红桥高级中学2023—2024学年度第二学期
高一数学试卷
试卷满分150分； 考试时长110分钟； 2024.3
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量坐标运算求解即可
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
2. 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用，利用两角和的余弦公式求解即可.
【详解】因为
，
故选：D.
3. 关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据相等向量的定义即可判断A；根据平面向量的定义即可判断B；根据共线向量及相等向量的定义即可判断CD,
【详解】解：时，方向未知，不成立，A错误；
向量不能比较大小，B错误；
表示向量大小相等，方向相同，所以，C正确；
表示向量方向相同或相反，不能得到，D错误.
故选：C.
4. 函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数的单调性，利用零点存在定理即可得出结论.
【详解】函数在区间上为增函数，函数为增函数，
所以，函数在区间上为增函数，则该函数最多有一个零点，
又，，
因此，函数的零点所在的一个区间是.
故选：D.
【点睛】本题考查利用零点存在定理判断函数零点所在的区间，考查计算能力，属于基础题.
5. 在中，为边上的中线，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选：A.
6. 用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即.
故选：B.
7. 的值是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】故选D.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
8. 在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意作交于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“1”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】作交于F，连接 ，则∽，故，
由于点为边上的中点，故，
，故，又∽，故，
故，
则
,
由于，，故，
因为三点共线，故，
所以，
当且仅当，结合，即时等号成立，
即的最小值为，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. 与可以作为基底
C. D. 与方向相同
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量坐标运算，共线向量定理和平面向量基本定理逐项分析即得.
【详解】由题意，向量，可得，
所以，所以A正确，B错误；
又由，所以C正确；
因为，所以，所以与方向相反，所以D错误.
故选：BD.
10. 下列式子化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据诱导公式以及两角差的正弦判断A；利用辅助角公式判断B；利用诱导公式以及两角和的正弦判断C；利用二倍角公式判断D.
【详解】对于A，
，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，，故D正确，
故选：BCD.
11. 已知，则（ ）
A 若，则
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可判断C；由向量与向量的夹角为钝角，可得且不共线，进而可判断D.
【详解】对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，，
则，
当时，，故C正确；
对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，
所以且不共线，
由，得，
由得，
所以的取值范围为，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，则＝_________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据向量加法的坐标运算以及数量积的坐标运算求解即可.
【详解】因为，，
所以，
所以，
故答案为：.
13. 已知，，则在的方向上的投影向量是________．(结果写坐标)
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以在的方向上的投影向量是，
故答案为：.
14. 设为锐角，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】将变形为再用正弦两角差的公式求解.
【详解】因为为锐角，由，得，
．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，.
（1）若，且、、三点共线，求的值.
（2）当实数为何值时，与垂直？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由、、C三点共线，可得与共线，列出方程即可得到值；
（2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意可得，，
且、、三点共线，则可得，
即，
解得；
【小问2详解】
由题意可得，，
因为与垂直，则可得,
解得.
16. 设是钝角，．
（1）求的值；
（2）求和的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解；
（2）根据两角和差的正弦余弦求解即可.
【小问1详解】
因为是钝角，，
所以.
【小问2详解】
因为，，
所以，
.
17. 已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记．
（1）用表示向量；
（2）若，且，求的余弦值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算结合条件求解即得；
（2）利用结合条件根据向量夹角公式运算求解即得.
【小问1详解】
，
，
.
【小问2详解】
因为三点共线，所以得，
，得，
所以，
所以，即的余弦值为.
18. 已知向量 和 ，则 ,, 求：
（1） 的值；
（2） 的值；
（3） 与 的夹角θ的余弦值．
【答案】（1）；
（2）；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）（2）根据平面向量的数量积的定义即可求解；
（3）根据平面向量的夹角公式即可求解．
【小问1详解】
∵ ,, .
∴ ；
【小问2详解】
∵,
∴ ；
【小问3详解】
∵,
∴
19. 已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q．
（1）若，，求x，y值；
（2）求最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立直角坐标系，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解，
（2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次型多项式的特征即可求解最值.
【小问1详解】
当时，则为的中点，
由于,所以,
所以
【小问2详解】
由于四边形ABCD是边长为2的菱形，且，建立如图所示的直角坐标系，
则,
取中点为，连接,则,
设
，
，
故当时，取最小值，红桥高级中学2023—2024学年度第二学期
高一数学试卷
试卷满分150分； 考试时长110分钟； 2024.3
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 等于（ ）
A. B.
C. D.
3. 关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4. 函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，为边上的中线，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A. ， B. ，
C ， D. ，
7. 的值是
A. B. C. D.
8. 在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. 与可以作为基底
C D. 与方向相同
10. 下列式子化简正确的是（ ）
A
B.
C.
D.
11. 已知，则（ ）
A 若，则
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，则＝_________．
13. 已知，，则在的方向上的投影向量是________．(结果写坐标)
14. 设为锐角，若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，.
（1）若，且、、三点共线，求的值.
（2）当实数为何值时，与垂直？
16. 设钝角，．
（1）求的值；
（2）求和的值．
17. 已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记．
（1）用表示向量；
（2）若，且，求的余弦值．
18. 已知向量 和 ，则 ,, 求：
（1） 的值；
（2） 的值；
（3） 与 的夹角θ的余弦值．
19. 已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q．
（1）若，，求x，y的值；
（2）求最小值．
