30.5 二次函数与一元二次方程的关系 课件(共17张PPT) 2023-2024学年数学冀教版九年级下册

(共17张PPT)
第三十章 二次函数
30.5 二次函数
与一元二次方程的关系
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
1.能运用二次函数及其图像、性质确定方程的解.（重点）
2.了解用图像法求一元二次方程的近似根.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
二次函数与一元二次方程关系密切．当y取定值且a≠0时，
二次函数y=ax2+bx+c为一元二次方程.
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，
可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3
的值为0，求自变量x的值．
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标
是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的
一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2
0个
1个
2个
x2-x+1=0无解
3
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2, 1
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0
有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0
没有交点 没有实数根 b2-4ac<0
归纳总结
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
证明：∵m≠0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；
∴Δ≥0，
∵(m－2)2≥0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，
求正整数m的值．
解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以 x－1＝0或mx－2＝0，
且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1或2.
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，
解得 x1＝1，x2＝ .
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
1.已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
1.已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，
且x1、x2的平方和为3，求a的值．
解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴a＝1.
∴x1 2＋x2 2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例2：求一元二次方程x2-2x-1的根的近似值（精确到0.1）.
分析：一元二次方程 x -2x-1=0 的根就是抛物线 y=x -2x-1 与x轴的交点
的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交
点的横坐标，
注意：这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
解：画出函数 y=x -2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个
实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器
进行探索，见下表：
x … -0.4 -0.5 …
y … -0.04 0.25 …
先观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，
可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，
题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.
但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
归纳总结
一元二次方程的图象解法
(1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象；
(2)观察估计二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标；
(3)确定方程ax2+bx+c=0的解.(借助计算器)
利用二次函数的图象求一元二次方程的ax2+bx+c=0的近似根；
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
B
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
3.当1＜x＜3时，二次函数y=x -(k+1)x+k的图象在x轴下侧，求k的取值范围.
解：y=x -(k+1)x+k=（x-k)(x-1)，与x轴交点坐标为（1,0）、（k，0）.
因为当1＜x＜3时有y＜0，所以k≥3.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
一元二次方程根的情况
判别式 的符号
Δ