高二数学
时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据倾斜角为的直线的方程形式，即可得到正确选项.
【详解】因为过点的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，
所以直线方程为，
故选：A.
2. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】将化成标准椭圆，求出即可.
【详解】化成标准椭圆为，
则，，，
所以，
所以，，
故选：A.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 4 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间共线向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解.
【详解】由，知且，使得，
即，所以，
解得，所以.
故选：B
4. 若抛物线上的一点到焦点的距离为3p，则p的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由抛物线的定义列出方程，即可得到结果.
【详解】由抛物线的定义可得，解得.
故选：B
5. 某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成.其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为（ ）
A. 5 B. 4.5 C. 3.5 D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得12个人的平均答对题目的个数为，结合方差的公式，即可求解.
【详解】由题意，这12个人的平均答对题目的个数为，
则新数据的方差为.
故选：A.
6. 甲、乙两队进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），假设每局比赛甲队胜乙队的概率均为p，没有平局，且各局比赛相互独立，则甲队以获胜的概率可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据甲队以获胜,得出4局比赛的胜负情况，求出概率即可.
【详解】甲队以获胜,则两队共比赛了4局，且第4局一定甲获胜，前3局里甲获胜了2局，故概率为，即.
故选：C.
7. 双曲线的两条渐近线与圆没有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，结合圆的一般方程表示圆以及直线与圆相离求解即可.
【详解】因为双曲线方程为，
所以双曲线的渐近线方程为，
因为表示圆，
所以，解得或，
又因为双曲线的两条渐近线与圆没有公共点，
所以圆心到渐近线的距离大于半径，即，解得，
综上实数m的取值范围为，
故选：D.
8. 若点P是直线l：上的一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】如图，根据圆几何性质可得，则，，求出的取值范围，由平面向量数量积的定义，利用二倍角的余弦公式求得，结合对勾函数的性质即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆心C到直线l的距离为，如图，
连接，由圆的几何性质知，，
设，
则，，，
所以，
由图可知，当时，取得最小值，即，
由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增，
故当即时，取得最小值，且最小值为.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用空间向量基底的意义逐一分析各选项中的三个向量是否共面即可得解.
【详解】对于A，因为，则三个向量共面，它们不能构成一个基底，故A不符合题意；
对于B，假设共面，则必有不全为0的实数，
使得，又不共面，
则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故B符合题意；
对于C，假设共面，则必有不全为0的实数，
使得，又不共面，
则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故C符合题意；
对于D，假设共面，则必有不全为0的实数，
使得，又不共面，
则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故D符合题意.
故选：BCD
10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆C上的任意一点，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为4 D. 的最大值为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆的定义和几何性质，可得判定A正确；结合椭圆的定义和基本不等式，可的判定B错误；设，得到则，可判定C正确；化简得出，可判定D正确.
【详解】对于A中，由椭圆，可得，则，
根据椭圆的定义，可得，所以A正确；
对于B中，由，可得，
当且仅当时取等号，所以B错误；
对于C中，设，
可得，，
则，所以C正确；
对于D中，由C项，可得，所以D正确.
故选：ACD.
11. 已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. ，为对立事件
C. ，相互独立 D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质直接求解.
【详解】，是随机事件，，且
对于A， ，即，
，即，
又，故，A正确；
对于BCD，因为，
所以，由于，，
则，所以，不是对立事件
则，所以，不是相互独立事件，故BC错误；D正确.
故选：AD
12. 如图，在长方体中，，，动点M在体对角线（含端点）上，则下列结论正确的是（ ）
A. 当点M为的中点时，为钝角
B. 当点M为的中点时，四棱锥的外接球的表面积为
C. 存在点M，使得平面
D. 直线BM与平面所成角的最大正切值为
【答案】BC
【解析】
【分析】依题意建系，表示判断A；根据外接球半径求法求出，进而判断B；假设存在点，利用向量验证，判断C；根据线面角的向量求法判断D.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，当点M为中点时，，，，
，，，为锐角，A错误；
设四棱锥的外接球半径为R，则，则，
四棱锥的外接球的表面积为，B正确；
设，，，，则，
，，，得，
存在点M，使得平面，C正确；
设平面的法向量为，直线BM与平面所成角的正切值最大，
则直线BM与平面所成角的正弦值最大即可，，
即，，故，
令，，则，
当时，，
当时，，
故最大正弦值，则最大正切值，D错误，
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知一组数据，，，的方差为4，若数据，，，的方差为36，则b的值为______.
【答案】3或
【解析】
【分析】利用求平均数和方差公式可得结果.
【详解】设数据，，，的平均数为，方差为，则，
，
设数据，，，的平均数为，方差为，
则，
，
所以或，
故答案为：3或.
14. 在正方体中，，则点到直线的距离为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角形面积计算即得.
【详解】在正方体中，平面，而平面，
则，因此点到直线的距离即为斜边上的高，
由，得，由，得，
所以点到直线距离为.
故答案为：
15. 已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程.
【详解】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得
，两式作差可得，
即，所以直线的斜率，
所以直线方程为，即.
故答案为：
16. 已知双曲线，的上焦点为F，经过点F作直线l与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点M，直线l与双曲线的另一条渐近线相交于点N，若，则双曲线的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】由，，结合角平分线定理得到，，再由勾股定理求解.
【详解】解：如图所示：
由题意：，则，由角平分线定理得：，
又，
，，，
由勾股定理得：，
即，即，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 从某校高二年级随机抽取100名学生的期末调研考试的物理成绩进行研究，发现他们的成绩在[50，100]分之间，将成绩分为五组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并画出如图所示的频率分布直方图.
（1）估计该校高二年级学生期末调研考试物理成绩的第85百分位数；（精确到0.1）
（2）用分层抽样的方法在成绩区间[80，90)，[90，100]抽样一个样本容量为5的样本，将样本看作一个总体，从中抽取两名学生的物理成绩，求这两名学生中至少有一人的物理成绩在区间[80，90)的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先估算出第85百分位数所在的组别，再根据所占比率即可计算得出结果；
（2）根据两个区间频率之比，算出每个区间的人数，列举出从中抽取两名学生的所有可能情况，再找出这两名学生中至少有一人的物理成绩在区间[80，90)的情况个数，由古典概型算出概率.
【小问1详解】
由直方图，设第85百分位数为x，则，，
该校高二年级学生期末调研考试物理成绩的第85百分位数为95.8；
【小问2详解】
在区间[80,90)，[90,100]的频率分别为0.24和0.36，
在区间[80,90)，[90,100]的频率之比为，
抽取样本容量为5的样本，则在区间[80,90)抽取2人，记作a，b，在区间[90,100]抽取3人，记作A，B，C，
从中抽取两名学生的物理成绩有，，，，，，，，，，共10种取法，
两名学生中至少有一人的物理成绩在[80,90)有，，，，，，，共7种取法，
故.
18. 已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：.
（1）求圆M的一般方程；
（2）求圆M与圆O的公切线方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程.
（2）利用公共切线斜率与圆心连线斜率相等，再利用圆心到直线距离等于半径求解即可.
【小问1详解】
由题意设圆心为，
，得，
故圆心为，，
圆M的标准方程为：，
圆M的一般方程为：.
【小问2详解】
由于圆M和圆O的半径均为2，
公切线与OM平行，则，设公切线方程为，
则，得或，
故公切线方程为或.
19. 如图，在三棱柱中，底面ABC为等腰直角三角形，，，，点M，N分别为，的中点.
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，根据空间向量的数量积和线性运算可得，结合数量积的运算律计算即可证明；
（2）连接AN，，求出到平面ABC的距离，结合三棱锥的体积公式计算即可求解.
【小问1详解】
设，，，
则，，，
得，
又，，
故；
【小问2详解】
连接AN，，则，
求到平面ABC的距离，即到平面ABC的距离.
由，得，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
则在底面ABC上的投影在AN上，
，，，
，，，
所以，由，
得，故到平面ABC的距离，
三棱锥的体积.
20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点为的中点，，.
（1）证明：平面ABCD；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，根据勾股定理的逆定理可证得，结合线面垂直的判定定理即可证明；
（2）由（1），建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可.
【小问1详解】
连接AO，
，点O为BD的中点，，，
为直角三角形，，
则，，
又，平面ABCD，
平面ABCD；
【小问2详解】
由（1）知平面ABCD，而平面ABCD，
所以，又，
过点D作z轴，使得z轴平面ABCD，则可建立如图空间直角坐标系，
在中，，，则，，
，，，，
则，，，
设平面SBC法向量为，直线与平面SBC所成角为，
，，得，
所以，
直线AS与平面SBC所成角的正弦值为.
21. 已知动点到定点的距离与动点P到定直线的距离之比为1，若动点P的轨迹记为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）不过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，且，若AB的垂直平分线交x轴于点N，求点N的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的定义可求答案；
（2）联立方程，结合韦达定理，求出的中点坐标，得到AB的垂直平分线，进而得到答案.
【小问1详解】
由题可知：动点P的轨迹为焦点在x轴，开口朝右的抛物线，
，曲线C的方程为：；
【小问2详解】
设直线AB的方程为，，，
直线与抛物线联立：，
，，，即，
，，
又，即，
又，
，即，
又记点M为AB的中点，则，直线MN的方程为，
令，则，故点N为定点，坐标为.
22. 已知双曲线的实轴长为2，且过点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，过点P作双曲线的切线l与圆交于M，N两点（点M在点N的左侧），记AM，BN的斜率分别为，，证明：为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出方程求得的值，即可求得双曲线的方程；
（2）设直线l的方程为，联立方程组，结合，得到，再联立方程组得到，，化简得到，即可得证.
【小问1详解】
解：由双曲线的实轴长为2，可得，所以，
又因为在椭圆上，可得，解得，
所以双曲线C的方程为.
【小问2详解】
解：直线l的斜率存在，设直线l的方程为，且，
联立方程组，整理得，
由，可得，可得，
联立方程组，整理得，
则，，
因为，所以，
又因为，
代入可得，由于，则，
由于点M在点N的左侧，故，
所以，
代入可得，
又因为，则，
所以为定值，定值为.
【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.高二数学
时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 4 D. 2
4. 若抛物线上的一点到焦点的距离为3p，则p的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成.其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为（ ）
A. 5 B. 4.5 C. 3.5 D. 18
6. 甲、乙两队进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），假设每局比赛甲队胜乙队的概率均为p，没有平局，且各局比赛相互独立，则甲队以获胜的概率可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
7. 双曲线的两条渐近线与圆没有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 若点P是直线l：上的一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆C上的任意一点，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为4 D. 的最大值为4
11. 已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. ，为对立事件
C. ，相互独立 D.
12. 如图，在长方体中，，，动点M在体对角线（含端点）上，则下列结论正确是（ ）
A. 当点M为的中点时，为钝角
B. 当点M为的中点时，四棱锥的外接球的表面积为
C. 存点M，使得平面
D. 直线BM与平面所成角的最大正切值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知一组数据，，，的方差为4，若数据，，，的方差为36，则b的值为______.
14. 在正方体中，，则点到直线的距离为______.
15. 已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为______.
16. 已知双曲线，的上焦点为F，经过点F作直线l与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点M，直线l与双曲线的另一条渐近线相交于点N，若，则双曲线的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 从某校高二年级随机抽取100名学生的期末调研考试的物理成绩进行研究，发现他们的成绩在[50，100]分之间，将成绩分为五组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并画出如图所示的频率分布直方图.
（1）估计该校高二年级学生期末调研考试物理成绩的第85百分位数；（精确到0.1）
（2）用分层抽样的方法在成绩区间[80，90)，[90，100]抽样一个样本容量为5的样本，将样本看作一个总体，从中抽取两名学生的物理成绩，求这两名学生中至少有一人的物理成绩在区间[80，90)的概率.
18. 已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：.
（1）求圆M的一般方程；
（2）求圆M与圆O的公切线方程.
19. 如图，在三棱柱中，底面ABC为等腰直角三角形，，，，点M，N分别为，中点.
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积.
20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点为中点，，.
（1）证明：平面ABCD；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
21. 已知动点到定点距离与动点P到定直线的距离之比为1，若动点P的轨迹记为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）不过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，且，若AB的垂直平分线交x轴于点N，求点N的坐标.
22. 已知双曲线的实轴长为2，且过点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，过点P作双曲线的切线l与圆交于M，N两点（点M在点N的左侧），记AM，BN的斜率分别为，，证明：为定值.
