高考压轴题选(四川省成都市新津县)

2008年全国各地高考数学冲刺资料预测精选试题
长沙市二十二中2008届11月月考
★已征用★(14分)设函数是奇函数，它的图象记为曲线C，是曲线C上的一点，以为切点与曲线C相切的直线方程是：．
（1）求函数的解析式；
（2）过与曲线C相切的直线除了外，还存在其它直线吗？如有，请再求出一条来，若没有请说明理由；
（3）是否存在这样的实数，使过点可以作三条直线与曲线C相切？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
(14分)设函数．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若，求函数的的单调区间；
（3）求函数在区间上的最大值与最小值．
1．解：（1），
由是奇函数知对一切实数恒成立，从而。
∴ ，
点P在上则有，，即，
又，，
解得，，
所以 ，。
（2）设存在其它切线过点P，并设并且。
则，即，
即，（舍去），或，
切点为，可得切线方程为。
（3）同（2），切点为，则有
则，即，
，
，
三条直线与曲线C相切，则函数必有三个不同的零点，
也即的极大值为正，极小值为负。
由知，
即，，
即存在使过点可以作三条直线与曲线C相切。
2．解：（1）时，，它的定义域是，
且对定义域内任一点都有，故函数是偶函数；
时，，，
且，函数即不是奇函数，也不是偶函数。
（2），
当时，，单调递增；
当或时，，单调递减；
所以的单调递增区间是；
所以的单调递减区间是和；
（3）①若时，在区间上恒正，单调递增；
当时，有最小值，
当时，有最大值；
②若，在区间上恒负，单调递减；
当时，有最大值，
当时，有最小值；
③若， ，即
在区间上非正，单调递减；
在区间上非负，单调递增；
当时，有最小值，
当时，有最大值；
④若， ，即
在区间上非正，单调递减；
在区间上非负，单调递增；
当时，有最小值，
当时，有最大值。
综上可得：函数的最大值是：
函数的最小值是：
重庆一中高2008级上期期中（理）测试题（2007年11月）
3．（本小题满分13分）定义在关于原点对称的区域上的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和。已知，
（1）求函数的表达式（要求必须化简）；
（2）已知正项数列满足：并且设，试用的表达式来表达；
（3）求证：
3．（1）解：由题意得
解得，将代入，化简得
；
由题知，因，所以；
令，则，并且，因此，从而
，得，因为时，故
，从而
湖南省岳阳市临湘二中高三年级第四次月考
4．（本题满分13分）
已知数列中，且点在直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数求函数的最小值；
（3）设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得
对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。
4.
5．( 本小题满分13分）
已知函数f（x）=ax+lnx ，其中a为实常数，设e为自然对数的底数.
（Ⅰ）若f（x）在区间（0，e上的最大值为－3，求a的值；
（Ⅱ）当a=－1时，试推断方程 | f（x）|=是否有实数解.
5. Ⅰ）∵=a+，x∈(0，e)，∈［，+∞………………1分
（1）若a≥－，则≥0，从而f(x)在(0，e)上增函数.
∴f(x)max =f(e)=ae+1≥0.不合题意. …………………………………3分
（2）若a<－，则由>0a+>0，即0 由f(x)<0a+<0，即－ ∴f(x)=f(－)=－1+ln(－).
令－1+ln(－)=－3，则ln(－)=－2.∴－=e，
即a=－e2. ∵－e2<－，∴a=－e2为所求. ……………………………6分
（Ⅱ）当a=－1时，f(x)=－x+lnx，=－1+=.
当00；当x>1时，<0.
∴f(x)在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上减函数.
从而f(x)=f(1)=－1.∴f(x)=－x+lnx≤－1，从而lnx≤x－1. ………8分
令g(x)=|f(x)|－－=x－lnx－－=x－(1+)lnx－
（1）当00.
（2）当x≥2时，g′(x)=1－［(－)lnx+(1+)·］=
=.
∴g(x)在[2，+∞上增函数，∴g(x)≥g(2)=
综合（1）、（2）知，当x>0时，g(x)>0，即|f(x)|>.
故原方程没有实解. ………………………………13分
湖南省教育考试院市州选送卷（七）
6．（12分）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有
6．解：（Ⅰ）证法1：∵当
即
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式
（i）当n=3时， 由
知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即
则
即当n=k+1时，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵
则有
故取N=1024，可使当n>N时，都有
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十一（每日一题）
7.已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求的最小值；（3）求使不等式对一切均成立
的最大实数.
解：（1）由题意得，解得，

（2）由（1）得， ①
② ①-②得
. ，设，则由得
随的增大而减小 时， 又恒成立，
（3）由题意得恒成立
记，则

是随的增大而增大
的最小值为，，即.
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十二（每日一题）
8.设函数
（1）求证：；（2）求证：函数在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设是函数的两个零点，求的范围。
证明：（1） 2′
又
又2c=－3a－2b 由3a＞2c＞2b ∴3a＞－3a－2b＞2b
∵a＞0 4′
（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a－c
①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点 6′
②当c≤0时，∵a＞0
∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点.综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点
（3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点则的两根
∴
15′
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十三（每日一题）
9.已知函数f (x)对任意的实数x、y都有f (x+y)=f (x)+f (y)+2y(x+y)+1,且f (1)=1.
(1)若x∈N*,试求f (x)的表达式；
(2)若x∈N*且x≥2时，不等式f (x)≥(a+7)x－(a+10)恒成立，求实数a的取值范围.
解: (1)令y=1,则f (x+1)=f (x)+f (1)+2(x+1)+1 …… 2分
∴f (x+1)－f (x)=2x+4 …… 4分
∴当x∈N*时，有f (2)－f (1)=2×1+4
f (3)－f (2)=2×2+4,f (4)-f (3)=2×3+4.
…
f (x)－f (x-1)=2(x-1)+4. …… 5分
将上面各式相加得f (x)=x2+3x－3　　(x∈N*). …… 6分
(2)当x∈N*且x≥2时，f (x)=x2+3x－3.
要使不等式f (x)≥(a+7)x－(a+10)恒成立.
即当x∈N*且x≥2时,不等式x2+3x－3≥(a+7)x－(a+10)恒成立, …… 7分
即x2-4x+7≥a(x－1)恒成立
∵x≥2,∴≥a恒成立. …… 8分
又=(x－1)+－2≥2. …… 10分
(当且仅当x－1=即x=3时取“等号”)
∴的最小值是2，故a≤2. …… 12分
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十四（每日一题）
10.已知R,函数(x∈R).
（1）当时，求函数的单调递增区间;
（2）函数是否在R上单调递减，若是，求出的取值范围；若不是，请说明理由;
（3）若函数在上单调递增，求的取值范围.
解： (1) 当时,, . …… 2分
令,即,即，解得.
函数的单调递增区间是. …… 4分
(2) 若函数在R上单调递减,则对R都成立, …… 5分
即对R都成立, 即对R都成立. …… 6分
, 解得. …… 7分
当时, 函数在R上单调递减. …… 8分
(3) 解法一：函数在上单调递增,对都成立,9分
对都成立. 对都成立,…10分 即对都成立. …… 11分
令, 则.
当时，；当时，.
在上单调递减,在上单调递增. ，
在上的最大值是. . …… 14分
解法二： 函数在上单调递增, 对都成立,
对都成立.即对都成立.10分
令，则 解得 …… 13分 . …14分
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十五（每日一题）
11.已知数列的前n项和为Sn，a1=1，Sn=4an+Sn－1－an－1（）.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn；
（3）若cn=，且数列{cn}中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围.
[解析]（1），
∴{an}是以为公比的等比数列 …………4分
（2）由（1）知，∴
∴ ∴
∴
∴ …………8分
（3）
由题意知 恒成立，
即 对任意自然数n恒成立。
∵t>0, ∴tn>0。
①若t>1，则lgt>0，且
，∴t>1 ……10分
②若t=1，lgt=0不合题意 …………11分
③若0∴ …………13分
综上，01. …………14分
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十六（每日一题）
12.已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；
（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。
解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，
∴；
（2），
=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），
（3），而，即，
，同理，，又
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十七（每日一题）
13.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.
（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（Ⅱ）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=的表达式；
（Ⅲ）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）
解：（Ⅰ）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
，
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元，
（Ⅱ）当，
当
所以
（Ⅲ）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元.
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十八（每日一题）
14.已知函数.
（Ⅰ）当；
（Ⅱ）是否存在实数使得函数y=的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）解：∵
故上是减函数，而在上是增函数，
由
而
（Ⅱ）不存在这样的实数a，b.
假设存这样的实数a，b使得函数的定义域、值域是都是 [a，b]
①当0即， 解得a=b与0②当1即， 此时实数a，b为方程的两根，但方程无实根，因此不存在满足条件的实数a，b.
③当00），
故此时不存在满足条件的实数a，b.
综合①②③可得满足条件的实数是不存在的.
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十九（每日一题）
15.已知定义域为R的二次函数的最小值为0且有，直线被的图像截得的弦长为，数列满足，。
（1）函数；（2）求数列的通项公式；
（3）设，求数列的最值及相应的n
解：（I）设，则直线与图象的两个交点为（1，0），
（II）

数列是首项为1，公比为的等比数列
……（9分）
（III）

令 则
，的值分别为……，经比较距最近，
∴当时，有最小值是，当时，有最大值是0。……（14分）
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）三十（每日一题）
16.已知函数．
（1）若函数在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，求实数a的值；
（2）是否存在正整数a，使得在（，）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，试求出a的值，若不存在，请说明理由．
解 （1）∵在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
∴f′（x）＝3x2＋2ax－2， ……………………………………………………………2分
f′（1）＝0，∴a＝－． ………………………………………………………………6分
（2）令f′（x）＝3x2＋2ax－2＝0．
∵△＝4a2＋24＞0，∴方程有两个实根，………………………………………………8分
分别记为x1，x2．由于x1·x2＝－，说明x1，x2一正一负，
即在（，1）内方程f′（x）＝0不可能有两个解．…………………………………10分
故要使得在（，）上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是
f′（）·f′（）＜0，即（＋a－2）（＋a－2）＜0．…………………13分
解得． …………………………………………………………………………15分
∵a是正整数，∴a＝2．…………………………………………………………………16分
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）三十一（每日一题）
17.已知函数当时，的值域为[]，当[]时，的值域为[]，…，当时，的值域为，其中a，b为常数，，。
（I）时，求数列与的通项；
（II）设且，若数列是公比不为1的等比数列，求b的值；
（III）若，设与的前n项和分别记为与，
求： 的值。
解：（I）解：函数在R上是增函数，
数列与都是公差为b的等差数列。…………2分
…………4分
（II）解：；由是等比数列，知应为常数.
又是公比不为1的等比数列，则不是常数，必有………………6分
（III）解：两式相减，
得 数列是公比为a的等比数列
………………8分

………………12分
……………………14分
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）三十二（每日一题）
18.已知二次函数
若函数在区间上存在零点,求实数的取值范围;
问:是否存在常数,当时, 的值域为区间,且的长度为.
解：（1）函数的对称轴是
在区间上是减函数， ………………………2分
函数在区间上存在零点，则必有：
即 ………………………6分
（2），在区间上是减函数，
在区间上是增函数且对称轴是 ………………………7分
当时，在区间上，最大，最小，
即：，解得：，
……………9分
当时，在区间上，最大，最小，
解得： ……………11分
当时，在区间上，最大，最小，
即：，解得： ………13分
综上：存在常数满足条件 ………14分
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）三十三（每日一题）
19.已知函数是偶函数.
求的值;
设,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围.
解：（1）由函数是偶函数可知：
………………………2分
即对一切恒成立 ………………………4分
………………………5分
（2）函数与的图象有且只有一个公共点
即方程有且只有一个实根 …………………7分
化简得：方程有且只有一个实根
令，则方程有且只有一个正根 ………………………9分
①，不合题意； ………………………10分
②或 ………………………11分
若，不合题意；若………………………12分
③一个正根与一个负根，即 ………………………13分
综上：实数的取值范围是 …………………14分
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）三十四（每日一题）
20.在中，已知内角，边.设内角,面积为.
求函数的解析式和定义域；
求的最大值.
解：（1）的内角和
………………………1分
……………5分
…………………7分
（2）……………9分
…………12分
当即时.y取得最大值 ………………………14分
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）三十五（每日一题）
21.已知实系数二次函数对任何，都有.
(Ⅰ)若，且，数列满足，
问数列能否构成等差数列，若能，请求出满足条件的所有等差数列；
若不能，请说明理由；
(Ⅱ)求的最大值.
解：(1)设，则，，又，，若数列构成等差数列，可设为常数，因为，所以，解得：，所以数列能构成等差数列：
①0，0，0，……；②……；③… --4分
（2）因为，所以-----------6分
,
……（＊）---------8分
若，则，即
（＊）式＝
　　　　------------------11分.
若，同上可得（＊）式.
令，此时函数满足条件，即时，，且．∴的最大值是3．-----------------14分
澳科学校2008届高三第三次模拟试题试卷
22．（本小题满分12分）
已知A、B、C是椭圆m：上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆m的中心，且
（Ⅰ）求椭圆m的方程；
（Ⅱ）过点（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m 与y轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围。
22． 解：（Ⅰ）∵过（0，0）
则
∴∠OCA=90°， 即 …………2分
又∵
将C点坐标代入得
解得 c2=8，b2=4
∴椭圆m： …………4分
（Ⅱ）由条件D（0，－2） ∵M（0，t）
1°当k=0时，显然－22°当k≠0时，设
消y得
…………7分
由△>0 可得 ①………………8分
设
则
∴ …………10分
由
∴ ②
∴t>1 将①代入②得 1∴t的范围是（1，4）………………11分
综上t∈（－2，4） ………………12分
23．（本小题满分14分）
（理）对任意都有
（Ⅰ）求和的值．
（Ⅱ）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；
（Ⅲ）令
试比较与的大小．
（文）已知数列满足递推关系式
（Ⅰ）求 （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）求数列的前n项和Sn。

23．（理）解：（Ⅰ）因为．所以．…2分
令，得，即．……………4分
（Ⅱ）
又………………5分
两式相加
．
所以，………………7分
又．故数列是等差数列．………………9分
（Ⅲ）
………………10分
………………12分
所以……………………………………………………………………14分
（文）解：（1）由知
解得：同理得……………………4分
（2）
即构成以为首项，以1为公差的等差数列，……………………6分

…………………………8分
（3）
…………………………14分
24．（本小题满分14分）
已知定义在R上的函数，满足条件：
①；②对非零实数x，都有
（I）求函数的解析式；
（II）设函数直线分别与函数，交于
两点设为数列的前n项和.
求证：当
24．解：（I）当
故两式联立可得，

（II）由（I）可得，
联立，
所以
………………8分


安徽省合肥八中2007-2008学年度第一学期高三第三次月考
25．二次函数轴两个交点的横坐标分别为。
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）若满足不等式的取值范围。
21．解：（1）
（2），
而
，
（3）
26．（12分）已知函数
（1）求数列的通项公式；
（2）证明
（3）在点列斜率为1？若存求出所有的数对（i,j）；若不存在，说明理由。
22．（1）
当
在
（2）
（3）
∴不存在。或令上而双曲线
遂溪一中2008届高三级第四次月考
27．（本小题满分14分）
设上的奇函数，对任意实数x，都有时，
（Ⅰ）求证：直线x=1是函数图象的一条对称轴；
（Ⅱ）当时，求函数的解析式27.解：（Ⅰ）因为为奇函数，所以
………………………………2分
所以
所以直线x=1是函数图象的一条对称轴 ………………………………5分
（Ⅱ）因为
所以是以4为周期的函数 ………………………………6分
又
当
……………………………………………………………8分
当
……………………………………………………………10分
所以当
……………………………………………………………11分
当时，，…………………………12分
由
得 …………………………14分
.
28．（本小题满分14分）
已知数列中，，其前项和满足：
求数列的通项；
令，试求一个函数，使得对于任意正整数有
且对于任意的，均存在，使得时，。
28.解：
（1）由题设知即 ……2分
而于是有 ……………………3分
由，得
……………………5分
（2）， ……………………6分
令则， ……………………7分
则
…………………………………………9分
若则有，解得 …………………11分
当，即时，取即可。 ……………………12分
当，即时，则记的整数部分为，取即可。
综上可知，对于任意的，均存在，使得时，。即为满足要求的函数。 ………………………………………………………………14分
通江中学高2008级第四次月考数学试题
20、（12分）把函数的图象按向量平移得到函数的图象.
（I）若
（II）若不等式在∈［-1，1］，都恒成立，求实数m的取值范围。
21、（12分）数列{an}各项均为正数，Sn是其前n项和，对于n∈N＋，总有，Sn，成等差数列。
(I) 求数列{an}的通项公式；
(II) 设数列{ }的前n项和为Tn，数列{Tn}的前n项和为Rn，求证：当n≥2时，
Rn—1 =（—1）。
22（14分）、已知函数是定义在上的奇函数，当时，有（其中为自然对数的底，）．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设（），求证：当时，；
（Ⅲ）试问：是否存在实数，使得当，的最小值是？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由．
20、解：由题设得f(x)=1n(x+1)
令

在(0,+∞)上是增函数.
故 6分
(2)原不等式等价于
令

令列表如下:
x
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
h(x)
0
+
0
-
0
h(x)
极小值-1n2
极大值0
极小值-1n2
∴当x∈［-1,1］时，
令则 12分
21、解：(1) ∵an，Sn，an2成等差数列
∴ 2Sn = an2 + an
则2S n—1 = + a n—1
∴ 2 an = an2— n ＋an—a n—1
∴ an + a n—1= (an + a n—1)·（an—a n—1）
∵ an ∈R＋ ∴ an — a n—1 =1
当 n =1时 a1 =1 ∴ an = n （n∈N＋） …………6分
(2) Tn = 1 + + + …… +
用数学归纳法证明：
i）：当n =2时：左 ＝R1=T1=1 右＝2·（T2 —1）= 2·（1+ —1）=1
∴ 左 = 右 结论成立
ii）：假设当n =k（k≥2）时结论成立：即R k—1 = k·（T k—1）
当n =k+1时Rk =R k—1 + Tk
= k·（T k—1）+ Tk
= （k +1）·（T k+1 — ））— k
= （k +1）·（T k+1 — 1）
∴ 当n = k +1时结论成立
由i）、ii）根据数学归纳法，结论成立，即：
n∈N＋且n≥2时 Rn—1 = n·（Tn—1） 12分
22、解：（Ⅰ）当时，，故有，由此及是奇
函数得，因此，函数的解析式为
； 4分
（Ⅱ）证明：令。当时，注意到，故有
．
①当时，注意到，故
；
②当时，有，故函数在区间上是增函数，从而有
。
因此，当时，有。
又因为是偶函数，故当时，同样有，即．
综上所述，当时，有； 9分
（Ⅲ）当时，：
①若，则在区间上是减函数，故此时函数在区间上没有最小值；
②若，则令，且在区间上是减函数，而在区间上是增函数，故当时，．
令．
综上所述，当时，函数在区间上的最小值是3． 14分
河南省驻马店市上蔡一高2007-2008学年上期12月月考
21．（本小题满分12分）
已知函数，
（1）求函数的最小值；
（2）若，求证：．
21．（1）=，………………2分
当时，，所以当时，，
则函数在上单调递增，
所以函数的最小值；…………………………5分
（2）由（1）知，当时，，
∵，
∴， ①……7分
∵，
∴ ②………………………10分
由①②得 …………………………12分
22．（本小题满分12分）
已知数列中，其前n项和为 满足．
（1）试求数列的通项公式．
（2）令是数列的前n项和，证明：．
（3）证明:对任意的，均存在，使得（2）中的成立．
22．（1）由得
，，即
又，
故数列的通项公式为．……………………（4分）
（2）
……………………（8分）
（3）证明：由（2）可知
若,则得,化简得
，
当，即………………（10分）
当，即
，取即可,
综上可知,对任意的均存在使得时（2）中的成立（12分）
19．（本题满分14分）设不等式组 所表示的平面区域为，记内的整点个数为 ,（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
⑴ 求数列的通项公式；
⑵ 设数列的前项和为，，，若对于一切正整数，恒成立，求实数的起值范围。
20．（本题满分14分）
如图，在△中，（均为正常数），、是平面
内的动点，且满足，向量与垂
直。设动点的轨迹为曲线.
⑴ 说明曲线是何种曲线，为什么？
⑵ 设， 若成等差数列，且△的面积为，
试建立适当的坐标系，求曲线的方程；
⑶ 在⑵的条件下，是否存在过点的直线，
使与曲线交于不同的两点，且.
如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.
21．（本题满分14分） 已知函数.
⑴ 设.试证明在区间 内是增函数；
⑵ 若存在唯一实数使得成立，求正整数的值；
⑶ 若时，恒成立，求正整数的最大值.
19．解：（1） 由，得, 当时，，时，
∴ 即 …………6分.
（2） 易求 ,由（1）知
∴ ………9分
∴ 恒成立 (也可以用倒序相加法求和)
记 ，则
∴
时，，而
∴为最大， 故的取值范围是。 ……………14分
20．解：（1）由及知
点E的轨迹是过S点且与OF垂直的直线L，且PE⊥L …………2分
又由
得：，为大于1的常数。
据双曲线定义知：曲线M是以F为焦点，L为相应准线的双曲线。 ………5分
（2）设L交OF于D，则由得，
以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，
则，L的方程为：
∴ 曲线M的方程为 ………….8分
由 解得：
故所求曲线M的方程为： …………………..10分
（3）假设存在满足条件的直线m，设
m的方程为： ， （斜率不存在时，直线m与曲线M不相交）
代入，得：
………… ①
∵ ∴ 点A是线段BC的中点
∴ ………… 13分
而方程的判别式
当时，
∴ 不存在满足条件的直线m. ………………14分
21．证明： （1） ….3分
∴ , 则 ∴ 在内单调递增 ….5分
解：（2） ∵，,∴由（1）可得在内单调递增
即存在唯一根 ∴ ………9分
解：(3) 由得且 恒成立,由（2）知存在唯一实数,
使且当时， ，∴ ，当时，,∴ .
∴ 当时,取得最小值 ………12分
∵ , ∴ . 于是， ∵ ,
∴ ∴ ,故正整数的最大值为3. ……14分
22（14分）、已知函数是定义在上的奇函数，当时，有（其中为自然对数的底，）．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设（），求证：当时，；
（Ⅲ）试问：是否存在实数，使得当，的最小值是？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由．
22、解：（Ⅰ）当时，，故有，由此及是奇
函数得，因此，函数的解析式为
； 4分
（Ⅱ）证明：令。当时，注意到，故有
．
①当时，注意到，故
；
②当时，有，故函数在区间上是增函数，从而有
。
因此，当时，有。
又因为是偶函数，故当时，同样有，即．
综上所述，当时，有； 9分
（Ⅲ）当时，：
①若，则在区间上是减函数，故此时函数在区间上没有最小值；
②若，则令，且在区间上是减函数，而在区间上是增函数，故当时，．
令．
综上所述，当时，函数在区间上的最小值是3． 14分
重庆市江北中学高2008级高三（上）一诊针对性复习测试3
21．（12分）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆的一动点，并且的取值范围是（1）求此椭圆的方程；（2）点A是椭圆的右顶点，直线y = x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足，求证：向量共线.
22．（12分）已知f (x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足 （1）求的值；（2）判断f (x)的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若表示数列{bn}的前n项和.试问：是否存在关于n的整式g (n)，使得S1+S2+S3+…+Sn－1 =（Sn－1）·g (n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由.
21．解：（1）设，
其中，
从而 2分
由于，
即 3分
又已知， 4分
所以
从而椭圆的方程是
（2）因为的平分线平行，
所以∠PCQ的平分线垂直于x轴.
由
不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为－k，因此PC和QC的方程分别为
，
其中
消去y并整理得 9分
∵C（1，1）在椭圆上，∴x = 1是方程（*）的一个根.
从而， 10分
从而直线PQ的斜率为 11分
又知A（2，0），B（－1，－1），
所以 12分
共线
22．解：（1）令a = b = 0，得
令a = b = 1，得，
2分
（2）令
令
是奇函数. 5分
（3）当
令，
7分
9分
即， 11分
故存在关于n的整式g (n)=n，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立 13分
江苏省东海高级中学高三奥赛班数学期末压阵题模拟汇编
1、中，角A、B、C所对的边分别为、、，已知
（1）求的值；
（2）求的面积。
（1）由，得------------3分
为锐角，， -------5分
--------------------------6分
（2） ---8分
又，，得， --------------------------10分
--------------------------12分
（若通过得出，求出，
未舍去，得两解，扣2分.）
2、设函数，已知 ，且（a∈R，且a≠0），函数（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。
（1）试求a、b的值；
（2）若时，函数的图象恒在函数图象的下方，求正整数的值。
（1），∴ ①
又，∴，即 ②
由①②得，.又时，①、②不成立，故.------2分
∴，设x1、x2是函数的两个极值点，则x1、x2是方程=0的两个根，，
∴x1+x2=，又∵ A、O、B三点共线， =，
∴=0，又∵x1≠x2，∴b= x1+x2=，∴b=0. ----------------6分
（2）时，， -----------------------7分
由得，可知在上单调递增，在
上单调递减， . ---------------------9分
①由得的值为1或2.（∵为正整数） -----------------11分
②时，记在上切线斜率为2的切点的横坐标为，
则由得，依题意得，
得与矛盾.
（或构造函数在上恒正）
综上，所求的值为1或2. -----------------------14分
3、已知数列{an}满足 ，，，为正数　.
（1）若对恒成立，求m的取值范围；
（2）是否存在，使得对任意正整数都有？若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由。
（1）∵为正数， ①，=1，∴>0（n∈N*），……… 1分
又 ②，①—②两式相减得，
∴与同号， ---------------------4分
∴对n∈N*恒成立的充要条件是>0. ---------------------7分
由=>0，得>7　. ---------------------8分
（2）证法1：假设存在，使得对任意正整数都有　.
则，则>17　. --------------------9分
另一方面，==，---------11分
∴，，……，，
∴，∴=， ①
--------------------------------14分
当m>16时，由①知，，不可能使对任意正整数n恒成立，
--------------------------------15分
∴m≤16，这与>17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有　.
--------------------------------16分
（2）证法2：假设存在m，使得对任意正整数n都有　.
则，则>17　. --------------------9分
另一方面，， ------------------11分
∴，，……，，
∴， ① -----------------14分
当m>16时，由①知，，不可能使对任意正整数恒成立，
--------------------------15分
∴m≤16，这与>17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有　。 -----------------------------16分
4、 已知⊙,Q是y轴上的动点,QA、QB分别切⊙M于A、B两点
（1）如果，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程
（1）设P为MQ与AB得交点，由，
可得.…….………. .………. .….…..2分
由AMP∽QMA得，，
得，在RtMOQ中，＝，所以点Q坐标为（0，）或（0，）.…….………. .……….………. .…….………. .…..4分
∴直线MQ得方程是或.
即或……. .…….………. .……….…..6分
（2）设P，Q（0，a）由点M，P，Q在一条直线上，
得，∴①……. .…….………. .……….….8分
又△AMP∽△QMA得，
即②…. .…….………. .……….….10分
由①②消去得…. .…….………. .……….….12分
5、已知两个二次函数：与，
函数y＝g（x）的图像与轴有两个交点，其交点横坐标分别为
（1）试证：在（－1，1）上是单调函数
（2）当>1时，设，是方程的两实根，且，试判断，，，的大小关系
（1）∵的图像与轴有两个交点，其交点横坐标分别为，则方程有两个不同的实数根，即有…. .…….….….2分
∴，∴有或，∴或
即或…. .…….………. .……….….4分
于是二次函数图像的对称轴在（－1，1）的左侧或右侧，故 在（－1，1）上是单调函数…. .…….………. . ….………….……………….….6分
（2）∵是方程的两个实根
故有…. . ….………….……………….….8分
∴，
又
. ….…………. ………………………….….10分
∵当时，的图像开口向上，与轴的两相交点为13分
而点，在x轴下方，
∴有….…………. …………………………….….14分
6、已知函数,其中.
(1)设在处取得极值,其中,求证: ;
(2)设,求证:线段的中点在曲线上;
(3)若,求证:过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直.
解:(1),∴的两根为,
令,∵,∴,
故有.
(2)设中点,则,
故有,∴,
.
∴.
代入验算可知在曲线上.
(3)过曲线上的点的切线的斜率是,
当时,切线的斜率;
当时, ,∴,
∴切线斜率.
∵,∴,∴
∴
∴,故过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直.
7、已知点集，其中，又知点列，为与轴的的交点．等差数列的公差为1，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求出的值；
（Ⅲ）对于数列，设是其前项和，是否存在一个与无关的常数，使，若存在，求出此常数，若不存在，请说明理由．
解：（1）由题设有，故L为直线，它与轴的交点为 （ 2分 ）
，又数列是以1为公差的等差数列，所以，
故 （ 5分 ）
（2） （ 5分 ）
当为奇数时，；
当为偶数时，． （ 10分 ）
（3），假设存在与无关的常数，使
即，故存在与无关的常数，使．（ 14分 ）
8、已知A、B、C为△ABC的三个内角，设
.
（1）当f (A, B)取得最小值时，求C的大小；
（2）当时，记h（A）＝f (A, B)，试求h（A）的表达式及定义域；
（3）在（2）的条件下，是否存在向量p，使得函数h（A）的图象按向量p平移后得
到函数的图象？若存在，求出向量p的坐标；若不存在，请说明
理由.
（1）配方得f (A，B) = (sin2A-)2 + (cos2B-)2 +1， …………2分
∴ [f (A，B) ]min = 1, 当且仅当时取得最小值. …………2分
在△ABC中， 故C = 或.…………3分
（2）A+B = ，于是
h（A）＝
＝cos2A－＋3=2cos(2A+) + 3. …………4分
∵A+B = ，∴. …………1分
（3）∵函数h（A）在区间上是减函数，在区间上是增函数；而函数
在区间上是减函数.
∴函数h（A）的图象与函数的图象不相同，从而不存在满足条件的
向量p. …………2分
9、△ABC的三内角为A、B、C，已知复数z1=sinA+isinB,z2=cosA+icosB,z3=sin(A－B)+isin(A+B).
(1)若∠C为钝角，比较|z1|与|z2|的大小；
(2)若z3=z1z2,试判断△ABC的形状.
解:(1)由于0＜A+B＜,则0∴,即︱z1︱＜︱z2︱.
(2)z1z2=(sinA+isinB)(cosA+icosB),
=(cosAsinA－sinBcosB)+isin(A+B).
由z3=z1z2,得sin(A－B)=sinAcosA－sinBcosB，
∴sinAcosB－cosAsinB=sinAcosA－sinBcosB.
∴cosB(sinA+sinB)=cosA(sinA+sinB).
又∵sinA+sinB≠0,∴cosA=cosB.∴A=B,
即△ABC是等腰三角形.
10、A有一只放有x个红球、y个白球、z个黄球的箱子(x、y、z≥0，x+y+z=6),B有一只放有3个红球、2个白球、1个黄球的箱子.两人各自从自己的箱子中任取一球，规定当两球同色时为A胜，异色时为B胜.
(1)用x、y、z表示A胜的概率;
(2)若规定当A取红、白、黄而胜的得分分别为1分、2分、3分，负则得0分时,求使A得到的期望最大的x、y、z.
答案：解：将A胜这一事件分解成三事件A1={A、B均取红球}、A2={A、B均取白球}及A3={A、B均取黄球}之并，利用互斥、独立等性质求概率.
(1)令A1={A取红球且B取红球}={A取红球}∩{B取红球},
A2={A取白球且B取白球}={A取白球}∩{B取白球},
A3={A取黄球且B取黄球}={A取黄球}∩{B取黄球}.
则A1、A2、A3两两互斥.又{A胜}=A1∪A2∪A3，
显然P(A取红球)=，P(A取白球)=，P(A取黄球)=；P(B取红球)=，P(B取白球)=，P(B取黄球)=.
又A取何种颜色的球与B取何种颜色的球相互独立，
故P(A胜)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= (3x+2y+z).
(2)令ξ表示A的得分数，则{ξ=k}=Ak,k=1,2,3，从而ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
1－
于是Eξ=(3x+4y+3z)= ［3(x+y+z)+y］=(18+y).
由于0≤y≤6,故当y=6,x=z=0时,(Eξ)max=.
11、已知函数f(x)=2n－x在(0,+∞)上的最小值是an(n∈N*).
(1)求an；
(2)若Tn=cos－sin,试比较Tn与Tn+1的大小；
(3)问在点列An(2n,an)中是否存在三点，使以这三点为顶点的三角形是直角三角形?否则，请说明理由.
答案：解:(1)由f′(x)=－1,令f′(x)=0,
得x=.当x∈［0, ］时, f′(x)＜0;当x∈(,+∞)时, f′(x)＞0.
∴f(x)=an=.
(2)Tn=cos－sin=cos(+),an≥.
易知π＞+=＞0.
又函数y=cosx在(0，π)上是减函数，
∴Tn+1＞Tn(n∈N*).
(3)假设存在三点An(2n,an)、Am(2m,am)、Ap(2p,ap),使△AnAmAp为Rt△.不妨设0＜n＜m＜p,
则︱AnAm︱2+︱AmAp︱2－︱AnAp︱2
=(2n－2m)2+(－)2+(2m－2p)2+(－)2－(2n－2p)2－(－)2=…=(2p－2m)(4n－4m)+(－)(2－2)＜0.
因此，不存在三点，使以这三点为顶点的三角形是直角三角形.
12、已知f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),且y=f(x)的图象经过点（1，n2），数列{an}为等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；?
(2)当n为奇数时，设g(x)=［f(x)－f(－x)］，是否存在自然数m和M，使不等式m解：(1)由题意，f(1)=n2,即a0+a1+a2+…+an=n2, 令n=1,a0+a1=1,∴a1=1－a0,
令n=2,a0+a1+a2=4,∴a2=4－(a0+a1)=3,令n=3,a0+a1+a2+a3=9,
∴a3=9－(a0+a1+a2)=5, ∵{an}为等差数列，∴d=a3－a2=2,
∴a1=3－2=1,∴a0=0,an=2n－1. (2)f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,∵n为奇数，∴f(－x)=－a1x+a2x2－a3x3+…+an－1xn－1－anxn,
g(x)=［f(x)－f(－x)］=a1x+a3x3+a5x5…+anxn.
g()=()+5()3+9()5+…+(2n－3)·()n－2+(2n－1)()n. g()=()3+5()5+…+(2n－3)()n+(2n－1)()n+2.
两式相减，得g()=+4［()3+()5+…+()n］－(2n－1)·()n+2,
∴g()=·()n－n·()n, 令Cn=n·()n,
∵Cn+1－Cn=n·()n·≤0,(n∈N*)∴Cn+1≤Cn,Cn随n的增大而减小，
又·()n随n的增大而减小.∴g()为n的增函数，当n=1时，g()min=,
而（）n－n·()n<.∴≤g()<,
∴使m13、已知=(2,0),==(0,1),动点M到定直线y=1的距离等于d,并且满足·=k(·-d2),其中O是坐标原点，k是参数.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)当k=时，求| +2|的最大值与最小值；
(3)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足≤e≤，求k的取值 范围.
解:(1)设M(x,y),则由=(2,0),==(0,1)且O是坐标原点,得A(2,0),B(2,1),C(0,1),
从而=(x,y),=(x-2,y),=(x,y-1),=(x-2,y-1),d=|y-1|.
根据·=k(·-d2),得(1-k)x2+2(k-1)x+y2=0为所求轨迹方程.
当k=1时,y=0, 动点M的轨迹是直线;当k=0时, 动点M的轨迹是一个圆;当k>1时, 动点M的轨迹是一条双曲线;当0(2)当k=时,动点M的轨迹方程是(x-1)2+2y2=1,从而|+2|2=(3x-4)2+9y2=
(x-)2+.又由(x-1)2+2y2=1,得0≤x≤2.∴当x=时,|+2|取得最小值;
当x=0,时|+2|取得最大值4.
(3)由于≤e≤,所求的轨迹是椭圆,其方程可化为=1.
当0当k<0时, a2=1-k,b2=1,c2=-k,e2==,∴-1≤k≤-.
综上可知k的取值范围是［-1,-］∪［,］.
14、已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上有两点A1（m1,y1）,A2(m2,y2),满足a2+(y1+y2)a+y1·y2=0,
求证：（1）存在i∈{1,2},使yi=－a;
（2）抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点；
（3）若使该图象与x轴交点为(x1,0)(x2,0),(x1＜x2),则存在i∈{1,2}，使x1＜mi＜x2.
证明：（1）由a2+(y1+y2)a+y1y2=0有(y1+a)(y2+a)=0. ∴y1=－a或y2=－a,即存在i∈{1,2},使得yi=－a.
（2）由（1）知存在i∈{1,2},使得yi=－a,则有－a=ax2+bx+c,即ax2+bx+a+c=0,由Δ=b2－4a(a+c)≥0.∴b2－4ac≥4a2＞0.∴b2－4ac＞0.
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点.
（3）方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2,x1+x2=－,x1x2=.
∴（mi－x1）(mi－x2)=mi2－(x1+x2)mi+x1x2=mi2+mi+=(ami2+bmi+c)= yi,由（1）可知yi=－1＜0,∴x1＜mi＜x2.
15、)已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1并与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积的最大值为12.
(1)求椭圆C的离心率；(2)求椭圆C的方程.
解：(1)设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c,由cosF1PF2=
==－1≥－1=1－2e2=0,得e=.
(2)设过左焦点的直线方程为x=my－c, ①
椭圆的方程为+=1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由e=,得a2=2c2,b2=c2.于是椭圆方程可化为x2+2y2－2c2=0. ②
把①代入②并整理得(m2+2)y2－2mcy－c2=0.于是y1、y2是上述方程的两根.
|AB|==|y2－y1|=
=，AB边上的高h=,所以S△ABF=|AB|·h=××=2c2=2c2≤c2.
当且仅当m=0时取等号.由题意知c2=12,得
所以面积最大时椭圆的方程为+=1.
16、已知函数f(x)=(a∈R且x≠a).
(1)证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立;
(2)当f(x)的定义域为［a+,a+1］时，求证：f(x)的值域为［－3，－2］；
(3)设函数g(x)=x2+|(x－a)f(x)|,求g(x)的最小值.
解析：(1)证明：f(x)+2+f(2a－x)=+2+=+2+
==0，∴结论成立.
(2)证明：f(x)==－1+，
当a+≤x≤a+1时，－a－1≤－x≤－a－,－1≤a－x≤－,－2≤≤－1,－3≤－1+≤－2,即f(x)的值域为［－3，－2］.
(3)解：g(x)=x2+|x+1－a|(x≠a).
①当x≥a－1且x≠a时，g(x)=x2+x+1－a=(x+)2+－a.
如果a－1≥－,即a≥时，则函数在［a－1,a)和(a,+∞)上单调递增［g(x)］min=g(a－1)=(a－1)2;
如果a－1<－,即当a<且a≠－时，则［g(x)］min=g(－)=－a;
当a=－时，g(x)的最小值不存在.
②当x≤a－1时，g(x)=x2－x－1+a=(x－)2+a－.
如果a－1>,即a>时，则［g(x)］min=g()=a－;
如果a－1≤,即a≤时，则g(x)在(－∞,a－1)上为减函数，［g(x)］min=g(a－1)= (a－1)2.
当a>时，(a－1)2－(a－)=(a－)2>0;当a<时，(a－1)2－(－a)=(a－)2>0.
综上,得当a<且a≠时，g(x)的最小值是－a;
当≤a≤时，g(x)的最小值是(a－1)2;当a>时，g(x)的最小值为a－;
当a=－时，g(x)的最小值不存在.
17、设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y，总有f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1．
(1)求f(0)的值；(2)证明：当x＜0时，f(x)＞1；
(3)证明：f(x)在R上单调递减；(4)若M＝{y|f(y)·f(1－a)≥f(1)}，N＝{y|f(ax2＋x＋1－y)＝1，x∈R}，且M∩N≠φ，求a的取值范围．
解：(1)显然，f(x)不恒等于0，令x＝1，y＝0时，得f(0)＝1；
(2)令y＝－x≥0则1＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)，即f(－x)＝．
由题0＜f(－x)＜1　 ∴f(x)＞1；
(3)设x1＜x2，则x2－x1＞0，由题得(2)知f(x)＞0．
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x1)
＝f(x1)[f(x2－x1)－1]＜0　∴f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)在R上单调递减；
(4)由已知及(3)得：M＝{y|y≤a}，N＝{y|y＝ax2＋x＋1，x∈R}
显然，当a≤0时，M∩N≠φ
当a＞0时，N＝{y|y＝a(x＋)2＋1－，x∈R}
要使M∩N≠φ，必须1－≤a．
即4a2－4a＋1≥0a∈R
故所求的a的取值范围是a∈R．
18、已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体：①f(x)在其定义域上是单调增函数或单调减函数；②在f(x)的定义域内存在区间[a，b]，使得f(x)在[a，b]上的值域是[a，b]．
(1)判断函数y＝－x3是否属于集合M？并说明理由．若是，请找出区间[a，b]．
(2)若函数y＝＋t∈M，求实数t的取值范围．
解：(1)y＝－x3的定义域是R，
y'＝－3x2≤0，∴y＝－x3在R上是单调减函数．
则y＝－x3在[a，b]上的值域是[－b3，－a3]．
由　解得：或　(舍去)或 (舍去)
∴函数y＝－x3属于集合M，且这个区间是[－，]
(2)设g(x)＝＋t，则易知g(x)是定义域[1，＋∞]上的增函数．
g(x)∈M，∴存在区间[a，b][1，＋∞]，满足g(a)＝a，g(b)＝b．
即方程g(x)＝x在[1，＋∞]内有两个不等实根．
[法一]：方程＋t＝x在[1，＋∞]内有两个不等实根，等价于方程x－1＝(x－t)2在[2t，＋∞]内有两个不等实根．
即方程x2－(4t＋4)x＋4t2＋4＝0在[2t，＋∞]内有两个不等实根．
根据一元二次方程根的分布有
解得0＜t≤．
因此，实数t的取值范围是0＜t≤．
[法二]：要使方程＋t＝x在[1，＋∞]内有两个不等实根，
即使方程＝x－t在[1，＋∞]内有两个不等实根．
如图，当直线y＝x－t经过点(1，0)时，t＝，
当直线y＝x－t与曲线y＝相切时，
方程＝x－t两边平方，得x2－(4t＋4)x＋4t2＋4＝0，由△＝0，得t＝0．
因此，利用数形结合得实数t的取值范围是0＜t≤．
19、已知数列{an}的前n项和为Sn，满足关系式(2＋t)Sn＋1－tSn＝2t＋4(t≠－2，t≠0，n＝1，2，3，…)
(1)当a1为何值时，数列{an}是等比数列；
(2)在(1)的条件下，设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}使b1＝1，bn＝f(bn－1)(n＝2，3，4，…)，求bn；
(3)在(2)条件下，如果对一切n∈N＋，不等式bn＋bn＋1＜恒成立，求实数c的取值范围．
解：(1)(2＋t)Sn＋1－tSn＝2t＋4　　　　①
n≥2时，(2＋t)Sn－tSn－1＝2t＋4　　　②
两式相减：(2＋t)(Sn＋1－Sn)－t(Sn－Sn－1)＝0，
(2＋t)an＋1－tan＝0，＝．即n≥2时，为常数．
当n＝1时，(2＋t)S2－tS1＝2t＋4，
(2＋t)(a2＋a1)－ta1＝2t＋4，解得a2＝．
要使{an}是等比数列，必须＝．
∴＝，解得a1＝2．
(2)由(1)得，f(t)＝，因此有bn＝，
即＝＋1，整理得＋1＝2(＋1)．
则数列{＋1}是首项为＋1＝2，公比为2的等比数列，＋1＝2·2n－1＝2n，
bn＝．
(3)把bn＝，bn＋1＝代入得：＋＜，
即c＞＋，
要使原不等式恒成立，c必须比上式右边的最大值大．
∴＋＝＋＝＋＋，单调递减．
∴＋的值随n的增大而减小，则当n＝1时，＋取得最大值4．
因此，实数c的取值范围是c＞4．
20、已知数列{an}满足
（1）求证：{an}为等比数列；
（2）记为数列{bn}的前n项和，那么：
①当a=2时，求Tn；
②当时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由.
解：（1）当n≥2时，
整理得所以{an}是公比为a的等比数列.（4分）
（2）
①当a=2时，
两式相减，得
（9分）
②因为－1＜a＜1，所以：当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数.
当所以
所以当
当
故存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有（14分）
21、已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为
Tn，求证：．
解：（Ⅰ）∴当时，
，即是等比数列． ∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，
则有而
故，解得，再将代入得成立， 所以．
（III）证明：由（Ⅱ）知，所以
，
由得
所以，
从而
．即．
22、 设函数的图象是曲线，曲线与关于直线对称．将曲线向右平移1个单位得到曲线，已知曲线是函数的图象．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和，并求最小的正实数，使对任意都成立．
解：（Ⅰ）由题意知，曲线向左平移1个单位得到曲线，
曲线是函数的图象， 曲线与曲线关于直线对称，
曲线是函数的反函数的图象，
的反函数为，；
（Ⅱ）由题设：，，



①
②
23、设集合是满足下列两个条件的无穷数列的集合：
① ② 是与无关的常数.
（Ⅰ）若是等差数列，是其前n项的和，，证明：；
（Ⅱ）设数列的通项为，求的取值范围；
（Ⅲ））设数列的各项均为正整数，且，试证。
解：（Ⅰ）设等差数列{}的公差是，则，解得所以
由=－1＜0
得适合条件①；又，所以当=4或5时，取得最大值20，即≤20，适合条件②。综上所述，
（Ⅱ）因为，所以当n≥3时，，此时数列单调递减；当=1，2时，，即
因此数列中的最大项是，所以≥7
（Ⅲ）假设存在正整数，使得成立，
由数列的各项均为正整数，可得
因为
由
因为
依次类推，可得 又存在，使，总有，故有，这与数列（）的各项均为正整数矛盾！
所以假设不成立，即对于任意,都有成立.
24、已知点都在椭圆上，、AC分别过两个焦点，当时，有成立.
（1）求此椭圆的离心率；
（2）设 当点A在椭圆上运动时，求证始终是定值.
解：（I）当时，
由椭圆定义，得
在中，
（II）由，得椭圆方程化为，即
焦点设
（1）当直线AC的斜率存在时，直线AC的方程为
代入椭圆方程，得
，则
同理可得
（2）当直线AC的斜率不存在时，
综上所述，是定值6.
25、已知函数（a为常数）.
（1）如果对任意恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数满足：中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程 的两实根，判断①，②，③是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数，并求的最小值；
（3）对于（2）中的，设，数列满足 ，且，试判断与的大小，并证明.
解：（1）对恒成立，
又恒成立，对恒成立，
又，
（2）由得：，
不妨设，则q，r恰为方程两根，由韦达定理得：
①
②
③而
设，求导得：
当时，递增；当时，递减；
当时，递增，
在上的最小值为
（3）
如果，则
在为递增函数，
又
26、已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.
27、设函数的定义域为，当时，恒有成立，且过图象上任意两点的直线的斜率都大于1，求证：
（1）为增函数；
（2） >x；
（3）。
证（1）设，∴，∴，∴f(x)为增函数
（2）若存在，使，则
①当=>0时，则f()=，即2=，∴=0与>0矛盾②当<时，由（1）知f(x)为增函数，∴f()<即2< ，∴<0此时与>0矛盾
∴必有f(x)>x。
（3）由（2）得f(x)>x>0，∴，∴f(f(x))-f(x)>f(x)-x即2x-f(x)>f(x)-x，∴
同理f(f(f(x)))-f(f(x))>f(f(x))-f(x)即2f(x)-2x>2x-f(x), ∴,∴。
28、已知函数满足对任意，且，都有．
（1）求实数的取值范围；
（2）试讨论函数在区间 上的零点的个数；
（3）对于给定的实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值．
解：（1）∵
，
∵，∴的取值范围是．
（2）
由（1）知： ，所以
①当 时，，当时，总有， 故时，在上有一个零点；
②当时， ，即时，在上有两个零点。
综上当 时，在上有一个零点；时，在上有两个零点。
（3）∵， 显然，对称轴．
①当，即时，，且．
令，解得，
此时取较大的根，即，
∵，∴．
②当，即时，，且．
令，解得，
此时取较小的根，即，
∵，∴． 当且仅当时，取等号．
∵，∴当时，取得最小值－3．
宜昌市一中2008届高三数学阶段检测试题三
(本大题满分14分)已知函数(a为实常数)．　　(1)若在上是单调函数，求a的取值范围；　　(2)当a = 0时，求的最小值； (3)设各项为正的无穷数列满足(n∈N*)，证明：≤1(n∈N*)．
21．(1)　　当a≥0时，在[2，＋∞)上恒大于零，即，符合要求； 2分 当a＜0时，令，g (x)在[2，＋∞)上只能恒小于零　　故△＝1＋4a≤0或，解得：a≤　　∴a的取值范围是 6分
(2)a = 0时，　　当0＜x＜1时，当x＞1时，∴ 8分
(3)反证法：假设x1 = b＞1，由， ∴　　故　　　，即　　①　　又由(2)当b＞1时，，∴　　与①矛盾，故b≤1，即x1≤1　　同理可证x2≤1，x3≤1，…，xn≤1(n∈N*)
（21）（本小题满分12分）
过椭圆＋y2＝1的右焦点F作直线l交椭圆于M、N两点，设|MN|＝．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）设M、N在椭圆右准线上的射影分别为M1、N1，求·的值．
（22）（本小题满分12分）
对于函数φ(x)，使φ(x)＝x的x叫做φ(x)的不动点．
（Ⅰ）求函数f(x)＝tanx的不动点；
（Ⅱ）设a＞0，且a≠1，求使g(x)＝logax有不动点的a的取值范围．
（21）解：（Ⅰ）由椭圆方程知点F坐标为(，0)．
若l的斜率不存在，其方程为x＝，代入椭圆方程，得y＝±，|MN|＝1不合题设，于是l的斜率，设其方程为y＝k(x－)．………………………………………2分
由得(1＋4k2)x2－8k2x＋12k2－4＝0．
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则
x1＋x2＝， ①
x1x2＝． ②…5分
又|MN|＝，即
(x2－x1)2＋k2(x2－x1)2＝(1＋k2)[(x2＋x1)2－4x1x2]＝． ③
把①式和②式代入③式，并整理得k2＝，
∴k＝±，直线l方程为y＝±(x－)．……………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x1＋x2＝＝，x1x2＝，
又＝(x2－x1，y2－y1)，＝(0，y2－y1)，
∴·＝(y2－y1)2＝k2(x2－x1)2＝k2[(x2＋x1)2－4x1x2]＝．……………12分
（22）解：（Ⅰ）f(x)＝x，即tanx＝x．
两边平方，得(1－x2)tan2x＝x2，由此可得
x2＝＝＝＝sin2x．……………………………………3分
由x∈[－1，1]知x与sinx同号，所以x＝sinx．
设F(x)＝x－sinx（x∈[－1，1]），则F((x)＝1－cosx＞0，F(x)为增函数，
而F(0)＝0，所以方程F(x)＝0即x＝sinx（x∈[－1，1]）只有一个实数解x＝0．
因此，函数f(x)的不动点为x＝0．…………………………………………………6分
（Ⅱ）令G(x)＝x－g(x)＝x－logax（x＞0），则
G((x)＝1－logae＝．……………………………………………………8分
（1）若0＜a＜1，则logae＜0，G((x)＞0，则G(x)在(0，＋∞)内单调递增．又G(a)＝a－1＜0，G(1)＝1＞0，所以G(x)＝0即g(x)＝x在(0，1)内有一根．
（2）若a＞1，则当x∈(0，logae)时，G((x)＜0，G(x)单调递减；
当x∈(logae，＋∞)时，G((x)＞0，G(x)单调递增；
当x＝logae时，G(x)有最小值logae－loga(logae)．
由G(1)＝1＞0知，当且仅当logae－loga(logae)≤0时，G(x)＝0有实根．
由a＞1，知
logae－loga(logae)≤0(logae≤loga(logae)(e≤logae(ae≤e(1＜a≤e．
综上所述，a的取值范围是(0，1)∪(1，e]．……………………………………12分