江苏省泰州中学附属初级中学2023-2024学年九年级下学期数学第一次月考模拟试题(含答案)

九年级（上）第一次月考数学模拟试卷2024.3.19
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．将一个棱长为4的正方体的表面涂成灰色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．
成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
人数 ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，众数
4．一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
6．下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
7．，且都是集合的子集，若把叫做集合的“长度”，则集合的长度的最小值是_______．
8．如图，一个正边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是，那么_______．
9．一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为_______．
10．某校组织学生参加植树活动，活动结束后，统计了九年级甲班50名学生每人植树的情况，绘制了如下的统计表：
植树棵数 3 4 5 6
人数 20 15 10 5
那么这50名学生平均每人植树_______棵．
11．设是关于的方程的两个根，且，则_______．
12．如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为_______．
13．如图，是的切线，切点分别为．若，则的长为_______．
14．若关于的一元二次方程的一个根为1．则_______．
15．如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且的延长线交于点，若，求的度数为_______．
16．如图，矩形中，．将矩形沿折叠，使点落在边中点处，点落在处．连接，以矩形对称中心为圆心的圆与相切于点，则圆的半径为_______．
三、解答题：本题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题12分）
用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
18．（本小题8分）
如图，是的直径，点在上，，垂足为分别交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
19．（本小题8分）
嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下：
嘉嘉：两边同除以，得，则． 淇淇：移项，得，提取公因式，得．则或，解得．
（1）嘉嘉的解法_______；淇淇的解法_______；（填“正确”或“不正确”）
（2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程．
20．（本小题8分）
一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆孤两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离．如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多少 （结果精确到）
21．（本小题10分）
随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．
（1）本次调查的学生共有_______人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是_______人；
（2）“非常了解”的4人有两名男生，两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
22．（本小题10分）
某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：6，9，8，8，9，7，6，7，9，8，7，8，10，8，9，9，10，9，9，10．
八年级抽取的学生的初赛成绩：6，9，8，10，7，7，10，7，9，8，7，9，10，7，9，8，7，10，8，10．
七，八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 方差 优秀率
七年级 8.3 8.5 1.41
八年级 8.3 7 1.61
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_______，_______，_______；
（2）请补全八年级条形统计图；
（3）在本次“最强大脑”邀请赛中，_______年级的初赛成绩相对稳定；（选填“七”或“八”．）
（4）若七年级有学生800人，八年级有学生900人，且满分才能进入决赛，估计全校进入决赛的学生共有_______人．
23．（本小题10分）
已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
24．（本小题10分）
如图，在中，，在上取一点，以为直径作，与相交于点，作线段的垂直平分线交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为1，求线段的长．
25．（本小题12分）
某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元．市场调查发现，该产品每天的销售价为25（元/千克）时，每天销售量为30（千克）．当产品的销售价每千克涨1元时每天销售量会减少2千克，设涨价（元/千克）（为正整数），每天销售量为（千克）．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）该农户想要每天获得128元的销售利润，销售价为多少
（3）每千克涨价多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少元
26．（本小题14分）
如图①，已知是的外接圆，（为上一点，连接交于点．
图① 图② 图③
（1）连接，若，求的大小；
（2）如图②，若点恰好是中点，求证：；
（3）如图③，将分别沿翻折得到，连接，若为直径，请问是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．
九年级（上）第一次月考数学模拟试卷答案2024.3.19
1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】D
7．【答案】 8．【答案】9 9．【答案】 10．【答案】4 11．【答案】2
12．【答案】 13．【答案】3 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】2.7
17．【答案】解：（1），
，，即；
（2），，，
，；
（3），，
，
或，；
（4）方程化为，则，
，
该方程有两个不相等的根，且，
．
18．【答案】（1）证明：是的直径，，
，，，
，，，．
（2）解：如图，连接，
，
，，
是等边三角形，，
，，，
的长度．
19．【答案】不正确 正确
20．【答案】解：由垂径定理推论可得：，
设圆的半径为，则，
，即．
解得：．
答：这个车轮的半径为．
21．【答案】（1）50，360；
（2）画树状图，共有12种可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，
（恰好抽到一男一女的）．
22．【答案】解：（1）9，8，45
（2）由题意可得：7分的人数为6人，10分的人数为5人
补全条形统计图：
（3）七
（4）345
23．【答案】解：
（1）方程有两个实数根，
解得；
（2）由根与系数的关系可得，
，，即，
，解得．
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
，，
是的中垂线，，，
是直角三角形，，
，，
，
即，是半径，是的切线；
（2）解：如图，连接，
是的中垂线，，
设
在中，，
在中，，
，
即，
解得，即．
25．【答案】解：（1）由题意得
与之间的函数关系式为；
（2）由题意得
解得（不合题意，舍去），
则销售价位元，
答：销售价为36元；
（3）设每天的销售利润为元，
由题意得
，
则当时，最大为200元．
答：每千克涨价5元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
26．【答案】解：（1），，
，
；
（2）证明：点是的中点，
，，，
，，
，，
，，；
（3）是定值．
方法一：将分别沿翻折得到，
，
，
过点作于点，则，
连接并延长交于点，连接，则，
图③
，，
在和中
，，
为定值．
方法二：连接，
图④
则，
，
，．