全市2024届高三质量监测考试
数学
注意事项：
1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
2答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解对数不等式求集合，再根据交集的概念计算即可.
【详解】由，解得：，所以，
所以.
故选：C
2. 若（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，所以，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D
3. 已知平面向量，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量夹角的坐标公式计算即可.
【详解】易知，
由可知.
故选：B
4. 安顺市第三届运动会于2023年11月8日至11月10日在安顺奥体中心举行.某中学安排4位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ）
A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种
【答案】C
【解析】
【分析】利用排列组合知识计算即可.
【详解】四位同学观看三个项目比赛，由于一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，
根据题意，其中有两人看一个项目，所以安排方案有种.
故选：C
5. 西秀山白塔位于安顺城南西秀山上，为仿阁楼式六棱九重实心石塔，白塔始建于元泰定三年（公元1326年），初仅为佛用砖塔.清咸丰元年（1851年），这座元代的砖塔倾斜严重，前安顺知府胡林翼倡捐廉银三十两，时值清中叶，我国华南地区开始以“制器尚象”的设计思维尊崇毛笔形状兴建了大批风水塔，以寓当地文风昌盛.位于西秀山的这座古塔正是在这样的潮流下，被设计成了一个套筒式的毛笔状白塔，咸丰二年普定知县邵鸿儒撰《重修安郡文峰碑》记录了这一大盛事，如图，某学习小组为了测量“西秀山白塔”BC的高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为，塔底C点的仰角为.已知山岭高CD为h，则塔高BC为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意中几何关系分别求出，，且，从而可求解.
【详解】由题意得，，，
在中，，所以，
在中，，所以，
所以，故A正确.
故选：A.
6. 已知椭圆，，分别为该椭圆的左，右焦点，以为直径的圆与椭圆C在第一象限交于点P，则点P的纵坐标为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，设出点的坐标，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，则，
设，且，则，且，
解得，所以.
故选：B
7. 函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. D. 是奇函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数的定义，结合函数的周期性、对称性，整理化简，即可得答案.
【详解】与都是奇函数，
，，
函数关于点及点对称，
，，
故有，函数是周期的周期函数，
，
，即，
是奇函数，
故选：D．
8. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设易知放入一个半径为1的小球后，圆锥轴截面中小球的截面圆为内切圆，要使比值最大，球的半径最大，利用内切圆性质求，进而求球体、圆锥表面积，即可得比值.
【详解】由边长为的正三角形的内切圆半径为，
即轴截面是边长为的正三角形的圆锥内切球半径为，
所以放入一个半径为1的小球后，再放一个球，如下图，
要使球的表面积与容器表面积之比的最大，即球的半径最大，
所以只需球与球、圆锥都相切，其轴截面如上图，此时，
所以球的表面积为，圆锥表面积为，
所以球的表面积与容器表面积之比的最大值为.
故选：A
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某同学高三上学期5次月考数学成绩分别为90，100，95，110，105，则（ ）
A. 5次月考成绩的极差为15 B. 5次月考成绩的平均数为100
C. 5次月考成绩方差为50 D. 5次月考成绩的40%分位数为95
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，由极差，平均数，方差以及百分位数的定义，代入计算，即可判断.
【详解】由题意可得，5次月考成绩的极差为，故A错误；
5次月考成绩的平均数为，故B正确；
5次月考成绩的方差为，故C正确；
5次月考成绩从小到大排列为，且，
所以5次月考成绩的40%分位数为，故D错误；
故选：BC
10. 函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于中心对称
C. 在上单调递减
D. 把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象
【答案】AD
【解析】
【分析】由图象可得函数周期，可得，由在处取最大值，可确定.A选项，由图象可得函数周期；BC选项，由A分析，可得.由在处取最大值，可确定，后由正弦函数对称性，单调性可判断选项正误；D选项，判断平移后所得函数的奇偶性即可判断选项.
【详解】A选项，由图可得，的半个最小正周期为，则的最小正周期为，故A正确；
BC选项，，由在处取最大值，则，.则，取，则.即.
将代入，得，则不是对称中心；
，，因在上递减，在上递增，则不是的单调递减区间，故BC错误；
D选项，由BC选项分析可知，，向右平移个单位长度后，得，为奇函数，故D正确.
故选：AD
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点E、F、G、H分别为棱、、、的中点，点M为棱上动点，则（ ）
A. 点E、F、G、H共面 B. 的最小值为
C. 点B到平面距离为 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意建立空间之间坐标系，利用平面向量基本定理可对A判断，利用向量的垂直表示可对D判断；利用正方体面展开图可对B判断；利用等体积法可对C判断.
【详解】如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
对A：，，，
设，即，解得，，
所以共面，故A正确．
对B：将正方体沿剪开展开如下图，连接交于一点，此点为点，
此时为最小值，故B错误；
对C：由等体积法可知，即，
由，，求解得，故C正确.
对D：，，，
，则，所以，故D正确.
故选：ACD.
12. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则（ ）
A.
B. 数列为等比数列
C.
D. 第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，即可判断ABC，然后逐一列举，即可判断D
【详解】由题意可知，要使得n次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中，
所以，，即，
所以，且，则，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确；
则，即，故C错误；
且，故A正确；
若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，
设甲乙丙对应
则，
，
，
，
，
，
所以一共有六种情况，故D正确；
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知数列为等比数列，，，则______.
【答案】9
【解析】
【分析】利用等比数列的性质，再根据同号，即可求解.
【详解】由数列为等比数，所以，又因为同号，所以.
故答案为：9.
14. 若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知用表示出然后作差比较大小．
【详解】由，得，
，时，，时，，
，所以．
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查比较两个实数的大小，解题方法是作差法．
15. 在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程______.
【答案】（答案不唯一，另一条为）
【解析】
【分析】利用轴对称求出点关于直线的对称点，再求出过点的圆的切线即得.
【详解】依题意，点关于直线的对称点，
由光的反射定理知，从点射出的光线经直线反射后，与圆相切，
相当于从点发出的光线与圆相切，显然该切线斜率存在，设方程为，
因此圆心到直线的距离，解得，
所以所求直线方程为或.
故答案：
16. 已知函数有正零点，则正实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由推得.形式相同，可构造，求导，根据导函数得出单调递增，进而得出，即可得出.构造函数，根据导函数得出函数的最值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，定义域为.
因为等价于.
令，则R上恒成立，
所以，在R上单调递增.
由可知，，
根据的单调性可知，，所以有.
因为，所以.
令，，则.
由可得，.
由可得，，所以在上单调递增；
由可得，，所以在上单调递减.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，
所以，，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：由同构变形推得，进而构造，通过导函数研究的性质，即可得出关系式.
四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）方程在有解，求实数m的范围.
【答案】（1）单调递增区间为，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求导，解不等式求出单调递增区间；
（2）先求出在区间上的最大值为4，最小值为1，从而得到答案.
【小问1详解】
的定义域为R，
，
当时，；时，；
故单调增区间为，；
【小问2详解】
由（1）知，函数在区间，上单调递增，
在区间上单调递减，
∵，，，，
∴，，
故函数在区间上的最大值为4，最小值为1，
∴，
∴.
18. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
（1）求A的大小：
（2）设的面积为，点D在边上，且，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理边角转化分析求解；
（2）利用面积公式可得，由向量可得，结合数量积和基本不等式运算求解.
【小问1详解】
因为，即，
由正弦定理可得，整理得，
则，且，所以.
【小问2详解】
因为，解得，
又因为，
则
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
19. 如图，在直三棱柱中，，.
（1）求证：.
（2）若，，点E是线段上一动点，当直线与平面所成角正弦值为时，求点E的位置.
【答案】（1）证明见解析；
（2）E为中点.
【解析】
【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理以及性质定理可证平面，从而证明；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.
【小问1详解】
如图连接，
∵直三棱柱中，，
∴四边形为正方形，∴；
又，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，且平面，所以平面，
且平面，所以.
【小问2详解】
由题意知、、两两互相垂直，
如图所示以B为原点，、、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系；
则，，，，，
设，，，，
设平面法向量为，
则，取，
则，
∴或（舍去），∴E为中点.
20. 记为数列的前n项和，已知，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，的前n项和，求的最小值.
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】（1）构造是等差数列，结合与的关系，利用累乘法计算即可；
（2）利用裂项相消法计算，结合函数的单调性求最值即可.
【小问1详解】
∵，，∴，
∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，
则，
即，，
两式作差得，
即，∴，
即，，
∵符合上式，∴.
【小问2详解】
，
所以，.
∵，
∴数列为递增数列，∴.
21. 某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.
（1）求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望；
（2）规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？
【答案】21. 分布列见解析，
22. 3次或4次
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.
（2）根据二项分布的知识求得闯关成功的次数的分布列，由此求得正确答案.
【小问1详解】
由题知：可取0，1，2，3，则:
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
则的期望为：.
【小问2详解】
方法1、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则.
故
所以的分布列为：
0 1 2 3 4 5
故小明同学5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
方法2、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则
故
∴假设当时，对应概率取值最大，则
解得，而
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
22. 已知双曲线，A，B为左右顶点，双曲线的右焦点F到其渐近线的距离为1，点P为双曲线上异于A，B一点，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线l与相切，与其渐近线分别相交于M、N两点，求证：的面积为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用点到直线距离公式求得，再结合可求出，从而可求解.
（2）分情况讨论直线斜率存在与不存在的情况，然后与双曲线方程式联立，再结合韦达定理求出相应关系式，从而可求解.
【小问1详解】
由题意知，∵双曲线渐近线方程为，
∴F到渐近线距离，
设点，，，
∴，∴，
所以双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
当直线l斜率存在时，设直线l与相切的切点坐标为，斜率为k，
则，
则直线l的方程为：，与联立整理得：
，
双曲线渐近线为，故，
∴，
化简得，
又，∴，∴，∴；
故直线的方程为：，∴l与x轴交于点，
不妨设M为l与的交点，则，
为l与的交点，则 ，
∴；
当直线l斜率不存在时，，，∴；
综上可得的面积为定值2.
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.全市2024届高三质量监测考试
数学
注意事项：
1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
2答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知平面向量，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 安顺市第三届运动会于2023年11月8日至11月10日在安顺奥体中心举行.某中学安排4位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ）
A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种
5. 西秀山白塔位于安顺城南西秀山上，为仿阁楼式六棱九重实心石塔，白塔始建于元泰定三年（公元1326年），初仅为佛用砖塔.清咸丰元年（1851年），这座元代的砖塔倾斜严重，前安顺知府胡林翼倡捐廉银三十两，时值清中叶，我国华南地区开始以“制器尚象”的设计思维尊崇毛笔形状兴建了大批风水塔，以寓当地文风昌盛.位于西秀山的这座古塔正是在这样的潮流下，被设计成了一个套筒式的毛笔状白塔，咸丰二年普定知县邵鸿儒撰《重修安郡文峰碑》记录了这一大盛事，如图，某学习小组为了测量“西秀山白塔”BC的高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为，塔底C点的仰角为.已知山岭高CD为h，则塔高BC为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知椭圆，，分别为该椭圆的左，右焦点，以为直径的圆与椭圆C在第一象限交于点P，则点P的纵坐标为（ ）
A. B. C. D. 1
7. 函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. D. 是奇函数
8. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某同学高三上学期5次月考数学成绩分别为90，100，95，110，105，则（ ）
A. 5次月考成绩的极差为15 B. 5次月考成绩的平均数为100
C. 5次月考成绩的方差为50 D. 5次月考成绩的40%分位数为95
10. 函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于中心对称
C. 在上单调递减
D. 把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点E、F、G、H分别为棱、、、的中点，点M为棱上动点，则（ ）
A. 点E、F、G、H共面 B. 的最小值为
C. 点B到平面的距离为 D.
12. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则（ ）
A.
B. 数列为等比数列
C.
D. 第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知数列为等比数列，，，则______.
14. 若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是_____________.
15. 在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程______.
16. 已知函数有正零点，则正实数的取值范围为______．
四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）方程在有解，求实数m的范围.
18. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
（1）求A的大小：
（2）设面积为，点D在边上，且，求的最小值.
19. 如图，直三棱柱中，，.
（1）求证：.
（2）若，，点E是线段上一动点，当直线与平面所成角正弦值为时，求点E的位置.
20. 记为数列前n项和，已知，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，的前n项和，求的最小值.
21. 某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.
（1）求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望；
（2）规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？
22. 已知双曲线，A，B为左右顶点，双曲线右焦点F到其渐近线的距离为1，点P为双曲线上异于A，B一点，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线l与相切，与其渐近线分别相交于M、N两点，求证：的面积为定值.
