2022-2023学年河南省天一大联考高二（下）段考数学试卷（四）（含解析）

2022-2023学年河南省天一大联考高二（下）段考数学试卷（四）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数为，若的图象在点处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
3.年月，聊天机器人横空出世，迅速风靡全球，强大的功能令人震撼的同时，也让许多人感受到了职业危机调研数据显示，客服、数据分析、翻译、市场调研分析、自媒体是受访用户认为最容易被抢“饭碗”的职业某传媒公司从这种职业中各随机选取人，调研他们是否有职业危机，若从这人中选人发言，则每个职业至少选人的不同选法种数为( )
A. B. C. D.
4.在底面是菱形的直四棱柱中，，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知某品种芝麻的生长期单位：天服从正态分布，且，则下列结论错误的是( )
A. 该品种芝麻的生长期小于天的概率小于
B. 该品种芝麻的生长期平均为天
C. 该品种芝麻的生长期的标准差为
D. 该品种芝麻的生长期小于天的概率与超过天的概率相等
6.甲、乙两名儿童玩剪刀、石头、布游戏，每次从开始到确定胜负为次游戏，且甲或乙连续胜次时结束游戏，若每次游戏甲胜的概率为，且各次游戏之间相互独立，则玩次游戏后结束的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆：的右焦点为，下顶点为，线段的中点为，点是上的任一动点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若数列满足，，则称数列为斐波那契数列模仿斐波那契数列构造数列，满足，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 当时，的值最大
10.下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若随机变量的所有可能取值为，，，，，且，则
11.若，则( )
A.
B.
C.
D. 被除所得余数为
12.已知，，，且，，则下列能使，成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数的导函数为，的图象如下，若的极大值点与极小值点的个数分别为，，则 ______
14.著名数学家笛卡尔根据他所研究的花瓣与叶形曲线特征，列出了方程，该方程表示的曲线就是优美的“笛卡尔叶形线”，它具有非常完美的对称性如图所示的叶形线的方程是，它的渐近线是经过点的一条直线，若点是上到距离最大的点，则过点且与相切的半径最小的圆的方程为______．
15.在网红电商直播带货及消费者对方便速食的青睐等多种因素作用下，螺蛳粉产业销售额迅速增长已知年某地螺蛳粉全部产业链销售收入为亿元，且该地螺蛳粉全部产业链月销售收入单位：亿元与月份代码年月为，依次顺延具有线性相关关系，根据年个月螺蛳粉全部产业链月销售收入数据求得回归方程为，根据该模型预测，年该地螺蛳粉全部产业链销售收入为______．
16.某品牌电器公司有甲、乙两个生产基地为其生产某零配件，甲生产基地有条生产线，乙生产基地有条生产线，每条生产线在单位时间内生产的零配件数量相同，已知甲生产基地生产的零配件次品率为，乙生产基地生产的零配件次品率为，若从某天两生产基地生产的零配件中随机选取个检测，该零配件是次品的概率为，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列是等比数列，，，且，，成等差数列．
Ⅰ求；
Ⅱ若，求数列的前项和．
18.本小题分
在娱乐需求增加、等技术不断迭代的背景下，中国虚拟人产业高速发展，洛天依、柳夜熙等一大批虚拟人形象进入中国网民视野某传媒公司随机调查了名中国虚拟人爱好者，统计得知这名受访者中为女性，为青年人，青年人中男性占．
Ⅰ完成下面的列联表；
性别 年龄 合计
青年人 非青年人
男性
女性
合计
Ⅱ根据小概率值的独立性检验，判断男性和女性虚拟人爱好者的年龄分布是否有差异．
参考公式：．
参考数据：
19.本小题分
如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，，分别为，的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值．
20.本小题分
已知点在抛物线：上，且为坐标原点，的焦点关于点的对称点在轴正半轴上Ⅰ求的方程；
Ⅱ若点，是上不同的两点，线段的中点为，在点，处的初线交于点，判断直线的倾斜角是否为定值，并证明你的结论．
21.本小题分
年某公司举行周年庆典活动，活动中有一个环节，公司所有员工扫码领红包：每位员工通过手机扫公司提供的二维码进入活动页面，从页面上的个红包中随机领取个领取前不知道红包金额．
Ⅰ若个红包金额分别为元、元、元、元，公司希望每位员工领取的个红包金额之和的期望值为元，求的值；
Ⅱ若个红包的金额为元、元、元、元、元中的个，公司希望每位员工领取的个红包金额之和的期望值为元，且不同员工领取的个红包金额之和比Ⅰ中方案更均衡，请你给出一组个红包的金额只需给出一组个红包的金额并说明理由即可，不需要判断是否还有其他选择．
22.本小题分
已知函数．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ若，求的零点个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在双曲线中，，，，
所以离心率．
故选：．
直接求出，和，进而求解结论．
本题考查双曲线的几何性质，考查计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，的图象在点处的切线方程为，
切线方程为，即，其斜率为，即，
切点坐标为，代入切线方程可得，
故．
故选：．
根据题意，由导数的几何意义求出的值，由切点坐标求出的值，进而计算可得答案．
本题考查导数的几何意义，涉及直线的斜率，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意，从这人中选人发言，每个职业至少选人的不同选法：一定是某一个职业选人，其它职业各选人，
某一个职业选人：从个职业中任选一个职业，再从其中的人中选择人，有种选法，
其它职业各选人：有种选法，
由分步乘法计数原理，共有种不同选法．
故选：．
根据组合数公式的应用以及分步乘法计数原理计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
直接利用向量的数量积求出结果．
命题意图本题考查向量的数量积运算．主要考查学生的运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：选项，该品种芝麻的生长期小于天的概率，A正确；
选项，，该品种芝麻的生长期平均为天，B正确；
选项，，该品种芝麻的生长期的方差为，C错误；
选项，该品种芝麻的生长期小于天的概率与超过天的概率相等，D正确．
故选：．
根据正态分布曲线的特点及正态分布中两个量和逐项计算，即可求解．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：记为事件“第次游戏甲胜”，，，，，，
则“玩次游戏后结束”包含事件和，
故玩次游戏后结束的概率为：
．
故选：．
记为事件“第次游戏甲胜”，，，，，，则“玩次游戏后结束”包含事件和，由此能求出玩次游戏后结束的概率．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，且的中点为，
，，，
设的左焦点为，则，
，
当点在的延长线上时，等号成立，
的最大值为．
故选：．
根据椭圆的几何性质，三角形的性质，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，，，可得，，，，，，，，
可得
．
故选：．
计算数列的前几项，得到，再由斐波那契数列的定义和累加法，可得所求和．
本题考查数列的递推关系和累加法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：公差不为零的等差数列的前项和为，且，
，，
，，故A错误；
，故B正确；
，，
，
，故C正确；
，
当时，的值取最值，故D错误．
故选：．
利用等差数列的性质求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：若，则，故A错误；
若，则，故B正确；
若，则，故C错误；
若随机变量的所有可能取值为，，，，，
则，
，即，
即，解得，故D正确．
故选：．
根据期望的公式，即可判断；根据二项分布的期望公式，即可判断；根据期望的性质公式，即可判断．
本题考查离散型随机变量的应用，期望公式，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于：，令，故，故A正确；
对于：利用二项式的展开式，，
令，故，故B正确；
对于：令时，，故，故C正确；
对于：令时，故，令时，，
故，
由于，故，
所以的余数为，故D错误．
故选：．
直接利用二项式的展开式，组合数和赋值法求出、、、的结论．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，，可得，，
当，时，，而，不合题意，
当，时，，而，不合题意，
当，时，，而，不合题意，
当，时，，而，不合题意．
故选：．
结合对数与指数的运算求解即可．
本题考查了对数、指数的运算，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据的图象可知，
的极大值点的个数，极小值的个数，
所以．
故答案为：．
根据图象和极值的概念即可求出结果．
本题考查利用导数研究函数的极值，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：叶形线的方程是，将换为，换为，方程不变，
可得曲线关于直线对称，由对称性可得渐近线与直线垂直，
则的方程为，
由，解得，
由，解得交点为，
即过点且与相切的切点为，
此时半径最小的圆的圆心为，半径为，
则所求圆的方程为．
故答案为：．
判断曲线关于直线对称，由对称性可得渐近线与直线垂直，求得和对称轴和渐近线的交点，可得所求圆的方程．
本题考查曲线的方程和性质、直线与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】亿元
【解析】解：因为年某地螺蛳粉全部产业链销售收入为亿元，
所以年销售收入平均值为，
又因为年月份平均值为，
所以，
所以，
所以，
因为年月份平均值为，
所以年销售收入平均值为，
所以年该地螺蛳粉全部产业链销售收入为亿元．
故答案为：亿元．
计算出年销售收入平均值和年月份平均值，代入线性回归方程求出的值，进而可预测年该地螺蛳粉全部产业链销售收入．
本题主要考查了线性回归方程的求解和应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，从某天两生产基地生产的零配件中随机选取个检测，设抽到甲基地生产的零配件为事件，该零配件是次品为事件，
则，则抽到乙基地生产的零配件的概率为，
则，，
又由，
解可得：．
故答案为：．
根据题意，设抽到甲基地生产的零配件为事件，该零配件是次品为事件，求出的表达式，由全概率公式可得，变形计算可得答案．
本题考查全概率公式的应用，涉及概率的计算，属于基础题．
17.【答案】解：Ⅰ设等比数列的公比为，因为，，所以．
因为，，成等差数列，所以，
因为，，所以，
整理得，
所以，．
Ⅱ因为，所以，
，
，
两式相减得
，
所以．
【解析】Ⅰ设等比数列的公比为，根据已知可得，由等差数列的性质及等比数列的通项公式可得关于的方程，求解的大小，进而可得的通项；
Ⅱ求出，利用错误相减法求和即可．
本题考查等差和等比数列的性质以及前项和，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ女性人数：人，
男性人数：人，
青年人数：人，
青年人中男性人数：人，
青年人中女性人数：人，
非青年人人数：人，
非青年人中男性人数：人，
非青年人中女性人数：人，
补全列联表，如下：
性别 年龄 合计
青年人 非青年人
男性
女性
合计
Ⅱ，
所以根据小概率值的独立性检验，可以判断男性和女性虚拟人爱好者的年龄分布有差异．
【解析】Ⅰ根据题目所给的数据填写列联表即可；
Ⅱ计算，对照题目中的表格，得出统计结论．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为，，两两互相垂直，以为坐标原点，
，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
证明：由题意得，
所以，
所以；
由题意可得，
设平面的法向量为，则，
所以，取，得，
设平面的法向量为，则，
所以，取，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】Ⅰ建系利用向量法与线线垂直的关系即可证明；
Ⅱ利用面面角余弦值的向量运算即可求解．
本题考查空间位置关系，利用空间向量求解二面角，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ设，
因为，
所以，
又点在抛物线上，
所以，
由得，
因为抛物线的焦点关于点的对称点在轴正半轴上，
所以，
把代入，得，
解得，
所以抛物线的方程为．
Ⅱ直线的倾斜角是定值．
证明：由Ⅰ知抛物线的方程为，
两边求导得，
设，，
所以切线的斜率为，，
所以切线的方程为，即，
同理可得切线的方程为，即，
联立直线与直线的方程，得，
所以，
所以，
因为为中点，
所以，
所以为垂直于轴的直线，倾斜角确定．
【解析】Ⅰ设，由，得，又点在抛物线上，则，进而可，由抛物线的焦点关于点的对称点在轴正半轴上，得，即可解得，进而可得答案．
Ⅱ由Ⅰ知抛物线的方程为，两边求导得，设，，可得切线，的方程，进而可得，又为中点，则，即可得出答案．
本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ设每位员工领取的个红包金额之和为元，
由题意得的所有可能取值为，，，，
，，
，，
所以，
所以，；
Ⅱ使个红包的金额分别为元、元、元、元，
记每位员工领取的个红包金额之和为元，
则的所有可能取值为，，，，
则，，
，，
所以，
则，
因为，，
所以，
所以当个红包的金额分别是元、元、元、元时，
每位员工领取的个红包金额之和的期望值为元，
且不同员工领取的个红包金额之和比Ⅰ中方案更均衡．
【解析】Ⅰ的所有可能取值为，，，，求出每个取值所对应的概率即可；
Ⅱ使个红包的金额分别为元、元、元、元，利用概率知识可求出，，满足题意．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
22.【答案】解：解Ⅰ，定义域为，
，
当时，令，得，令，得，
在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，得，显然，
且当时，，当时，，当时，，
在和上单调递增，在上草调递减．
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上草调递减．
Ⅱ当时，由Ⅰ知，
．
，，，
．
又时，，
只有一个零点．
【解析】Ⅰ对求导，分时和时两种情况讨论即可求解；
Ⅱ由Ⅰ的结论，求出的极大值和极小值，并证明极小值大于，结合当时，，即可求解函数的零点个数．
本题考查了导数的综合应用，考查了函数思想及分类讨论思想，属于中档题．
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