地区一中2023-2024学年第一学期高二年级
期中考试试卷
（科目：数学）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．在本卷答题无效请将答案正确填写在答题卡上
3．卷Ⅰ请用2B铅笔填涂在对应位置中；
4．考试结束后请将答题卡交回即可．
考试时间：120分钟，满分150分
卷Ⅰ（选择题 共计60分）
一、单选题（本题共计8小题，每题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知向量，，且，那么实数等于（ ）
A. 3 B. -3 C. 9 D. -9
【答案】D
【解析】
【分析】运用空间向量共线列式计算即可.
【详解】∵，，且，
∴，
解得，，
∴．
故选：D．
2. 已知点，点B在直线上，直线AB垂直于直线，则点B的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点B坐标，由两直线的垂直关系及点在线上列出方程组计算即可.
【详解】设，则由题意可得①，且②，
由①②解得.即B正确.
故选：B
3. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】计算得到结合线面位置关系即得解.
【详解】由题得，
所以.
所以或.
故选：D
4. 三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，若，则=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算表示作答.
【详解】三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，且，如图，
.
故选：D
5. 圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）．
A. 3 B. 5 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案
【详解】圆的圆心为，半径，则
圆心到直线的距离为
，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为，
故选：B
6. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】联立方程计算交点为，根据直线垂直得到，得到直线方程.
【详解】，解得，故直线交点为，
直线的斜率，故垂直于它的直线斜率，
故所求直线方程为，整理得到.
故选：B
7. 过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ）
A. 4条 B. 2条 C. 3条 D. 1条
【答案】C
【解析】
【分析】考虑截距为0，截距相等且不为0，截距互为相反数且不为0，求出相应的方程，得到答案.
【详解】当截距为0时，设直线方程为，将代入，求得，
故方程为；
当截距不0时，
①截距相等时，设方程为，
将代入，即，解得：，故方程为；
②截距互为相反数时，设直线方程为，
将代入，即，解得：，故方程为；
一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条.
故选：C
8. 已知平面与平面成角，，则C与D之间的距离是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量分类讨论计算两点距离即可.
【详解】由题意可得是面的法向量，
设与平面所成角为，
如图所示，则或，
易知，
若，则上式化为，
若，则上式化为，即D正确.
故选：D
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知点 在平面内，平面法向量， 则下列点在内的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】验证各选项中的点与点连线的方向向量是否与垂直，由此可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，记点，，，点在平面内；
对于B选项，记点，，，点不在平面内；
对于C选项，记点，，，点在平面内；
对于D选项，记点，，，点不在平面内.
故选：AC.
10. 抛一枚质地均匀的骰子两次.记事件两次的点数均为偶数两次的点数之和小于7，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用古典概率模型求解即可.
【详解】由题可得基本事件有：
，
共有36个，
记事件两次的点数均为偶数，共包含9个样本点，
则A正确；
两次的点数之和小于7，
事件包含的基本事件有：，，共15个，
，B正确，D错误，；
对于，事件包含的基本事件有：，
共3个，C错误.
故选:.
11. 已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆圆心为
B. 圆的半径为5
C. 点不在圆上
D. 圆关于对称
【答案】BD
【解析】
【分析】将圆的一般方程化成标准方程，求得圆心半径，判断出A错误、 B正确；将点带入圆的方程，满足方程判断点在圆上，故C错误；在直线上，所以圆关于对称.
【详解】可化为：，
所以圆的圆心为，半径为5，故A错误、 B正确；
因为，所以点在圆上，故C错误；
因为圆心为在直线上，所以圆关于对称，故D正确；
故选：BD.
12. 若两直线与互相平行，则（ ）
A.
B.
C. 与之间的距离为
D. 与、距离相等的点的轨迹方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用两条直线平行的充要条件判断A，B；利用两平行直线间的距离公式判断C；直接法求轨迹方程判断D.
【详解】因为两直线与互相平行，
所以，解得或，
当时，，，
此时两直线与互相平行满足题意；
当时，，，
此时两直线与重合，不合题意
综上有两直线与互相平行时，.故A正确，B错误；
与的距离为，故C正确；
设与、距离相等的点为，则，
整理得，所以与、距离相等的点的轨迹方程为，故D正确.
故选：ACD
卷Ⅱ（非选择题共计90分）
三、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）
13. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】由空间坐标关于面对称的特点写出对称点坐标即可.
【详解】点关于平面对称的点的坐标为.
故答案为：
14. “一带一路”空港工程建设，甲、乙公司独立地完成的概率分别为和，则此项工程被甲、乙公司中至少一个完成的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据甲、乙两公司是否完成任务之间是相互独立，结合独立事件和对立事件的概率计算公式，即可求解.
【详解】此项工程甲、乙公司都未完成的概率为：，
所以此项工程被甲、乙公司中至少一个完成的概率为.
故答案为：.
15. 已知平行四边形的三个顶点A（－3，0），B（2，－2），C（5，2），则第四个顶点D的坐标可能是______．（写出一个符合题意的坐标即可）
【答案】（0，4）或（10，0）或（－6，－4）
【解析】
【分析】由平行四边形得直线位置关系后列方程组求解
【详解】设D（x，y），
若四边形ABCD平行四边形，则，，所以，
即，解得，此时点D（0，4）．
若四边形ABDC是平行四边形，则，，所以，
即，解得，此时点D（10，0）．
若四边形ADBC是平行四边形，则，，所以，
即，解得，此时点D（－6，－4）．
故答案为：（0，4）或（10，0）或（－6，－4）
16. 如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______.
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出向量,的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】以A为原点，在平面内过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
在正三棱柱中，设，则，
则，
故，，
设异面直线与所成角为，则，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共计6小题，17题10分，其他题每题12分，共计70分）
17. 设，.
（1）若，求；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可求得实数的值；
（2）分析可知，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【小问1详解】
解：因为，，
则，
，
若，则，解得.
【小问2详解】
解：若，
则，解得.
18. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率.
【答案】（1），平均数157.6；
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率和为1列方程可求出的值，再根据平均数的定义可求得平均数，
（2）根据分层抽样的定义结合频率分布直方图求出在和所抽取的人数，然后利用列举法可求得结果.
【小问1详解】
解：由频率分布直方图性质得：
，
解得
平均数为
，
∴估计样本数据的平均数为157.6；
【小问2详解】
解：采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，
则中抽取人，
分别记为，，，，中抽取人，分别记为，，
现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，共15个，
抽取的2人恰好观看时长在基本事件有：
，，，，，共6个，
所以抽取的3人中恰有2人的观看时长在的概率为.
19. 如图，在长方体中，为线段的中点，为线段的中点．
（1）求点到直线的距离；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可写出，代入即求出点到直线的距离；
（2）求出平面的法向量，写出，代入求出点到平面的距离.
【小问1详解】
建立如图所示：空间直角坐标系，
则
所以,
所以点到直线的距离.
【小问2详解】
,
设平面的法向量为：，
则，
取，则，
所以点到平面的距离为.
20. 已知直线经过点，圆.
（1）若圆关于直线对称，求直线的方程；
（2）若直线平行于直线，求直线关于点的对称直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由圆的对称性可知，直线l过圆心，结合直线的斜率公式及点斜式方程即可求得结果.
（2）由两直线平行可得直线l的方程，求出点关于点对称的点，由直线l与直线关于点对称可得，再结合直线的点斜式方程求解即可.
【小问1详解】
由可得圆的圆心，半径，
因为圆关于直线l对称，所以直线l过圆心，
又直线l过点，所以直线l斜率为，
由点斜式方程可得，即.
故直线l方程为.
【小问2详解】
由题意知，直线l斜率为，则由点斜式方程可得，即，
因为直线l与直线关于点对称，所以，
又因为点关于点对称的点，直线过点，
则由点斜式方程可得，即.
故直线方程为.
21. 已知直线的横截距为m，且在x轴，y轴上的截距之和为4．
（1）若直线的斜率为2，求实数m的值；
（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程．
【答案】（1）
（2）面积的最大值为2， 直线方程为
【解析】
【分析】（1）由题意可得直线在x，y轴上的截距都存在且不为0，设直线的方程为（且），再结合斜率公式即可得解；
（2）设直线的方程为（且），由题意可得，求出的范围，再结合二次函数求出三角形面积的最大值及此时的值即可得解.
【小问1详解】
依题意知，直线在x，y轴上的截距都存在且不为0，
设直线的方程为（且），
令，可得，令，可得，
即直线经过点，，
所以直线的斜率为，解得；
【小问2详解】
设直线的方程为（且），
由直线分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，
可得，解得，
又由，，
可得，
当时，取得最大值2，
此时直线方程为，即.
22. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点为,连接，易证四边形为平行四边形，即可得，由线面平行的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的法向量，即可计算答案.
【小问1详解】
如图所示：取中点为,连接，
在中，分别为的中点，
所以为的中位线，
所以,,
在正方形中，为中点，
所以,,
所以,
所以四边形为平行四边形，
所以,
又因为：平面，平面,
所以平面.
【小问2详解】
有题意知：两两垂直，建立如图所示：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系,
不妨设，
则，
所以，
设平面的法向量为：
则
取，则，
易知平面的一个法向量为：
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.地区一中2023-2024学年第一学期高二年级
期中考试试卷
（科目：数学）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．在本卷答题无效请将答案正确填写在答题卡上
3．卷Ⅰ请用2B铅笔填涂在对应位置中；
4．考试结束后请将答题卡交回即可．
考试时间：120分钟，满分150分
卷Ⅰ（选择题 共计60分）
一、单选题（本题共计8小题，每题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知向量，，且，那么实数等于（ ）
A. 3 B. -3 C. 9 D. -9
2. 已知点，点B在直线上，直线AB垂直于直线，则点B的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A. B. C. D. 或
4. 三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，若，则=（ ）
A. B.
C. D.
5. 圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）．
A. 3 B. 5 C. D.
6. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ）
A 4条 B. 2条 C. 3条 D. 1条
8. 已知平面与平面成角，，则C与D之间的距离是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知点 在平面内，平面法向量， 则下列点在内的是（ ）
A. B. C. D.
10. 抛一枚质地均匀的骰子两次.记事件两次的点数均为偶数两次的点数之和小于7，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的圆心为
B. 圆的半径为5
C. 点不在圆上
D. 圆关于对称
12. 若两直线与互相平行，则（ ）
A.
B.
C. 与之间的距离为
D. 与、距离相等点的轨迹方程为
卷Ⅱ（非选择题共计90分）
三、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）
13. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为________.
14. “一带一路”空港工程建设，甲、乙公司独立地完成的概率分别为和，则此项工程被甲、乙公司中至少一个完成的概率为______．
15. 已知平行四边形的三个顶点A（－3，0），B（2，－2），C（5，2），则第四个顶点D的坐标可能是______．（写出一个符合题意的坐标即可）
16. 如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______.
四、解答题（本题共计6小题，17题10分，其他题每题12分，共计70分）
17. 设，.
（1）若，求；
（2）若，求.
18. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）求值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率.
19. 如图，在长方体中，为线段的中点，为线段的中点．
（1）求点到直线距离；
（2）求点到平面的距离．
20. 已知直线经过点，圆.
（1）若圆关于直线对称，求直线的方程；
（2）若直线平行于直线，求直线关于点的对称直线的方程.
21. 已知直线的横截距为m，且在x轴，y轴上的截距之和为4．
（1）若直线的斜率为2，求实数m的值；
（2）若直线分别与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程．
22. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
