30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 课件(共26张PPT) 2023-2024学年数学冀教版九年级下册

(共26张PPT)
第三十章 二次函数
30.2 二次函数的图像和性质
第3课时
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k;
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.(重点)
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
回顾：二次函数 y=a(x+h)2+k(a ≠ 0)的图像特点
当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.
对称轴是x=-h,顶点坐标是（-h,k).
通过上节课的学习，我们已经熟悉了二次函数 y=a(x+h)2+k的图像特点，
那么你认为怎样来画函数 图像比较方便？
(一)二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
我们可以先考虑将二次函数 ，转换成y=a(x-h)2+k的形式.
配方可得：
观察上面配方的过程，你能归纳配方的方法吗？
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
配方
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
注意:配方后的
表达式通常称为
配方式或顶点式.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
根据二次函数 配方后，转换成 ，
思考
你能很快说出二次函数 的对称轴和顶点坐标吗？
对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
知道二次函数 的对称轴和顶点坐标后，画图就方便了很多.
先利用图形的对称性列表：
x
...
...
5
3
4
9
8
7
6
...
...
y= x2-6x+21
7.5
3.5
5
3
7.5
3.5
5
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
x
...
...
5
3
4
9
8
7
6
...
...
y= x2-6x+21
7.5
3.5
5
3
7.5
3.5
5
描点、连线：
5
10
x
y
5
10
O
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
5
10
x
y
5
10
O
结合图像，说说二次函数 的增减性.
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
我们同样用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k.
y=ax +bx+c
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
二次函数 y=a(x+h)2+k(a ≠ 0)的性质
归纳总结
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
x
y
O
x
y
O
如果a>0,当x< 时，y随
x的增大而减小；
当x> 时，y随x的增大
而增大.
如果a<0,当x< 时，y随
x的增大而增大；
当x> 时，y随x的增大
而减小.
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
例1：画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
y ··· ···
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
解: 函数 通过配方可得 ，
先列表：
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
2
x
y
-2
0
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有
如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的
增大而增大；
当x＞1时，函数值y随x的
增大而减小；
当x=1时，函数取得最大值，
最大值y=-2.
典型例题
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概念剖析
1.抛物线y＝－x2＋4x＋7的顶点坐标为(　　 )
A．(－2，3) B．(2，11)
C．(－2，7) D．(2，－3)
B
典型例题
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概念剖析
2.求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
解：
=2(x2-4x)+7
y=2x2-8x+7
=2(x2-4x+4)-8+7
=2(x-2)2-1
典型例题
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概念剖析
3.已知二次函数y＝－x2＋x＋3，说出它的增减性以及最大值.
解：∵a=-1＜0， =0.5.
∴当x＜0.5时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞0.5时，函数值y随x的增大而减小；
当x=0.5时，函数取得最大值，此时y=3.25.
典型例题
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课堂总结
概念剖析
注意：
求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标的两种方法：
(1)用配方法将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为顶点式，确定顶点坐标；
(2)根据顶点坐标公式( ， )，直接将a，b，c的值
代入公式中，确定顶点坐标．
(二)二次函数y=ax2+bx+c中各项系数与函数图象的关系
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
x
y
O
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在y轴左侧，x＜0
对称轴在y轴右侧，x＞0
x=0时，y=c.
根据图像填空：
x
y
O
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是y轴，x=0
对称轴在y轴右侧，x＞0
x=0时，y=c.
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
典型例题
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课堂总结
概念剖析
字母符号 图象的特征
a＞0 开口_____________________
a＜0 开口_____________________
b=0 对称轴为_____轴
a、b同号 对称轴在y轴的____侧
a、b异号 对称轴在y轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于_____半轴
c＜0 与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
典型例题
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概念剖析
例2：已知二次函数y＝ax2＋bx和一次函数y＝ax＋b在同一平面直角坐标系
内的图象如图所示，其中正确的是(　　 )
A
B
C
D
D
典型例题
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课堂总结
概念剖析
A
B
C
D
选项B和选项C中的直线y＝ax＋b过第二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，
解析：∵选项A和选项D中的直线y＝ax＋b过第一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，
∴抛物线y＝ax2＋bx的开口向上，对称轴x＝ ＞0，
∴选项A错，选项D正确；
∴抛物线y＝ax2＋bx的开口应向下，且对称轴x＝ ＜0，
∴选项B，C均错．故选D.
典型例题
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概念剖析
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，
有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=-9a；④若（-3，y1）,
（1.5，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ）
A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④
x
y
O
2
x=-1
B
典型例题
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概念剖析
1.二次函数y＝ax2＋bx+c的顶点式
y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋________)2＋__________．
2.二次函数y＝ax2+bx+c的性质
y=ax2+bx+c a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
典型例题
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概念剖析
2.二次函数y＝ax2+bx+c的性质
y=ax2+bx+c a＞0 a＜0
最值
增减性
ymin=
ymax=
如果a>0,当x< 时，
y随x的增大而减小；
当x> 时，y随x的
增大而增大.
如果a<0,当x< 时，
y随x的增大而增大；
当x> 时，y随x的
增大而减小.