第05讲：:函数的零点和函数的模型
【考点梳理】
考点一：函数零点存在定理 考点二：用二分法求函数f(x)零点近似值
考点三：函数的零点所在区间求参数问题 考点四：零点的个数或根个数求参数范围
考点五：零点的分布问题 考点六：函数模型的应用
考点七：函数和方程的综合问题
【知识梳理】
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
【题型归纳】
题型一：函数零点存在定理
1．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.
【详解】在上单调递增.
当时，，所以，则在上无零点.
因为，
所以根据零点存在定理可知，在上有零点.
故选：C
2．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知，则的零点所处的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数的单调性与零点存在性定理可得.
【详解】，且是上的减函数.
由，，
根据区间上零点存在性定理，有且只有一个零点，且在区间上.
故选：B.
3．（2023上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）函数的零点所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，利用零点存在定理判断即可.
【详解】因为函数与在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，，由，
所以在上存在唯一零点.
故选：C.
题型二：用二分法求函数f(x)零点近似值
4．（2023上·江苏苏州·高一张家港市沙洲中学校考期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用零点存在性定理及二分法，结合表格计算即可.
【详解】因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，满足精确度为，
所以方程的一个近似根精确度为可以是区间内任意一个值包括端点值.
故选：C.
5．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
-1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483
要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次0.7 B．6次0.6
C．5次0.7 D．5次0.6
【答案】C
【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，对区间内，需要求解
的值，然后达到零点的近似值精确到，所以零点的近似解为，
共计算次.
故选：C
6．（2023上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用二分法及零点存在定理判断函数零点所在区间
【详解】设，
由二分法知当零点在时，取区间的中点1.6625，计算得
由知，下一步应当确定零点位于区间，
故选：A
题型三：函数的零点所在区间求参数问题
7．（2023下·河南信阳·高一统考期末）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得.
【详解】若函数在区间上存在零点，
由函数在的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足，
即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
8．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式可求a的范围.
【详解】和在上是增函数，
在上是增函数，
只需即可，即，解得．
故选：B.
9．（2021上·广东广州·高一统考期末）设函数，若函数在上存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由在上单调递增，结合零点存在性定理，函数在上存在零点，需，求解即可.
【详解】函数在上递增，
则函数在上存在零点，
需，
解得.
故选：B.
题型四：零点的个数或根个数求参数范围
10．（2024上·北京海淀·高一统考期末）已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用赋值和排除法可得结果
【详解】取，则，
若 ，则，由，得，
解得，符合条件，排除选项A、C,
取，则，
若时，，由，得，
解得，或，都不符合条件，
若，即，由，
得，即，不符合条件，
若，即，由，
得，解得，或，都不符合条件，
综上，，排除B，选D
故选：D.
11．（2023上·全国·高一期末）已知函数，若方程仅有两个不同的根，则的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】探讨给定函数的性质，并画出函数的图象，借助图象求出的取值范围，再利用二次函数性质求出值域得解.
【详解】函数，当时，单调递增，函数值集合为，
当时，单调递减，函数值集合为，
当时，在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，
方程的根，即为直线与函数图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，
观察图象知，当时，直线与函数的图象有且只有两个交点，
即当时，方程仅有两个不同的根，
函数在上单调递增，，
所以的取值范围为.
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
12．（2024上·湖南郴州·高一安仁县第一中学校联考期末）若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数与对数函数的图象，得到时，函数只有一个零点，结合题意，得到时，方程有三个零点，利用三角函数的性质，得出不等式，即可求解.
【详解】当时，令，即，即，
因为函数与的图象仅有一个公共点，如图所示，
所以时，函数只有一个零点，
又由函数有4个零点，
所以时，方程有三个零点，如图所示，
因为，可得，则满足，
解得，即实数的取值范围为.
故选：B.
题型五：零点的分布问题
13．（2023上·北京石景山·高一校考期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】设，
根据已知结合二次函数性质，作图
则有，
解得.
故选：C.
14．（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可.
【详解】令，作出函数的图象如下图所示：
因为关于的方程有个不同的实数根，
则关于的方程在内有两个不等的实根，
设，则函数在内有两个不等的零点，
所以，，解得.
故选：A.
15．（2023上·江苏南京·高一统考期末）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性,再由确定范围,即可确定实数的取值范围.
【详解】已知,,
函数的零点为，
函数的零点为，
则
又因为,这两函数均单调递增，
当时，,解得.
故选:D.
题型六：函数模型的应用
16．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（ ）（参考数据：）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据时，代入函数关系式中，可得的值，进而代入求解即可.
【详解】由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天，
即，则，
所以质量为的锶89经过30天衰减后，
质量大约为．
故选：D．
17．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据题意表示出经过小时后，该驾驶员体内的酒精含量；再列出不等式求解即可.
【详解】经过小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：.
只需，即，.
因为函数在R上为减函数，
所以，
故他至少要经过5个小时后才能驾车.
故选：C.
18．（2024上·甘肃定西·高一统考期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）（参考数据：）
A．8370年 B．8330年 C．3850年 D．3820年
【答案】D
【分析】根据碳14质量随时间的衰变公式代入条件，对指数式两边取对数，代入近似值即得.
【详解】依题意得：，等式两边取以为底的对数并整理得：，解得：，
代入即得：.
故选：D.
题型七：函数和方程的综合问题
19．（2024上·云南迪庆·高一统考期末）绿水青山就是金山银山，“两山”的转换不仅发生在青山绿水之间，在生产生活中更应该注重对环境的保护．为了减少工厂废气排放的影响，工厂可以采用一些技术来减少废气排放，也可以改变生产工艺来减少废气排放，某工厂产生的废气经过滤，后排放、过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位．h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前5h消除了的污染物，那么
(1)10h后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少需要花多少时间（精确到）？
(3)画出P关于t变化的函数图象．
【答案】(1)
(2)33h
(3)图象见解析
【分析】（1）根据条件可计算，从而可得的值，进而得出答案；
（2）令，根据指数运算性质求出的值；
（3）根据题意结合指数函数单调性作出大致图象．
【详解】（1）当时，，
当时，，即，可得，
当时，，
即10h后，还剩的污染物.
（2）设污染物减少需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得，
可得，
即污染物减少大约需要花33h.
（3）由（1）可得：，
图象大致如图所示.
20．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1.
(1)求的值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次函数的单调性及取值情况列方程求解即可得的值；
（2）将不等式，转化为在上恒成立，利用函数取值即可求得实数k的取值范围；
（3）原方程化为，令，得到方程，通过二次方程实根分布，可得的不等式组，即可求得的范围．
【详解】（1）函数，
因为，对称轴为，所以在区间上是增函数，
所以，即，解得.
故.
（2）由（1）得，
则不等式为在上恒成立，
即在上恒成立，
又时，，则，
所以，则.
故实数k的取值范围.
（3）方程，代入，
得，，
化简整理得，
令，则，
则方程有两个不相等的实数根等价于关于的一元二次方程有两个大于且不相等的实数根，
所以，即或，
解得或.
所以的取值范围是．
21．（2024上·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）已知．
(1)当时，解不等式；
(2)若关于x的方程在区间内恰有一个实数解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数函数的性质直接解不等式即可；
（2）先转化方程为，利用二次函数的零点分布计算即可.
【详解】（1）当时，，
∵在上单调递增，∴，
解之得，∴不等式的解集为．
（2）关于的方程在区间恰有一个实数解，
化简方程得，
即方程在区间恰有一个实数解，
即方程在区间恰有一个实数解，且，
即方程区间恰有一个实数解，且，
故有，解得．
【强化精练】
一、单选题
22．（2024上·辽宁朝阳·高一建平县第二高级中学校考期末）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数的单调性，结合零点存在性定理判断选项即可.
【详解】因为在上为增函数，且，
，因为，所以，
所以的零点所在区间为.
故选：C.
23．（2024上·重庆·高一校联考期末）函数的交点所在的一个区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】构造函数，
因为函数都是增函数，
所以函数是增函数，
又，
所以函数的零点在内，
即函数的交点所在的一个区间是.
故选：B．
24．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数的零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】时，可以直接求出零点，时，通过图象即可得出零点个数，进而得出结果.
【详解】当时，
令，解得或（舍），
所以时，有一个零点；
当时，令，得，
作和图象如下，
所以时，有两个零点.
综上，共有3个零点.
故选：C
25．（2024上·上海·高一上海市进才中学校考期末）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）．
A．20% B．23% C．28% D．50%
【答案】B
【分析】由已知公式，将信噪比看作整体，分别取求出相应的值，再利用对数运算性质与换底公式变形求解增加率即可.
【详解】由题意，将信噪比从1000提升至5000，
则最大信息传递速率从增加至，
所以.
故选：B.
26．（2023上·湖南长沙·高一校联考期末）若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，函数在上有一个零点，在上有两个零点，求出这三个零点，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】当时，函数单调递增，则函数在上至多一个零点，
当时，函数至多两个零点，
因为函数有三个零点，则函数在上有一个零点，在上有两个零点，
当时，令，可得，必有，解得，
所以，，解得；
当时，由，可得或，
所以，，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：C.
27．（2024上·北京昌平·高一统考期末）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2 B．1或2 C．3 D．1或3
【答案】A
【分析】分段分析函数的取值集合，再分段确定的零点个数即可.
【详解】当时，函数在上单调递增，，显然，
而，即恒有，函数在上无零点；
当时，，函数取值集合为，
由，，得，解得或，在上有2个零点，
所以函数的零点个数为2.
故选：A
28．（2024上·上海嘉定·高一统考期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的应用寻找方程成立的条件，再利用数形结合求解参数即可.
【详解】若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，
则必有且同时成立，即图象夹在和之间，
易知，函数的图象大致如图，
结合图形可知的整数解只有两个，则其中一个为，另一个为，
所以，且，
解得，
故选：B
29．（2023上·福建三明·高一校联考期中）已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用分段函数表示出函数，利用函数零点的意义变形，构造函数并画出函数图象，数形结合求出的范围.
【详解】令函数，显然函数在上单调递增，
而，则当时，，当时，，
于是函数，则，
令函数，由，得，
因此函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标，
当，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，
如图，直线过点，它与的图象交于两点，当时，，
当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，
当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以函数有两个零点，实数的取值范围是.
故选：A
二、多选题
30．（2024上·辽宁铁岭·高一校考期末）某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:
则方程的近似解(精确度)可取为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】结合函数的性质及零点存在定理,利用二分法求解即可得到答案.
【详解】由函数在上单调递增，
要使得精确度为，结合表格可知：
，，
此时，
所以方程的近似解在区间内.
故选：AB.
31．（2023上·河南安阳·高一安阳一中校考期中）已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．函数有3个零点
D．当时，
【答案】AB
【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断A的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出和的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】因为当时，，则，
因为， 所以，
则，所以不成立，故A错误；
又函数为偶函数，
所以
，
故的周期为4，由函数的周期为4，则，，
所以，故选项B错误；
令可得，
作出函数和的图像如下图所示，
由图可知，两个函数图像有3个交点，故选项C正确；
当时，，则，
故选项D正确，
故选：AB.
32．（2023上·广东广州·高一广州市南武中学校考期末）已知函数，函数有四个不同的零点，且，则（ ）
A．的取值范围是 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用分段函数性质画出函数的图象，再结合函数与方程的思想可知函数与函数的图象有四个不同的交点，可得，即A错误；利用可得BC正确，再由基本不等式可得D正确.
【详解】画出函数的图象如下图（实线部分）所示：
函数有四个不同的零点，即函数与函数的图象有四个不同的交点，
结合图象可知，可得A错误；
又，根据图象可知，
即满足，因此，即，
所以，可得，即B正确；
由图易知是关于对称，所以，即C正确；
结合BC选项可知，
当且仅当，即时等号成立，但，故等号不成立，即D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：函数零点问题要充分利用函数与方程的基本思想，并充分利用数形结合画出函数图象，利用图象即可求得参数范围以及零点问题.
33．（2023上·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）已知函数函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则有3个零点 D．若，则有5个零点
【答案】ACD
【分析】对A：直接计算即可；对B：先求得或，再求值；对CD：先由求得，，再依次求的解.
【详解】对A：，，故A正确；
图1
对B：若，则或，
当时，或，
当时，由图1可知或，故B错误；
对C：若，由图1可知则或，
当时，由知只有一解，
当时，由图可知有两解，
故有3个零点，故C正确；
对D：若，，由图2知或或，
当时，只有一根，
当时，只有两根，
当时，只有两根，
所以共有5根，故D正确.
图2
故选：ACD
【点睛】方法点睛：求解个数方法：先得，再进一步由分别求出的个数，所有x的个数总和为方程解个数.
三、填空题
34．（2024上·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是 .
【答案】
【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足（精确度）确定即可.
【详解】设需要计算次，则满足，
即，由于，，
所以将区间等分的次数至少是次.
故答案为：.
35．（2024上·上海·高一校考期末）已知函数两个零点，一个大于2另一个小于2，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意可得关于的不等式组，求解得答案.
【详解】由函数两个零点，一个大于2另一个小于2，
所以 有两个不同的根，且一个根大于2另一个根小于2，
所以，
因为，
当时，只需，即，解得，
当时，只需，即，无解，
综上所述实数a的取值范围为.
故答案为：.
36．（2023上·福建泉州·高一校考期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为 ；若与有3个交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性求出函数的解析式即可，与图象交点有3个，画出图象并进行观察，求得实数的取值范围．
【详解】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；
②当时，，因为是奇函数，所以.
所以.
综上：.
（2）图象如下图所示：
由图象可知，要使方程与有三个交点，
只需，即.
故答案为： ；.
37．（2023上·吉林白山·高一统考期末）设，，若在上是增函数且在R上至少有3个零点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定单调区间及单调性，可得，再探讨函数的最小值，并由所在范围求出的根即可推理得解.
【详解】由在上是增函数，得，解得，
显然，，且当时，，
令，由，得，解得或，而，
由于在R上至少有3个零点，只需，又，解得；
当时，，符合题意，因此．
所以a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
四、解答题
38．（2024上·上海·高一上海中学校考期末）某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v（单位：）与该路段上的行车数量n（单位：辆）的关系为：，其中常数．该路段上每日t时的行车数量．已知某日17时测得的平均行车速度为．
(1)求实数k的值；
(2)定义，求一天内q的最大值（结果四舍五入到整数）．
【答案】(1)
(2)522．
【分析】（1）根据题意把17时测得的平均行车速度为代入函数解析式即可求出；
（2）根据分段函数求最值的方法，分别利用函数单调性求每段的最值，即可得出函数的最大值．
【详解】（1）由17时测得的平均行车速度为，
则，故
代入，可得，
解得．
（2）①当时，为增函数，
所以；
②当时，，
由函数在上递减，在,上递增，
且，当时，，当时，，
故．
综上可知，一天内车流量的最大值为522.
39．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数.
(1)当时，求函数的零点；
(2)当时，求不等式的解集.
【答案】(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）直接解二次方程即可得解；
（2）分类讨论的取值范围，解二次不等式即可得解.
【详解】（1）当时，，
令，得，解得或，
故的零点为或.
（2）因为，
当时，不等式可化为，解得；
当时，不等式可化为，
又，故解得或；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
40．（2023上·四川内江·高一四川省隆昌市第一中学校考期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表：
第天 1 2 5 10
（万件） 14 12 10.8 10.38
(1)给出以下两种函数模型：①，②，其中，为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式；
(2)若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的.
【答案】(1)选择模型②，
(2)当时函数取得最小值万元
【分析】（1）分别代入点，求出模型对应解析式，再结合点，判断拟合效果即可；
（2）先根据题意得到，分别利用基本不等式和函数的单调性求最值即可.
【详解】（1）若选择函数模型①，代入点，得，
得，无解，故函数模型①不符合题意；
若选择函数模型②，代入点，得，
解得，此时，
，，
故点在函数上，点近似在函数上，
故拟合效果较好，符合题意，
故函数模型②最为适合，，，
（2）由题意可知（单位：万元），
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，，
可判断此时函数单调递减，故当时取得最小值，
综上可知，当时函数取得最小值万元
41．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）已知函数的表达式为．
(1)求函数的零点；
(2)解不等式：；
(3)若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用单调函数至多一个零点这个知识点即可得出答案；
（2）利用对数运算法则计算即可；
（3）利用二次函数根与系数的关系以及判别式即可解题.
【详解】（1）设……①
……②
①代入②有：；
在定义域内单增至多一个零点；且注意到，
综上可知有唯一零点.
（2）……①
①式两边开方有：……②
又……③
②③取交集为：，
即不等式的解为；
（3）若关于x的方程只有一个实根；
即……④
……⑤
作变量代换令……⑥
将⑥式代入⑤式有：……⑦；
当时⑦式为一次函数，解得不在定义域内，故不满足题意，
当时，
当时方程有唯一解，或；
当时，代入⑦式，解得，不在定义域内，故舍去；
当时，代入⑦式，解得，在定义域内，故满足题意.
当时，方程⑦有两个解，但只需要保证有一个根在定义域，而另一个根不在定义域，则此时的即可满足题意；
设方程⑦有两个根；
由分析可知：……⑧
由韦达定理可知：……⑨
联立⑧⑨可得：.
综上可得的取值范围为：.
42．（2023上·广东广州·高一广州市南武中学校考期末）已知函数，且.
(1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，且在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由奇偶性、单调性定义判断为奇函数且单调递增，再由奇函数、单调性及恒成立有恒成立，进而求参数范围；
（2）由题设得，令，则，应用指数幂运算性质有，进而将问题化为在上无零点求参数范围.
【详解】（1）由且定义域为R，即为奇函数，
由，结合指数函数及复合函数单调性知：在定义域上单调递增，
所以，
则，即恒成立，
故，可得.
（2）由且，可得，即，
令且，则，
而，即，
所以，
所以，
问题化为在上恰有一个零点，
即在上无零点，故，
由，则，只需或，
【点睛】关键点点睛：第二问，令，运用指数幂运算得到，并将问题化为在上无零点.
43．（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知函数．
(1)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
(2)试讨论函数的零点的个数．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）问题化为对恒成立，利用二次函数性质求右侧最大值，即可得参数范围；
（2）问题化为和的图象的交点个数，数形结合判断零点个数.
【详解】（1）当时，，不等式恒成立等价于恒成立，
则有对恒成立，而，故．
（2）令，可得，
函数的零点个数，即和的图象的交点个数，
在同一坐标系中作出函数的图象（如图）．
结合图象知，
①当或时，函数有一个零点；
②当时，函数有两个零点；
③当时，函数有三个零点．
44．（2024上·山东济南·高一济南三中校考期末）已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设.
(1)求实数m，n的值；
(2)若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由，可判断函数在时的单调性，求得最值，由题意列方程即可求得实数m，n的值.
（2）将的解析式代入中求得的解析式，再代入中，令，化为关于的一元二次方程，根据题意即可求得实数a的取值范围.
【详解】（1）由可知，函数关于对称，
又，所以函数在单调递增，
可得，即，
解得，.
（2）易知，
所以即为，
可化为，
令，即；
则关于x的方程有四个不同的实数解等价为于关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，，
需满足，解得；
所以实数a的取值范围为.第05讲：:函数的零点和函数的模型
【考点梳理】
考点一：函数零点存在定理 考点二：用二分法求函数f(x)零点近似值
考点三：函数的零点所在区间求参数问题 考点四：零点的个数或根个数求参数范围
考点五：零点的分布问题 考点六：函数模型的应用
考点七：函数和方程的综合问题
【知识梳理】
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
【题型归纳】
题型一：函数零点存在定理
1．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知，则的零点所处的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）函数的零点所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．
题型二：用二分法求函数f(x)零点近似值
4．（2023上·江苏苏州·高一张家港市沙洲中学校考期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
-1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483
要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次0.7 B．6次0.6
C．5次0.7 D．5次0.6
6．（2023上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间（ ）
A． B．
C． D．
题型三：函数的零点所在区间求参数问题
7．（2023下·河南信阳·高一统考期末）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021上·广东广州·高一统考期末）设函数，若函数在上存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：零点的个数或根个数求参数范围
10．（2024上·北京海淀·高一统考期末）已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·全国·高一期末）已知函数，若方程仅有两个不同的根，则的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
12．（2024上·湖南郴州·高一安仁县第一中学校联考期末）若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：零点的分布问题
13．（2023上·北京石景山·高一校考期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知函数若关于的方有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023上·江苏南京·高一统考期末）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六：函数模型的应用
16．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（ ）（参考数据：）
A． B．
C． D．
17．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
18．（2024上·甘肃定西·高一统考期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）（参考数据：）
A．8370年 B．8330年 C．3850年 D．3820年
题型七：函数和方程的综合问题
19．（2024上·云南迪庆·高一统考期末）绿水青山就是金山银山，“两山”的转换不仅发生在青山绿水之间，在生产生活中更应该注重对环境的保护．为了减少工厂废气排放的影响，工厂可以采用一些技术来减少废气排放，也可以改变生产工艺来减少废气排放，某工厂产生的废气经过滤，后排放、过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位．h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前5h消除了的污染物，那么
(1)10h后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少需要花多少时间（精确到）？
(3)画出P关于t变化的函数图象．
20．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1.
(1)求的值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
21．（2024上·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）已知．
(1)当时，解不等式；
(2)若关于x的方程在区间内恰有一个实数解，求实数a的取值范围．
【强化精练】
一、单选题
22．（2024上·辽宁朝阳·高一建平县第二高级中学校考期末）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
23．（2024上·重庆·高一校联考期末）函数的交点所在的一个区间是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数的零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
25．（2024上·上海·高一上海市进才中学校考期末）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）．
A．20% B．23% C．28% D．50%
26．（2023上·湖南长沙·高一校联考期末）若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2024上·北京昌平·高一统考期末）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2 B．1或2 C．3 D．1或3
28．（2024上·上海嘉定·高一统考期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．（2023上·福建三明·高一校联考期中）已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
30．（2024上·辽宁铁岭·高一校考期末）某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:
则方程的近似解(精确度)可取为（ ）
A． B． C． D．
31．（2023上·河南安阳·高一安阳一中校考期中）已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．函数有3个零点
D．当时，
32．（2023上·广东广州·高一广州市南武中学校考期末）已知函数，函数有四个不同的零点，且，则（ ）
A．的取值范围是 B．
C． D．故选：BCD
33．（2023上·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）已知函数函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则有3个零点 D．若，则有5个零点
三、填空题
34．（2024上·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是 .
35．（2024上·上海·高一校考期末）已知函数两个零点，一个大于2另一个小于2，则实数a的取值范围为 ．
36．（2023上·福建泉州·高一校考期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为 ；若与有3个交点，则实数的取值范围是 .
37．（2023上·吉林白山·高一统考期末）设，，若在上是增函数且在R上至少有3个零点，则a的取值范围是 ．
四、解答题
38．（2024上·上海·高一上海中学校考期末）某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v（单位：）与该路段上的行车数量n（单位：辆）的关系为：，其中常数．该路段上每日t时的行车数量．已知某日17时测得的平均行车速度为．
(1)求实数k的值；
(2)定义，求一天内q的最大值（结果四舍五入到整数）．
39．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数.
(1)当时，求函数的零点；
(2)当时，求不等式的解集.
40．（2023上·四川内江·高一四川省隆昌市第一中学校考期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表：
第天 1 2 5 10
（万件） 14 12 10.8 10.38
(1)给出以下两种函数模型：①，②，其中，为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式；
(2)若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的.
41．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）已知函数的表达式为．
(1)求函数的零点；
(2)解不等式：；
(3)若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围．
42．（2023上·广东广州·高一广州市南武中学校考期末）已知函数，且.
(1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，且在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.
43．（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知函数．
(1)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
(2)试讨论函数的零点的个数．
44．（2024上·山东济南·高一济南三中校考期末）已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设.
(1)求实数m，n的值；
(2)若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数a的取值范围.
