1 平行四边形的性质
第1课时
【基础作业】
1.如图,在 ABCD中,E是AB延长线上的一点,若∠A=60°,则∠1的度数为 ( )
A.120°
B.60°
C.45°
D.30°
2.在 ABCD中,若∠A∶∠B=5∶4,则∠C的度数为 ( )
A.80° B.120°
C.100° D.110°
3.若 ABCD中,AD+BC=10 cm,则AD= cm,BC= cm.
【巩固作业】
4.在 ABCD中,已知AB、BC、CD三条边的长度分别为x+3、x-4和16,则这个四边形的周长是 .
5.如图,在 ABCD中,AB=7 cm,AD=4 cm,∠DAB的平分线交DC于点E,交BC的延长线于点F,则CF= cm.
6.如图,E,F是 ABCD的对角线AC上的两点,CE=AF.请你猜想:BE与DF有怎样的数量关系和位置关系 并对你的猜想加以证明.
7.如图, AD∥BC, AE∥CD, BD平分∠ABC,求证: AB=EC.
8.如图,在 ABCD中,E、F是对角线AC上的点,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E、F.那么DF与BE是否相等 为什么
如图,在平行四边形ABCD中,AE、AF是平行四边形的高,∠BAE=30°,BE=2,CF=1,DE交AF于G.
(1)求线段DF的长.
(2)求证:△AEG是等边三角形.
10.如图,在 ABCD中,E是AD的中点,连接CE,G为AB上一点,∠BGC=2∠DCE,在CG上取一点F,使CF=CD,连接EF.请判断线段AG与GF的大小关系,并证明你的结论.
【素养作业】
11.如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试判断AF与CE是否相等,并说明理由.
参考答案
1.B 2.C
3.5 5
4.50
5.3
6.
解:猜想BE=DF,BE∥DF.
证明:在 ABCD中,有BC=AD,
因为AD∥BC,所以∠1=∠2.
又因为CE=AF,所以△BCE≌△DAF,
所以BE=DF,∠3=∠4,所以BE∥DF.
7.证明:因为AD∥BC,所以∠ADB=∠DBC.
又因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠DBC,
所以∠ADB=∠ABD,所以AB=AD.
因为AD∥BC, AE∥CD,
所以四边形ADCE是平行四边形,
所以AD=EC.所以AB=EC.
8.解:相等.理由:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC,AD∥BC,所以∠DAF=∠BCE.因为BE⊥AC,DF⊥AC,所以∠DFA=∠BEC=90°.所以△ADF≌△CBE(AAS),所以DF=BE.
9.解:(1)∵在平行四边形ABCD中AE、AF是高,∴∠AEB=90°,∠AFD=90°.∵Rt△ABE中∠BAE=30°,BE=2,∴AB=4,∠ABE=60°.∵四边形ABCD是平行四边形,∠ABE=60°,AB=4,∴∠ABE=∠ADC=60°,CD=AB=4,∵CF=1,CD=4.∴DF=CD-CF=4-1=3;
(2)证明:∵在△ADF中,∠ADC=60°,∠AFD=90°,∴∠DAF=30°,∴AD=6.∵四边形ABCD是平行四边形,∠ABE=60°,∴∠DAB=∠C=120°,BC=AD=6,∴EC=4,∴EC=CD=4,∴∠DEC=∠EDC=30°.∵由(1)知∠AEC=90°,∴∠AEG=60°.∵∠BAE=30°,∠DAF=30°,∴∠EAG=∠DAB-∠BAE-∠DAF=60°,∴∠AGE=∠EAG=∠AED=60°,∴△AEG是等边三角形.
10.解:AG=GF,理由如下:
连接EG,作EM⊥AB于M,EN⊥CG于N,如图所示.
则∠M=∠ENF=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,AD∥BC,AB∥CD,∴∠BGC=∠DCG,∠BAD+∠B=180°.
∵∠BGC=2∠DCE,∴∠DCE=∠FCE.
在△CDE和△CFE中,CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△CDE≌△CFE(SAS),∴DE=FE,∠D=∠CFE.
∵点E是AD的中点,∴AE=DE,∴AE=FE.
∵∠CFE+∠EFG=180°,∴∠BAD=∠EFG,
∴∠EAM=∠EFN.
在△AEM和△FEN中,∠M=∠ENF,∠EAM=∠EFN, AE=FE,∴△AEM≌△FEN(AAS),∴EM=EN,∴∠AGE=∠FGE.
在△AEG和△FEG中,∠EAG=∠EFG,∠AGE=∠FGE,EG=EG,∴△AEG≌△FEG(AAS),∴AG=GF.
11.解:AF=CE,理由如下:
在 ABCD中,
有AD=CB,∠A=∠C,∠ADC=∠ABC,
因为DF、BE分别平分∠ADC、∠ABC,
所以∠ADF=∠ADC,∠CBE=∠ABC,
所以∠ADF=∠CBE.
所以△ADF≌△CBE,
所以AF=CE.
2第2课时
【基础作业】
1.在 ABCD中,AC、BD交于点O,AC=6 cm,BD=16 cm,AB=9 cm,则△AOB的周长为 cm.
2.如图, ABCD的对角线AC、BD交于点O,一组邻边BC、AB分别为5 cm、8 cm.则△AOB与△BOC的周长之差为 cm.
3.在 ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,△BOC的周长为24,BC=10,则对角线AC与BD的和是 .
【巩固作业】
4.在 ABCD中,AE⊥BD于E,∠EAD=60°,AE=2 cm,AC与BD交于O,且AC+BD=14 cm,则△OBC的周长是 cm.
5.如图, ABCD的对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB.若AB=6 cm,AD=10 cm,试求OA,OB的长.
6.如图,在平行四边形ABCD中,∠A=45°,BD⊥AD,BD=2.
(1)求平行四边形ABCD的周长和面积.
(2)求A、C两点间的距离.
【素养作业】
7.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E、F分别是OB、OD的中点.证明:AF=CE.
参考答案
1.20
2.3
3.28
4.11
5.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,BC=AD=10 cm.
∵AC⊥AB,∴∠BAC=90°,∴在Rt△ABC中,AB=6 cm,由勾股定理有AC==8 cm,∴OA=AC=4 cm,∴在Rt△ABO中,AB=6 cm,由勾股定理有OB==2 cm.
6.解:(1)∵BD⊥AD,∴∠ADB=90°.
又∵∠A=45°,∴∠ABD=45°,∴AD=BD=2,
∴AB==2.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=2,BC=AD=2,∴C ABCD=2AB+2AD=2(2+2)=4+4,∴S平行四边形ABCD=AD×BD=2×2=4.
(2)连接AC,与BD相交于点O,如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=BD=1,AC=2AO.
∵在Rt△AOD中,∠ADO=90°,
∴OA==,∴AC=2,∴A、C两点间的距离为2.
7.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO;OB=OD.因为E、F分别是OD、OB的中点,所以OE=OF,又∠AOF=∠COE,所以△AOF≌△COE(SAS),所以AF=CE.
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