2023-2024学年高一第二学期第一次质量检测
数学试卷 2024.3.22
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1． （ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若，则 （ ）
A． B． C． D．1
4．已知，则 （ ）
A． B． C． D．
5．使函数为偶函数，且在区间上是增函数的的一个值为 （ ）
A． B． C． D．
6．《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达·芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆.该油画规格为：纵77cm，横53cm.油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237cm(如图所示).有一身高为175cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15cm)，设该游客离墙距离为xcm，视角为.为使观赏视角最大，x应为（ ）
A． B． C． D．
7．求值： （ ）
A．1 B． C． D．
8．设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为 （ ）
A．6 B． C． D．4
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为 （ ）
A． B． C． D．
10．已知θ是锐角，那么下列各值中，sinθ＋cosθ 不能取得的值是 （ ）
A． B． C． D．
11．已知为坐标原点，点，，，，则 （ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．在中，已知，则角B= .
13．已知，，，，则______．
14．如图所示， ，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是_______．
四、解答题(本大题共5小题，共77分)
15．（本题满分13分）已知，，．求：
(1)；
(2)．
16．（本题满分15分）已知在平面直角坐标系中，向量，，.
(1)若，，三点共线，求实数的值；
(2)若为锐角，求实数的取值范围.
17．（本题满分15分）已知向量，，其中，且．
（1）求和的值；
（2）若，且，求角．
18．（本题满分17分）如图，圆心角为的扇形的半径为2，点是上一点，作这个扇形的内接矩形．
(1)求的长及扇形的面积；
(2)求矩形的最大面积，及此时的大小．
19．（本题满分17分）已知向量，．设函数，．
(1)求函数的单调增区间．
(2)当时，方程有两个不等的实根，求的取值范围；
(3)若方程在上的解为，，求．
答案第1页，共2页参考答案：
1．A
【分析】直接利用二倍角的正弦函数化简求值即可．
【详解】．
故选：A．
2．A
【解析】由向量平行的坐标表示可得若，则或，再由充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】由可得，解得或，
所以“”是“” 充分不必要条件.
故选：A.
3．D
【分析】根据二倍角公式结合同角三角函数的基本关系求解，将所求式子写成分母为1的形式，用进行代换，分子、分母同时除以，然后把的值代入求值即可．
【详解】．
故选：D．
4．D
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式求值即可.
【详解】．
故选：D
【点睛】本题考查了诱导公式、倍角余弦公式转化函数式，结合已知函数值求值，属于简单题.
5．C
【分析】本题首先可以通过两角和的正弦公式将转化为，然后通过是偶函数即可排除A和B，最后通过在区间上是增函数即可得出结果．
【详解】因为函数为偶函数，
所以（为奇数），排除A和B，
当时，，
函数在区间上是增函数，
故在区间上是增函数，故选C．
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角恒等变换、三角函数的奇偶性以及三角函数的单调性，考查推理能力，是中档题．
6．D
【分析】设，，则，利用两角差的正切公式用表示出，再根据对勾函数的单调性求解．
【详解】解：过作于，设，，则，
则（），（），
∴，，
∴，
∴当且仅当即时，有最大值，此时也最大，
故选：D．
【点睛】本题主要考查两角差的正切公式的应用，考查对勾函数的单调性与最值，属于中档题．
7．D
【分析】先化切为弦将转化为，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值.
【详解】原式
，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的运用，一方面需要利用以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式将分母化为一个整体.
8．D
【分析】先设，于是得到点O是△A1B1C1的重心，则k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC的面积与△BOC的面积，进而得到答案.
【详解】不妨设，如图所示，
根据题意则，
即点O是△A1B1C1的重心，所以有k，
又因为，
那么，
，
故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据重心的性质可得k，再由三角形面积公式可得，即，同理可得其他三角形面积，再利用即可求解，属于难题.
9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，结合的范围即能得到答案
【详解】解：根据余弦定理可知，代入，可得，即，
因为，所以或，
故选：BD.
10．BCD
【分析】由题意利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的范围，从而得出结论.
【详解】解：，，
又，
，
.
选项A在此范围，其余选项都不在此范围，
故选：BCD.
11．AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
12.【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理化简计算即可得出结果.
【详解】在中，已知，
，,
在中，,.
13．
【分析】根据给定条件，利用平方关系结合角的范围求三角函数值，再利用差角的余弦公式计算作答.
【详解】由，得：，又，
因此，，由，得，
所以．
故答案为：
14．
【分析】连接，由题意可得，当三点共线时，取得最值，结合图形可求得结果.
【详解】连接，则，，
因为，所以,
因为点是圆及其内部任意一点，
所以，且当三点共线时，取得最值，
当取得最大值时，以为对角线，以为邻边方向作平行四边形,
则和为等边三角形，
所以，
所以，
所以的最大值为，
同理可求得的最小值为，
所以，
故答案为：
15．(1)3
(2)
【分析】利用平方法进行求解﹒
【详解】（1）由，得，-----------------------------3分
则，所以；----------------------------------------------------6分
因为，------- --------------------9分
所以．----------------------------------------------------------------------13分
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量运算得，，进而结合向量共线的坐标表示求解即可；
（2）结合题意得且与不共线，再根据数量积运算与共线的坐标表示求解即可.
【详解】（1）解：因为，，，
所以，，---------------------------2分
因为，，三点共线，所以与共线，------------------------------------4分
所以，解得.
所以实数的值-----------------------------------------------------------------------------7分
（2）解：因为向量，，，
所以，，----------------------------------9分
因为为锐角，
所以且与不共线，-----------------------------------------------------------11分
即，解得且，--------------------------------------------------14分
所以，实数的取值范围是----------------------------------------------15分
17.【分析】（1）由已知结合可得，与联立即可求得，的值，再由二倍角的公式求得和的值；
（2）由已知可得的范围，并求得，再由，展开两角差的正弦得答案．
【解答】解：（1），，且，
，即．-----------------------------------------------------------2分
代入，得，
，
，则．----------------------------------------------------------------------5分
则，--------------------------------------------------------6分
；-----------------------------------------------------------------7分
（2），，．-------------------------------------------9分
又，．------------------------------------------------------10分
．-------------------------------------------------------------------13分
，．-------------------------------------------------------------------------------15分
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数中的恒等变换应用，是中档题．
18．(1)，；
(2)，.
【分析】（1）根据弧长公式及面积公式求解即可；
（2）设（），利用矩形面积公式及三角函数的最值即可得解.
（1）
的长为，---------------------------------------------------------------------2分
扇形的面积为；------------------------------------------------4分
（2）设（），则，，-----------------6分
，所以，-----------------------8分
所以，矩形的面积
-----------------------------------------------------------------------------14分
当，即时，矩形的面积取得最大值，-----------------------16分
此时，．-----------------------------------------------------------------------------------17分
19．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由题可得，然后利用正弦函数的性质即得；
（2）令，根据方程有两个不等的实根，则需函数在上的图象与有两个交点，求解即可；
（3）令，则函数变形为，从而等价于，根据函数的图象与性质，可知与的两交点的横坐标，满足，则，即，代入，求解即可.
(1)由题意可知，-------------2分
，-----------------------------------------------5分
由，可得，
∴函数的单调增区间为；---------------------7分
(2)令，----------------------------------------------8分
当时，令，则
且在区间上单调递增，在区间上单调递减，--------10分
若使得方程有两个不等的实根
则需函数与有两个交点
即，与有两个交点，
所以，即；-------------------------------------------------------11分
(3)由，令，则
所以-----------------------------------------12分
又因为时，图象关于对称，且，
时，图象关于对称，且，
所以等价于，-------------------------------------------14分
设为与的两交点的横坐标，则，
，为方程的两个解，
，
即，即，，
所以.----------------17分
