课件23张PPT。1.______________的三角形是等腰三角形.2.等腰三角形两底角________，
简称为________________4.等边三角形的每个角都等于__________知识回顾等边对等角相等600有两边相等3.等腰三角形___________、_____________及
__________互相重合，简称为_________三线合一顶角平分线底边上的中线底边上的高如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处
遇险船只的报警，当时测得∠A=300 ,∠B=300 ,如果
这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大
约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？在一般的三角形中，如果有两个角相等，
那么它们所对的边有什么关系呢？提出问题判定 等腰三角形学习目标1.探索并掌握等腰三角形的判定定理：
“等角对等边”
2.区别“等角对等边”与“等边对等角”
的意义.
3.能够利用“等角对等边”在同一个三角形
中找有关线段相等从而解答问题．
探究交流大家知道等腰三角形的两个底角相等，
反过来它的逆命题是什么？1.猜想：如果一个三角形有两个角相等，
那么这个三角形是等腰三角形.或：两个角相等的三角形是等腰三角形.猜想：这个命题正确吗？3cm3cm如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，
那么AB与AC之间有什么关系吗？2.动手操作量一量：（1）测量AB与AC的长，
你发现了什么？AB =AC（2）为什么AB =AC呢？如图，在△ABC中，∠B=∠C. 沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，则∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形内角和的性质得
∠ADB=∠ADC.沿AD所在直线折叠，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合.从而点B与点C重合，于是AB=AC.3.证明：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角
所对的边也相等有两个角相等的三角形是等腰三角形.结论：等腰三角形的判定定理(简称“等角对等边”)在△ABC中
∵ ∠B=∠C 几何语言: ∴ AB=AC （等角对等边）即△ABC是等腰三角形议一议：（1）“等角对等边”与“等边对等角”有何区
别？它们是一对互逆定理，应用时要注意它们的
条件与结论.①从边判断：等腰三角形的判定方法有：（等角对等边）（2）判断一个三角形是等腰三角形有几种方法？②从角判断：有两边相等的三角形是等腰三角形.有两个角相等的三角形是等腰三角形.或：如果一个三角形中有两个角相等，
那么它们所对的边也相等.如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处
遇险船只的报警，当时测得∠A=300 ,∠B=300 ,如果
这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大
约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？知识应用1.解答前面提出的问题：解：∵∠A=300 ,∠B=300 ∴∠A=∠B∴OA=OB（等角对等边）所以这两艘救生船以同样的速度同时出发，能同时赶到出事地点.2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E
分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.证明 ∴∠B=∠C.又∵ DE∥BC∴ ∠ADE=∠B
∠AED=∠C∴ ∠ADE=∠AED∴△ADE为等腰三角形.∵AB=AC（等边对等角）∴AD=AE3.如图,D是等边三角形ABC的AC边上的中
点,在BC的延长线上取一点E,如果DE=6，
∠DCB=2∠CDE，求BD的长.解 ∵△ABC是等边三角形∴∠ACB=60°,∠ABC=60°∵D是AC的中点∴∠CBD=30°（三线合一）∵∠DCB=2∠CDE∴∠CDE=30°∵∠DCB=∠E+∠CDE =60°∴∠E=30°∴∠E=∠CBD ∴BD=DE=6（等角对等边）已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB
的平分线相交于点O.
求证:△OBC为等腰三角形.证明:∵BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线 ∴ ∠OBC= ∠ABC ，∠OCB= ∠ABC ， ∵ △ABC是等腰三角形∴ ∠OBC =∠OCB∴ △OBC是等腰三角形.∴ ∠ABC =∠ACB自主练习交流∴ OB=OC（等角对等边）分析：找出∠OBC =∠OCB╮╭这节课你学习了什么？要注意什么？课堂小结等腰三角形的判定方法：①从边判断：有两边相等的三角形是等腰三角形.②从角判断：（等角对等边）有两个角相等的三角形是等腰三角形.要注意“等角对等边”与“等边对等角”
的区别作业布置课本66页A组5，7 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形内角和定理得
∠A+∠B+∠C= 180°.如果顶角∠A=60°，则∠B+∠C= 180°-60°=120°.又 AB=AC，∴ ∠B=∠C.∴ ∠B=∠C=∠A=60°.∴ △ABC是等边三角形.由此得到另一条等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.举
例证明 ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C= 60°.∵∠EAD=∠BAC= 60°，又 AD =AE，∴△ADE是等边三角形（ ）例3 如图，⊿ABC中,∠ACB的平分线交AB于点E,过点E作FE//BC,交AC于点O,交∠ACD的平分线于点F,求证：EO=FO.证明： ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵EF ∥BC,∴ ∠2=∠5，∠3=∠6,∴ ∠1=∠5，∠4=∠6,∴EO=CO,FO=CO,∴EO=FO.1. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和
∠ACB的平分线相交于点O.
求证：△OBC为等腰三角形.∴ ∠ABD =∠DBC= ，又∵ △ABC是等腰三角形，∴ ∠DBC =∠ECB，∴ △OBC是等腰三角形.∴ ∠ABC =∠ACB，∠ACE =∠ECB= 2、如图，在△ABC中，∠ACB和∠ACB的平分线相交于点D，且DB=DC，请说明AB=AC的理由. 3. 已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE
交BC的延长线于点E，且∠ACE= 60°.
求证：△ACE是等边三角形.∴ 在△ACE中，∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 °又∵∠ACE=60°，∴ ∠BCD=∠E=60°，∴ ∠ACD =∠DCB，∴ ∠ACD=∠DCB=60°，又 ∵ AE∥DC，∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形.4、已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC。
求证：AB=AD5. 已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA
且DF平分∠CDE.求证：△ABC是等边三角形.∴△ABC是等边三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴ ∠FDC=∠ABC=60°，∴ △ABC是等腰三角形，∴ ∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，6、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。已知：∠EAC是△ABC的外角，∠1=∠2，
AD∥BC，求证：AB=AC 1、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠， 重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？由折叠可知：∠EBD=∠CBD，
在矩形ABCD中，AD∥BC，则∠CBD=∠FDB,
所以∠FDB=∠EBD 所以BF=DF2、如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点O，且DE∥BC.
（1）图中共有几个等腰三角形？选其一加以说明.
（2）试说明△ADE的周长与AB+AC的关系.
（3）若AC=13cm，AB=10cm，求△ADE的周长.7.已知：如图,在等边三角形ABC的AC边上的取中点D,BC的延长线上取一点E,使得CE=CD.求证：BD=DE.证明：∵△ABC是等边三角形,D是AC中点 ∴∠ACB=60°,∠CBD=30° ∵CD=CE ∴∠E=∠CDE ∵∠BCD=∠E+∠CDE=2∠E=60° ∴∠E=30°=∠CBD ∴BD=DE8、上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40o，∠NBC=80o，求从B处到灯塔C的距离．1、这节课我们学习了什么？2、等腰三角形的判定定理和性质定理有何联系？作业：P66 A 5、6、7 B 9、10定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边）。
推论1：三个角相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形课件22张PPT。 如图的三角测平架中，AB=AC，在BC
的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架
身，使点A恰好在铅锤线上.这时可判定BC处于水平位置，
这是什么道理呢？提出问题性质 等腰三角形学习目标1.探索并掌握等腰三角形的三个性质．
2.能够利用等腰三角形的性质解答有关角
相等或线段相等的问题．
3.结合等腰三角形性质的探索，体会轴对
称在研究几何问题中的作用． 1. ____________的三角形叫等腰三角形.有两边相等2.如图△ABC 中，AB =AC，
则△ABC 是______三角形
腰是__________，
底边是________，
顶角是________，
底角是____________. AB 、ACB C∠A∠B 、∠C等腰1. 任意画一个等腰三角形ABC， 其中AB =AC，
剪下来，把△ABC 沿着顶角平分线AD 所在
的直线对折，探究交流AB =ACBD =CD∠B =∠C∠B AD=∠CAD∠ADB =∠ADC重合的线段重合的角这是为什么呢？观察把你所发现的填入下表：由于∠1 =∠2， AB=AC， 因此：ABABBAD把△ABC 沿着顶角平分线AD 所在的直线对折，①射线AB的像是射线AC，
射线AC的像是射线 ；
②线段AB的像是线段AC，
线段AC的像是线段 ；
③点B的像是点C，
点C的像是点 ；
线段BD的像是线段CD.
从而等腰△ABC关于直线 对称.等腰三角形是__________图形，
对称轴是_________________________.轴对称顶角平分线所在的直线.由于∠1 =∠2， AB=AC， 因此：④由于点D 的像是点D,
因此线段DB 的像是线段 ，
即BD=_____
从而AD 是底边BC上的 .
⑤由于射线DB的像是射线DC,
射线DA的像是射线 ,
因此∠BDA=∠CDA= °,
从而AD是底边BC上的 .DC中线DA90高把△ABC 沿着顶角平分线AD 所在的直线对折，DC由此说明等腰三角形顶角平分线与底边上的中线、高________.由上可见，AD既是顶角的_________，又是底边BC上的______与_______.平分线中线高重合简称为“三线合一”由于∠1 =∠2， AB=AC， 因此：⑥由于射线BA 的像是射线CA ,
射线BC 的像是射线 ,
因此∠B ∠C.CB=把△ABC 沿着顶角平分线AD 所在的直线对折，这说明等腰三角形的两底角______.由于等腰三角形的两底角是_________所对的角，由此又简称为“_____________”.注意：“等边对等角”在同一个三角形中才成立.理解：在一个三角形中相等的边所对的角相等，
对吗？相等两腰等边对等角正确2.小结：由上得到等腰三角形的性质定理（1）对称性：等腰三角形是__________图形，
对称轴是_________________________.（3）等边对等角：等腰三角形的两底角______.或在一个三角形中相等的边所对的角_______（2）三线合一：等腰三角形______________、______________
及_____________互相重合.轴对称顶角平分线所在的直线.顶角平分线底边上的中线底边上的高相等相等（1）如图，在△ABC中， 如果AC=AB，则
∠B=______，根据是_____________（2）如图△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上
①如果AD ⊥ BC
那么∠ = ∠ ，____=____
根据是______________
②如果AD是中线，
那么 ⊥ ，∠_____=∠_____.
根据是_____________
③如果AD是角平分线，
那么 ⊥ ， = .
根据是____________BAD CADBD CDBD CDBAD CADAD BCAD BC3.强化理解：三线合一三线合一等边对等角三线合一 ∠C等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.如图， △ABC 是等边三角形， （1）∠A， ∠B，∠C的大小之间有什么关系？
都等于多少度？为什么？4.动脑筋：思考交流：（2）等边三角形是轴对称图形吗？
为什么？有几条对称轴？等边三角形是轴对称图形，它
有三条对称轴，分别是三个内
角的平分线所在的直线.如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D
挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好
在铅锤线上.这时可判定BC 处于水平位置，
这是什么道理呢？知识应用1.解答前面提出的问题解：∵AB=AC，点D是BC的中点 ∴AD⊥BC （ ）三线合一又∵DA在铅锤线上∴BC 处于水平位置2. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上
的高，∠BAC=49°，BC= 4，
求∠BAD的度数及DC的长.解：∵AB=AC，AD是BC边上的高∴∠BAD=∠CAD
BD=DC（三线合一）又∵∠BAC=49°，BC= 4，∴∠BAD= ∠BAC= ×490 =24.50DC= BC= ×4=23.已知等腰三角形的一个内角为70°,解：若70°为顶角，则两个底角的和为1800 -700 =1100∴每个底角=550若70°为一个底角，则另一个底角=700 ∴顶角=1800 -700 -700=400∴这个等腰三角形的其他内角为求这个等腰三角形的其他内角. 550，550或700，400 温馨提示：没有指明已知角是顶角还是底角时，要分情况
讨论.1.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____________
2.等腰三角形一个角为50°,它的另外两个角为__________________
3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________________
4.等腰直角三角形的两个底角分别为___________ 75°, 30°65°,65°或50°,80° 35°, 35°自主练习交流5.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，
则它的周长为（ ）
A.12或9 B.12 C.9 D.7B 45°, 45°6.如图,在等边三角形ABC的AC边上取
中点D,连接BD，则∠ABD=_______度30本节课你学习了等腰三角形的哪些重要性质?三线合一：______________________________等腰三角形的三个特殊性质：对称性：___________________________________等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角____，都等于_____课堂小结等边对等角：______________________________作业布置课本66页A组1，2 在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ ABC各角的度数 . 解：∵在△ABC中，AB=AC∴∠ABC=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°∵在△ABD中，BD=AD∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠A+∠ABD, 即∠BDC=2∠A ∵ 在△BDC中，BD=BC∴∠BDC=∠BCD, ∠A+2∠ACB=180°即 ∠A+4∠A=180°∴∠A=36°∠ABC=∠BCA=2∠A=72°1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上
的高，∠BAC=49°，BC= 4，求∠BAD的度
数及DC的长.答：∠BAD=24.5°，
DC=2.2. 如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD= 80°，AD=AP，求∠DPC的度数.∠DPC =20°.3、已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋檐AB=AC,求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。1题2题3题∠B =∠C=40°.∠BAD=∠CAD=50° 例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且AD=AE. 求证：BD=CE.证明 作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰△ABC和等腰△ADE
底边上的高，也是底边上的中线.∴ BF=CF，∴ BF-DF=CF-EF，DF=EF，即 BD=CE.例1：已知： 如图， 在△ABC中， AB=AC， BD⊥AC， 垂足为点D.
求证： ∠DBC= ∠A.∴∠DBC= ∠BAC解：作AF⊥BC于F∵AB=AC AF⊥BC∴∠CAF=∠BAF= ∠BAC∵AF⊥BC BD⊥AC∴∠CAF+∠C=∠DBC+∠C=90°∴∠DBC =∠CAF解题规律：
在等腰三角形中，做顶角平分线或作底边上
高或作底边上中线是一种常用的辅助线.举
例
