抚顺市雷锋高级中学2023-2024学年度第二学期开学质量检测
高一数学
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：（每小题5分，共8道小题，满分40分.每小题只有一个正确选项.）
1. 下列说法正确的个数是（ ）、
①速度、加速度、位移、功这些物理量都是向量;
②零向量没有方向;
③若，则为一个三角形的三个顶点.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】①②由向量概念可得；③由向量线性运算可得.
【详解】①速度、加速度、位移是向量，功是数量；
②零向量有方向，但方向不确定，即方向任意；
③若，则可能构成一个三角形，也可能共线.
所以三个说法都是错误的.
故选：A.
2. 若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 梯形 D. 正方形
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量条件可判断四边形为正方形，据此判断各选项.
【详解】四边形中，则其为平行四边形，
若同时满足，即邻边相等，就是菱形，
最后，即对角线相等，就满足了矩形的条件.
于是三项都满足的四边形为正方形，故A，B，D正确，C错误.
故选：C.
3. 已知点在线段上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，画出草图，可明确两向量的关系.
【详解】因为点在线段上，且.
根据题意，可得图形：
可设，则，，
且与方向相反，所以.
故选：C
4. 在中，点是上一点，且，又，则的值为
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：先由条件以及两个向量的加减法的原则，以及其几何意义，可得，从而得到答案.
详解：由题意可得,
又，
.
故选：A.
点睛：向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．
5 已知，则等于（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】给平方后再开方求解即可.
【详解】，所以.
故选：A
6. 已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指数型函数所过的定点求解即可.
【详解】令，解得，则，即过定点.
故选：B
7. 函数的图象关于（ ）对称.
A. 直线y=x B. 原点 C. x 轴 D. y轴
【答案】B
【解析】
【分析】求出定义域，并得到，得到答案.
【详解】，令得，
故的定义域为，关于原点对称，
又，
故.
该函数为奇函数，关于原点对称.
故选：B
8. 已知函数（且），则等于（ ）
A. B. C. 0 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】令，计算得，进而，据此可得答案.
【详解】解：设，则.
.
，
所以.
故选：A.
二、多项选择题：（每小题6分，共3道小题，满分18分.每小题的正确选项都至少有2个，全选对得6分，部分选对得部分.若两个正确选项，选对1个得3分，选对2个得6分；若三个正确选项，选对1个，得2分，选对2个得4分，选对3个得6分）
9. 设，则与其平行的单位向量有（ ）.
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由向量平行的定义以及单位向量的定义直接判断即可．
详解】解：显然ABCD四个选项都与向量平行，
为单位向量，且与向量平行，故A正确；
模长也为1，且与向量平行，故B正确；
CD选项与向量平行，但模长不一定为1，故CD不正确.
故选：AB
10. 已知向量，不共线，若，，则下列条件能使A，B，C三点共线的有（ ）.
A. ， B. ，
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用向量平行的判定方法逐一验证即可.
【详解】因为，不共线，且，，
所以，，三点共线的充要条件是：即.
逐一验证，可知：ABC都是正确的.
故选：ABC
11. 已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数为增函数
B. 函数为偶函数
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件求出函数解析式，根据解析式即可判断函数的单调性判断A选项；利用判断函数为偶函数判断B选项；根据函数单调性判断C选项，根据与的意义，结合函数图像，判断D选项.
【详解】设幂函数，函数的图像经过点，则，，
，，所以，即；
由，所以函数为偶函数，所以B正确；
分析函数解析式可知：时，随着的增大，也增大，也增大，
所以时，单调递增；
又为偶函数，所以时，单调递减，所以A错误；
时，单调递增，又，所以时，，C正确；
大致画出函数图像如下，
为点与点两点中点的纵坐标，
为时的函数值，
观察图象可知选项D正确.
故选：BCD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：（每小题5分，共3道小题，满分15分）
12. 已知|，，若，则______.
【答案】3
【解析】
【分析】数形结合，把问题转化为直角三角形的边长问题，利用勾股定理解决.或者利用平面向量数量积的有关运算求解.
【详解】方法一：∵，所以是以为直角顶点的直角三角形.
∴.
故答案为：3
方法二：，
所以，
所以.
故答案为：3
13. 函数的零点个数为____ .若设零点为，则与1的大小关系为 ______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】先分析函数的单调性，再确定函数零点所在的区间，可得答案.
【详解】因为，因为和在上都是增函数，
所以在上是增函数，
所以至多有一个零点.
又因为，，
所以只有一个零点，所以.
故答案为：1；
14. 如图，在中，若D是边的中点，E 是所在平面内任意一点，则=_____.
【答案】.
【解析】
【分析】利用向量线性运算即可得到答案.
【详解】.
因为D是边BC的中点，所以.
所以.
故答案为：.
四、解答题：（共5道小题，共77分.）
15. 已知，，，，求与的面积.
【答案】，面积为
【解析】
【分析】先得到△ABC是边长为2正三角形，求出，再求出其他各边长，求出三角形面积.
【详解】因为，，
所以△ABC是边长为2正三角形，，
根据题意可知四边形为菱形，所以OC⊥AB.
设AB与OC的交点为M，则，
故，，所以.
的面积
16. 求的定义域和值域.
【答案】定义域为R，.
【解析】
【分析】利用对数的真数大于0，可求函数的定义域；利用函数的单调性，可求函数的值域.
【详解】设，则.
因为恒成立，所以函数的定义域为R.
因为对数的底数，所以是[3，+∞）上的增函数
所以函数的值域为.
17. 已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若有最小值3，求的值.
【答案】17. 单调递增区间为，单调递减区间为.
18. .
【解析】
【分析】（1）令，利用复合函数的单调性分析求解；
（2）设，结合指数函数单调性可知的最小值为1，然后分和两种情况，结合二次函数最值分析求解.
小问1详解】
因为，所以.
设，则.
因为，所以为R上的单调递增函数.
又在上单调递增，在上单调递减.
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.
【小问2详解】
设，则.因为，所以为R上的单调增函数.
因为有最小值3，所以，的最小值为1.
当时，，无最小值，不合题意；
当时，则，解得.
18. 如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，.
（1）用分别表示向量，;
（2）求证:B，E，F三点共线.
【答案】（1），；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合几何图形用基底表示向量即得.
（2）由（1）的信息，利用共线向量的定理推理即可.
【小问1详解】
在中，由D是BC的中点，得，
而，于是
又F是AC的中点，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，因此，
即，而有公共点，所以B，E，F三点共线.
19. 在第六章 平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题.
（1）已知，，求.
（2）已知，，求.
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）直接利用新定义计算即可；
（2）设，利用新定义计算，列方程组求解.
【小问1详解】
因为，，，
所以；
【小问2详解】
设，
因为，，
所以，
因为，所以，
解，得，即.抚顺市雷锋高级中学2023-2024学年度第二学期开学质量检测
高一数学
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：（每小题5分，共8道小题，满分40分.每小题只有一个正确选项.）
1. 下列说法正确的个数是（ ）、
①速度、加速度、位移、功这些物理量都是向量;
②零向量没有方向;
③若，则为一个三角形的三个顶点.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 梯形 D. 正方形
3. 已知点在线段上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 在中，点是上一点，且，又，则值为
A. B. C. D.
5. 已知，则等于（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
6. 已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（ ）.
A. B.
C. D.
7. 函数的图象关于（ ）对称.
A 直线y=x B. 原点 C. x 轴 D. y轴
8 已知函数（且），则等于（ ）
A. B. C. 0 D. 4
二、多项选择题：（每小题6分，共3道小题，满分18分.每小题的正确选项都至少有2个，全选对得6分，部分选对得部分.若两个正确选项，选对1个得3分，选对2个得6分；若三个正确选项，选对1个，得2分，选对2个得4分，选对3个得6分）
9. 设，则与其平行单位向量有（ ）.
A. B. C. D.
10. 已知向量，不共线，若，，则下列条件能使A，B，C三点共线有（ ）.
A. ， B. ，
C. D.
11. 已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数为增函数
B. 函数为偶函数
C. 若，则
D. 若，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：（每小题5分，共3道小题，满分15分）
12. 已知|，，若，则______.
13. 函数的零点个数为____ .若设零点为，则与1的大小关系为 ______.
14. 如图，在中，若D是边的中点，E 是所在平面内任意一点，则=_____.
四、解答题：（共5道小题，共77分.）
15. 已知，，，，求与的面积.
16. 求的定义域和值域.
17. 已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若有最小值3，求的值.
18. 如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，.
（1）用分别表示向量，;
（2）求证:B，E，F三点共线.
19. 在第六章 平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题.
（1）已知，，求.
（2）已知，，求.
