单的递推数列，等比数列实际是指数型函数，它们具有函数的一般性质．又如，数列本身是一个离散函数，而有关曲边图形面积计算中的数列问题一定程度上隐含了“连续”和“离散”的关系．由此，数列与函数的交汇是顺理成章的事．
数列与解析几何交汇：数列与解析几何的交汇是近年高考试题中的热点，引起交汇的主要因素是“点列”，点列具有双重功能，一方面“点”是解析几何的基本元素，另一方面“列”是数列的基本特征，把两者结合起来，能多角度考查学生驾驭数学知识的能力．
2．4 与算法的交汇 广义地讲，每一个数学问题的解决都对应着一个算法，研究问题的解决方法就是研究算法．用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确．程序框图用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚、步骤更直观也更精确．基于此，就引起了算法（程序框图）与统计交汇；算法（程序框图）与数列交汇；算法（程序框图）与不等式交汇；算法（程序框图）与概率交汇；算法（程序框图）与函数交汇；算法（程序框图）与方程交汇；算法（程序框图）与三角函数交汇，上述知识点的整合，将是高考试题命制的新“亮点” ．2．5 与线性规划的交汇线性规划是优化的具体模型之一，二元一次不等式有丰富的实际背景，是刻画平面区域的重要工具．线性规划成为求范围和最值问题的工具，从而引起了线性规划与解析几何的交汇；线性规划与函数的交汇；线性规划与方程的交汇；线性规划与导数的交汇；线性规划与向量的交汇；线性规划与概率的交汇．2．6 与概率的交汇概率是高中数学的新增内容，常与函数、数列、几何、实际生活等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致．与概率交汇的综合性问题是考查学生数学能力和数学素养的极好素材，同时也是学生将来学习高等数学必不可少的重要基础知识，基于此，概率是中学数学知识的一个重要交汇点，是新课程高考的一大亮点和热点。与概率的交汇主要体现在概率与函数的交汇；概率与方程的交汇；概率与数列的交汇；概率与三角函数的交汇；概率与解析几何的交汇．3．“交汇”后怎么考3．1 从交汇的层次
知识的交汇可以是纵横联系．
一是知识的交汇可以是纵向联系，即本板块上的纵向联系．
二是知识的交汇可以是横向联系，即几个不同板块上的横向联系．如圆锥曲线的交汇，一是圆锥曲线中各种曲线的标准方程、几何性质的联系，或直线与圆锥曲线关系；二是圆锥曲线与其它板块知识点的横向联系，如与数列、三角函数、不等式、向量、导数等知识的综合．3．2 从呈现方式知识的交汇可以是显性与隐性呈现的．
显性呈现的交汇，一般是在题设条件中已经有显而易见的交汇，已明确的显示了所考查的知识点．
隐性呈现的交汇，既在题设条件中不明显呈现，需要充分挖掘隐含条件，通过化归与转化，将某一板块知识转化为某一板块知识呈现．如超越型不等式用传统的不等式的方法难以证明，导数为这类问题的研究和解决提供了新思路．由于导数在这类问题中的应用往往是隐性的，需要我们去创造条件、去构造模式(主要是构造新函数) ．3．3 从考查的综合性在知识网络的交汇点设计试题，运用知识之间的交叉、渗透和组合，是基础性与综合性的最佳表现形式．知识网络的交汇可以是基础题中的交汇，也可以综合性问题体现. 基础题中的交汇，往往在选择题、填空题中体现，其题干“短小精悍”，重在考查基础知识，富有一定的挑战性．在解答题中，以综合性较强的形式呈现，设置知识间的交汇，要求考生从题目的众多条件和求解(求证)中提取相关信息，推动题目信息的延伸，归结到某个确定的数学关系，从而形成一个解题的行动序列，确定解题方向，有效地、灵活地解决问题．更值得注意的是，题目信息与不同数学知识的结合，应形成多个解题方向，这样，选取其中简捷的路径，就能得到题目的最优解法．如解析几何题题设条件通过向量的语言来描述，在某种程度上将传统题中的坐标关系、线段关系用向量表示，解题目标往往就是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为熟悉的代数运算．此外，向量作为一种工具，可以用向量方法来立体几何、解决解析几何问题．4．“交汇”后考什么例1 （2008年江苏卷）某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为　　．4．1 算法与统计的交汇评析 本题以频率分布为知识点进行铺垫，介绍了算法流程图中各个数据的来源，此题新意在于将算法流程图和频率分布表进行交融，加大了数据信息的含量．其考查点着重于循环结构终止条件的的判断，考查对频率分布和算法流程图的理解和应用，同时考查了学生读表、收集数据与数据处理能力，体现新课程理念．4．2 算法与不等式的交汇 评析 本题以算法语言为背景，结合不等式考查程序框图及赋值语句的理解和应用能力，具有创新性，突出新课程强调“双基”的理念．例2 （2008年海南、宁夏卷）如右边程序框图，
如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数
中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填
入下面四个选项中的（ ）
A． B． C． D． 4．3 算法与函数的交汇 例3 铁路托运行李，从甲地到乙地，按规定每张客票托运行李不超过50kg时，每千克0.2元，超过50kg时，超过部分按每千克0.25元计算．同学画出了计算行李价格的程序框图，则在程序框图（1）应填写的内容是 ，
（2）应填写的内容是 ．评析 本题的亮点在于将传统内容与新增内容结合，将函数与程序框图融于一体，主要考查关于条件语句的应用问题及分段函数问题的理解，考查化归与转化思想，考查逻辑推理能力及分析问题与解决问题的能力． 4．4 算法与数列的交汇 例4 各项都为正数的数列 的前 项和为 ，
已知 ．
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)若数列 满足 ， ，数列
满足 数列 的前 项和为
．当 为偶数时，求 ；
(Ⅲ) 同学甲利用(Ⅱ)中所求得 ，设计了一个
程序如图，但同学乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”(即程序会永远循环下去，两无法结束)．你是否同意同学乙的观点?请说明理出．评析 本题的设计角度比较新，融数列、算法知识于一体，有效考查对数列、程序框图知识掌握的情况，考查学生的学习能力、研究能力和阅读理解能力，试题的设问方式、答题要求有所突破和创新．解决此题的关键是转化为流程图的判断框中等式是否成立的问题，学生在解答时必须创造性地使用已知条件．4．5 算法与概率的交汇 例5 在可行域内任取一点规范如框图所示，则能输出数对(x,y)的概率是 ． 评析 该题以概率问题为背景，通过设置
程序框图解决具体问题，考查了学生对
算法的含义及对程序框图的理解，体现
了算法思想和概率的应用价值．此类试
题创新性强，实用价值高，即可考查学
生的基础知识和逻辑推理能力，又考查
了应用意识． 4．6 算法与三角函数的交汇 例6 在如下程序框图中，输入fo(x)=cosx，则输出的是 ．评析 本题以能力为立意，巧妙地将算法流程图、三角函数的周期性及求导公式等知识融为一体．考查了学生对基础知识的掌握情况，同时也考查了逻辑推理能力．5．知识交汇的设置应关注的问题5．1 突出主题
我们知道，评析一个问题的价值取向并不在于它的深奥，而在于它的功效；剖析问题最合理的途径就是对问题的迁移和转化，而迁移和转化方式的不同则取决于对问题情景的感受程度，因此，感受和体验也就成为了新课标理念的精华之处．因此，知识点的交汇，应突出主体，在于让学生感受和体验知识间的综合．如考查解析几何与向量的交汇，考查解析几何本质是主体，应立足于以解析几何为载体，以向量为工具，以考查解析几何本质问题和向量有关公式及其应用为目标，是高考在向量与解析几何交汇处设置试题的特点。若是在题设条件中过多地综合了向量的复杂问题（如角平分线的向量表示），势必冲淡主题，甚至达不到考查目的． 5．2 自然和谐 知识点的“交汇”设计应做到，取材考究，立意独到，交叉渗透，融合自然，设问简明，要充分体现了“注重学科的内在联系和知识的综合”以及“能力立意”的原则．为了交汇而交汇，人为的“拼凑”试题，是高考命题之大忌．
5．3 适度交汇 主干知识在高中数学教学中占据很大的比重，理应成为考查的重点。突出主干知识是不出“偏题”、“怪题”的重要保证．为了追求知识的覆盖面，过多地选择在知识的交汇点处命题，将产生矫枉过正，这也是高考命题所不愿看到的． 总之，知识交汇处试题的设置，应有鲜明的时代特色，体现出新课程的理念，映衬着高考支持并服务于新课程的意象；应在把握数学本质的基础上，以新颖的视角、创新的手法进行精心的构思和艺术化的“剪裁”；应以问题为中心，知识为纽带，横纵之间相互渗透、交汇，各种思想方法融汇贯通，彰显能力立意的命题宗旨；试题的设置应体现高考不仅要检测考生的思维层次和数学素养，区分、选拔优秀人才，而且更要体现新课程的精神和实质，展示新课程改革的成果． 谢谢！