2 平行四边形的判定
第1课时
【基础作业】
1.已知在四边形ABCD中, AB=CD,请补充一个条件: ,使得四边形ABCD是平行四边形.
2.九根火柴棒排成如右图的形状,图中有 个平行四边形,你判断的根据是 .
【巩固作业】
3.四边形的四条边长分别是a,b,c,d,其中a,c为对边,b,d为对边,且满足(a-c)2+(b-d)2=0,则这个四边形是 ( )
A.任意四边形
B.对角线相等的四边形
C.对角线垂直的四边形
D.平行四边形
4.如图,在四边形ABCD中,AB=DC,∠ABC+∠C=180°,点E、F分别在边BC,AD上,AF=CE,EF与对角线BD交于点O,求证:O是BD的中点.
【素养作业】
5.如图,四边形AEFD和四边形EBCF都是平行四边形.试判别四边形ABCD是平行四边形.
6.如图,已知D是△ABC边AB上的一点,CN∥AB,DN交AC于点M,若MA=MC,试说明 CD=AN.
参考答案
1.AB∥CD或AD=BC
2.3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.D
4.解:连接FB、DE,如图:
∵∠ABC+∠C=180°,∴AB∥CD,且AB=DC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.又AF=CE,∴FD=AD-AF=BC-CE=BE,∴FD∥BE且FD=BE,∴四边形BFDE是平行四边形,∴BO=OD,即O是BD中点.
5.解:在 AEFD中,有AD EF.在 BEFC中,有EF BC,所以AD∥BC且AD=BC.故四边形ABCD是平行四边形.
6.解:因为AB∥CN,所以∠BAC=∠NCA,
因为MA=MC,∠AMD=∠CMN,
所以△AMD≌△CMN,
所以AD=CN.
因为AD∥CN,
所以四边形ADCN是平行四边形,
所以CD=AN.
2第2课时
【基础作业】
1.在四边形ABCD中,若AC=8 cm,BD=10 cm,则当AO= cm,DO= cm时,四边形ABCD为平行四边形.
2.如图,木匠通常取两条木棒的中点进行加固,得到的虚线四边形是 ,理由是 .
【巩固作业】
3.下列条件中,不能判别四边形是平行四边形的是 ( )
A.两组对边分别平行
B.一组对边平行,另一组对边相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
4.如图,O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点,EF经过点O,且与AB交于E,与CD交于F.试说明四边形AECF是平行四边形.
5.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,直线EF过点O分别交BC、AD于点E、F,G、H分别为OB、OD的中点,求证:四边形GEHF是平行四边形.
【素养作业】
如图,平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,E、G分别是OA、OC的中点,过点O作任一条直线交AD于点H,交BC于点F,求证:
(1)OH=OF.
(2)HG=FE.
参考答案
1.4 5
2.平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形
3.B
4.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以CD∥AB,所以∠FCO=∠EAO.
又因为OC=OA,∠FOC=∠EOA,
所以△COF≌△AOE,所以OE=OF.
因为OA=OC,所以四边形AECF是平行四边形.
5.证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴BO=DO,AD=BC且AD∥BC,∴∠ADO=∠CBO.
又∵∠FOD=∠EOB,在△FOD和△EOB中,∠FDO=∠EBO,DO=BO,∠FOD=∠EOB,∴△FOD≌△EOB(ASA),∴FO=EO.
又∵G、H分别为OB、OD的中点,∴GO=HO,∴四边形GEHF是平行四边形.
6.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,OA=OC,OD=OB,∴∠ADO=∠CBO,∠DHO=∠BFO,且OD=OB,∴△DHO≌△BFO(AAS),∴OH=OF.
(2)∵E、G分别是OA、OC的中点,且OA=OC,∴OG=OE,且OH=OF,∴四边形HGFE是平行四边形,∴HG=FE.
2第3课时
【基础作业】
1.以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形,最多能作 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.已知E、F、G、H分别为 ABCD各边的中点,则四边形EFGH为 .
3.如图,AB∥CD,AD∥BC,四边形的面积为21,AB=3,则AB与CD之间的距离为 .
【巩固作业】
4.如图,在 ABCD中,E、F分别是BC、AD上的点,若想使四边形AFCE是平行四边形,需添加一个条件,这个条件可以是 ( )
①AF=CF;
②AE=CF;
③∠BAE=∠FCD;
④∠BEA=∠FCE.
A.①或② B.②或③
C.③或④ D.①或③或④
5.点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD,②AB=CD,③BC∥AD,④BC=AD这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法有 ( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
6.如图,在四边形ABCD中,EF过对角线的交点O,交AD于E,交BC于F,OA=OC,OB=OD,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长是 ( )
A.16 B.14 C.12 D.10
7.如图,在△ABC中,DE∥AB,FD∥BC,EF∥AC,则下列说法中正确的个数为 ( )
①图中共有三个平行四边形;
②AF=BF,CE=BE,AD=CD;
③EF=DE=DF;
④图中共有三对全等三角形.
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图,在平行四边形ABCD中,P1,P2是对角线BD的三等分点,求证:四边形AP1CP2是平行四边形.
9.如图1,在平行四边形ABCD中,(AB>BC)AE⊥BC,垂足为E,DF⊥BC所在直线,垂足为F.
(1)求证:BE=CF.
(2)如图2,作∠ADC的平分线交边AB于点M,与AE交于点N,且AE=AD,求证:CD=CF+AN.
10.如图,四边形ABCD是平行四边形,AD=AC,AD⊥AC,E是AB的中点,F是AC延长线上一点.
(1)若ED⊥EF,求证:ED=EF.
(2)在(1)的条件下,若DC的延长线与FB交于点P,试判定四边形ACPE是否为平行四边形 并证明你的结论(请先补全图形,再解答).
【素养作业】
11.如图,已知 ABCD中,AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线,求证:四边形AFCE是平行四边形.
参考答案
1.B
2.平行四边形
3.7
4.C 5.B 6.C 7.B
8.
证明:如图,连接AC,交BD于点O,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO.又∵P1,P2是对角线BD的三等分点,∴BP1=P1P2=DP2,∴OP1=OP2,∴四边形AP1CP2是平行四边形.
9.证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BC.
又∵AE⊥BC,DF⊥BC,
∴AE=DF(平行线之间垂直距离处处相等),
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),
∴BE=CF.
(2)如图,延长CF到G,使得FG=AN,连接DG.
∵AD∥BC,且AE⊥BC,DF⊥BC,∴AE=DF.∵AE=AD,
∴AD=DF.∵△ADN≌△FDG(SAS),∴∠1=∠6=α,∠7=∠G,FG=AN.∵Rt△ABE≌Rt△DCF,∴∠3=∠4=β.∵DM平分∠ADC,∴∠1=∠2=α.∵AB∥CD,∴∠5=∠2=α,在△AMN中,∠7=∠4+∠5=α+β.又∠CDG=∠3+∠6=α+β,∴∠CDG=∠G,∴CD=CG,而CG=CF+FG=CF+AN,∴CD=CF+AN.
10.解:(1)证明:在 ABCD中,∵AD=AC,AD⊥AC,
∴AC=BC,AC⊥BC,连接CE,如图1所示:
∵E是AB的中点,∴AE=EC,CE⊥AB,∴∠ACE=∠BCE=45°,∴∠ECF=∠EAD=135°.∵ED⊥EF,∴∠CEF=∠AED=90°-∠CED,在△CEF和△AED中,∠CEF=∠AED,CE=AE,∠ECF=∠EAD,∴△CEF≌△AED(ASA),∴ED=EF.
(2)四边形ACPE为平行四边形,理由如下:
如图2所示:
由(1)知△CEF≌△AED,CF=AD,∵AD=AC,∴AC=CF.∵DP∥AB,∴FP=PB,∴CP=AB=AE.又CP∥AE,∴四边形ACPE为平行四边形.
11.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CE∥AF,∠DAB=∠DCB,∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD,∴∠2=∠3,又∠3=∠CFB,∴∠2=∠CFB,∴AE∥CF,又CE∥AF,∴四边形AFCE是平行四边形.
2
