第07讲：三角函数与y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质
【考点梳理】
考点一：正弦函数图像和性质
考点二：余弦函数的图像和性质
考点三：正切函数的图像和性质
考点四：正（余）型函数图像的平移伸缩变换
考点五：求图像变化前后的解析式
考点六：三角函数性质的综合问题
考点七：函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合性问题
【知识梳理】
知识一．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
知识二．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}
值域 [－1,1] [－1,1] R
单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增
最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z)
对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
周期 2π 2π π
知识三．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
知识四：.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
知识五.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：
技巧归纳：
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
【题型归纳】
题型一：正弦函数图像和性质
1．（2023下·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）已知函数在区间内是减函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数的单调性运算即可得解.
【详解】解：∵在区间内是增函数，
而在区间内是减函数，
∴.
∵，∴，
∴，解得：.
综上，.
故选：B.
2．（2023上·全国·高一期末）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的单调递增区间是
B．图象的一条对称轴方程是
C．图象的对称中心是，
D．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象
【答案】B
【分析】根据函数图像易得，，从而可得出，再将点代入求得，从而得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质逐一判断即可得出答案.
【详解】由图像可得，，，
，将点代入可得，又，，所以函数，
令，解得，，
故函数的增区间为，，故A错误；
由，所以是函数的一条对称轴，故B正确；
令，解得，所以函数的对称中心为，，故C错误；
将函数的图像向左平移个单位，得到，该函数为偶函数，故D错误.
故选：B.
3．（2024上·四川成都·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦函数的单调性，列出不等式求解，即可得答案；
（2）根据，确定，结合正弦函数的性质，即可求得答案.
【详解】（1）令，则的单调递增区间为，
故，解得，
故函数的单调递增区间为；
（2）因为，故，
则，故，
即的值域为.
题型二：余弦函数的图像和性质
4．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．是函数的一个周期
B．函数的对称轴是
C．函数取最大值时自变量的集合为
D．函数的单调递增区间是
【答案】B
【分析】利用最小正周期计算公式可判断A；采用整体替换法，分别考虑对称轴、最大值时的取值、单调递增区间的公式，由此可判断BCD.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：令，则，故B正确；
对于C：令，则，
所以取最大值时的取值集合为，故C错误；
对于D：令，解得，
所以单调递增区间是，故D错误；
故选：B.
5．（2023上·全国·高一期末）已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数在区间内单调递减，可得，则有，然后求出的单调递减区间，再结合已知列不等式组可求出结果.
【详解】因为在区间内单调递减，
所以，得,
所以，所以，
由，，得，，
得，，
所以函数的单调递减区间为 （），
因为函数在区间内单调递减，
所以（），
解得，，
因为，所以，得，
所以，
故的取值范围为 .
故选：B
6．（2022上·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数
(1)求函数的最小正周期及在上的最大值和最小值
(2)求函数的单调递增区间和单调递减区间
【答案】(1)，最大值为，最小值
(2)单调递增区间是，单调递减区间是
【分析】（1）利用最小正周期公式计算即可求得函数最小正周期，由，得，借助余弦函数图像即可求解；
（2）将看作整体，借助余弦函数性质建立不等式，计算即可求解.
【详解】（1），
，
当，即时，，
当，即时，，
所以，的最大值为，最小值.
（2）由余弦函数性质可得：
当时，单调递增,解得，
所以，的单调递增区间是，
当时，单调递减，解得，
所以，的单调递减区间是.
题型三：正切函数的图像和性质
7．（2024上·甘肃·高一统考期末）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上是增函数
C．函数的图象关于直线对称
D．函数是奇函数
【答案】C
【分析】根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得.
【详解】对于A，由于，，因此，A错误；
对于B，当时，，则函数在区间上是减函数，B错误；
对于C，，
因此函数的图象关于直线对称，C正确；
对于D，由于，因此函数是偶函数，不是奇函数，D错误.
故选：C
8．（2023下·贵州遵义·高一统考期中）不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据图像和周期性直接求解.
【详解】由题意得，，
得.
故选：C
9．（2023下·辽宁抚顺·高一校联考期中）已知函数的最小正周期为，
(1)求图象的对称中心；
(2)求不等式在上的解集．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据函数的周期公式求出，然后利用正切函数的对称性进行求解即可．
（2）根据正切函数的性质解不等式即可．
【详解】（1）由，得．由，得，
所以图象的对称中心为．
（2）由，得,
由，得，
所以，得，
故不等式在上的解集为．
题型四：正（余）型函数图像的平移伸缩变换
10．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】根据函数图象平移的规则直接判断.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象.
故选：A
11．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】A
【分析】根据诱导公式化简可得，进而变换得出，即可得出答案.
【详解】因为，
且，
所以，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
故选：A.
12．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
【答案】C
【分析】，利用伸缩变换与平移变换由的图象得到的图象.
【详解】因为，将的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，
再向左平移个单位长度得，即得到函数的图象.
故选：C
题型五：求图像变化前后的解析式
13．（2024上·陕西榆林·高一统考期末）已知函数，将函数的图像沿着轴向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的平移变换，可得平移后的函数解析式，即得答案.
【详解】因为函数的图像沿着轴向左平移个单位长度，
所以，.
故选：D.
14．（2023上·甘肃酒泉·高一统考期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据平移求出平移后的函数解析式，利用函数相等可求答案.
【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到的解析式为，
由题意，
所以，，即，.
因为，所以.
故选：B.
15．（2024上·天津和平·高一统考期末）将函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再沿轴向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为.关于函数，现有如下命题：
①函数的图象关于点对称；
②函数在上是增函数：
③当时，函数的值域为；
④函数是奇函数.
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据给定变换求出函数的解析式，再逐项判断即可.
【详解】依题意，，
对于①，，因此函数的图象关于点不对称，①错误；
对于②，当时，，而函数在是增函数，
因此函数在上是增函数，②正确；
对于③，当时，，，因此函数的值域为，③正确；
对于④，显然函数是偶函数，不是奇函数，④错误，
所以真命题的个数为2.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.
题型六：三角函数性质的综合问题
16．（2024上·江苏盐城·高一校联考期末）函数的最小正周期是，且当时，取得最大值
(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围
【答案】(1)，单调递增区间为：，
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得，利用整体代入法求得的单调递增区间.
（2）通过求在区间上的最小值来求得的取值范围.
【详解】（1）的最小正周期为，所以，
当时，取得最大值，所以，
且，
所以，所以.
由解得，
所以单调递增区间为：，.
（2）若，则，
所以在区间上，当时，取得最小值为，
依题意，存在，使得成立，所以.
17．（2024上·湖南岳阳·高一统考期末）已知.
(1)求的最小正周期及单调增区间；
(2)当时，求函数的最大值和最小值并求相应的值.
【答案】(1)，
(2)当时，函数的最大值为2；当时，函数的最小值为.
【分析】（1）根据公式计算即可求解函数的最小正周期；利用整体代换法计算即可求解函数的单调区间；
（2）由题意可知，即可求解函数的最值.
【详解】（1）由题意，可知：最小正周期，
由正弦函数的性质，可知：
函数的单调增区间为，，
化简，得，，
函数的单调增区间为.
（2）当时，，
当即时，取最大值为1，故的最大值为2，
当即时，取最小值为，故的最小值为.
18．（2024上·天津滨海新·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的单调递减区间；
(3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）应用诱导公式、倍角正弦公式及辅助角公式化简函数式，进而求最小正周期；
（2）令，结合正弦函数性质求递减区间；
（3）问题化为在上有解，令，，再结合二次函数性质求参数范围.
【详解】（1）
，
由，则的最小正周期为.
（2）由（1）知，设，，所以，
又在的单调递减区间是，
由，得，所以在上的单调递减区间是.
（3）由（2）知，所以.
函数在上存在零点，
即在上有解.
由（2）知在，上单调递增，在上单调递减.
在上，.
令，，则，
所以，解得，所以实数的取值范围为.
题型七：函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合性问题
19．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及其图象的对称轴所在直线的方程；
(2)先把函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先由函数的部分图象求出解析式，再根据解析式求出对称轴所在直线的方程；
（2）先由平移得到的解析式，再求出时的取值范围即可.
【详解】（1）由题意可得，可得，所以.
因为，所以，可得，所以.
由，可得.
因为，所以，
所以.
令，可得，
所以其图象的对称轴所在直线的方程为.
（2）由题意可得，
当时，.
若关于的方程有实数根，则有实根，
所以，可得.所以实数的取值范围为.
20．（2024上·全国·高一期末）已知函数．
(1)判断函数在上的单调性；
(2)将函数的图象向右平移个周期后得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
【答案】(1)在单调递增，在单调递减
(2)
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式变形，再求其单调性即可；
（2）先做平移变换，再利用正弦函数的单调性求值域即可.
【详解】（1）原式，
令，解得，
又因为，可得函数的递增区间为，递减区间为，
所以函数在单调递增，在单调递减.
（2）因为，周期，
向右平移个周期后得到函数的图象，则，
因为，
所以
21．（2024上·全国·高一期末）已知函数的相邻两对称轴间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到函数的图象，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简解析式，根据的对称轴求出周期从而求出，进而求得的解析式.
（2）根据三角函数图象变换求得，由，求得，，
然后构造方程组结合余弦的二倍角公式，即可求解.
【详解】（1）由题意知：，
且可得的周期，得：，
所以：，
故：.
（2）由题意得：，
因为：，所以：，得：，
因为：，所以：，由，
所以：，
所以：
故：.
【强化精练】
一、单选题
22．（2024上·重庆·高一校联考期末）函数①，②，③中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是（ ）
A．② B．①② C．①③ D．②③
【答案】D
【分析】对三个函数化简后分别判断周期及奇偶性即可.
【详解】对于①，，周期为，但不是奇函数；
对于②，周期为；
又故符合题意；
对于③，，
周期为；
又故符合题意.
故选：D
23．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由同角三角函数基本关系及二次函数的性质即可得.
【详解】因为，
由，故，
即.
故选：B.
24．（2024上·甘肃定西·高一统考期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象的平移可得表达式，即可根据偶函数的性质求解.
【详解】由题意可得，
由于的图象关于轴对称，故为偶函数，所以,
故，由于，所以的最小值，
故选：C
25．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】综合应用三角函数的图象与性质即可解决.
【详解】由题意，函数，可得函数的周期为.
因为，所以.
由函数在区间上有且仅有一个零点，
得，且，即，且.
当时，，解得，所以；
当时，，解得，所以；
当时，，解得，此时解集为空集.
综上，实数的取值范围为.
故选：A.
26．（2024上·天津滨海新·高一统考期末）把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象所对应的函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图象变换过程写出函数的解析式即可.
【详解】所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则.
故选：A
27．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）已知函数.给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】根据正弦函数的性质判断．
【详解】最小正周期是，①正确；
，，②错；
把函数的图象上所有点向左平移个单位长度得函数解析式为，③错，
故选：A．
28．（2024上·全国·高一期末）为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】化简函数的解析式，再根据函数的平移变换法可得函数的变换情况.
【详解】由已知，
设将函数向左平移个单位，得，
所以，解得，
即将函数向左平移个单位长度可得，
故选：D.
29．（2023上·全国·高一期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图像确定，根据三角函数平移确定，再确定，根据零点得到，解得答案.
【详解】的最小正周期为T，由题图可得，，所以，
，，得，，又，所以，
所以．
将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，
再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，故．
当时，，
因为在上恰有3个零点，所以，得，
故选：C．
二、多选题
30．（2024上·甘肃·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
【答案】BD
【分析】根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为，结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解.
【详解】解：根据函数的部分图象，
可得，可得，
由，解得，所以，
对于A中，当，可得，
所以不是函数的对称中心，所以A错误；
对于B中，当时，可得，即函数的最小值，
所以函数的图象关于直线对称，所以B正确；
对于C中，当，可得，
根据余弦函数的性质，可得在函数在先减后增，所以C不正确；
对于D中，将函数该图象向右平移个单位，
可得的图象，所以D正确.
故选：BD.
31．（2024上·广东广州·高一统考期末）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．不等式的解集是
C．函数，的最小值为
D．若，且，则
【答案】ACD
【分析】利用弦化切可判断A；根据正切函数的图象与性质可判断B；利用换元法转化为二次函数的最小值问题可判断C；根据和得到和，再利用诱导公式可判断D.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，的解集为，故B错误；
对于C，当时，令，，
，当时，，故C正确；
对于D，若，则，
，，
，且，
解得，
.
故选：ACD
32．（2024上·甘肃庆阳·高一校考期末）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．是的最大值
C．把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象
D．是函数的零点
【答案】AC
【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由函数，所以周期，所以A正确；
对于B中，由，所以B不正确；
对于C中，将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，所以C正确；
对于D中，由，所以D错误.
故选：AC.
33．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．相位为
B．对称中心为，
C．函数的单调递减区间是，
D．将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象
【答案】AD
【分析】求解正弦型函数的对称轴，对称中心及单调性时，一般都要把相位看成整体，再利用正弦函数在一个周期上的相关性质解决；对于图象平移伸缩变换，要弄清对图像的影响即得.
【详解】对于A选项，根据简谐运动的相关定义可知即相位，故A项正确；
对于B选项，对于函数，由可得：
即其对称中心为，故B项错误；
对于C选项，由可得：，
即函数的单调递减区间应是，故C项错误；
对于D选项，将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，故D项正确.
故选：AD.
34．（2023上·湖南衡阳·高一校考期末）已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数在区间上单调递减
C．
D．函数在区间内的零点个数为3
【答案】CD
【分析】确定，得到函数解析式，取，计算得到A错误，取，计算得到B错误，确定解析式得到C正确，计算零点得到D正确，得到答案.
【详解】对于选项A：，，令，，
解得，，故函数的图象关于直线，对称，错误；
对于选项B：令，，得，，
函数的单调递减区间为，，错误；
对于选项C：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，正确；
对于选项D：令，，得，，
函数在区间内的零点有，，，共3个，正确．
故选：CD．
三、填空题
35．（2024上·北京丰台·高一统考期末）已知，则 ，的最小值为 .
【答案】
【分析】由已知直接代入求解即可得；先利用同角三角函数的关系将已知式子变形，利用换元法结合二次函数求得最小值.
【详解】，
，
令，则，
函数对称轴为 ，又，
所以当时，有最小值，
所以的最小值为.
故答案为：；.
36．（2024上·重庆·高一重庆八中校考期末）已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式可得，讨论余弦函数的单调性求得当且时函数图象与直线有2个交点，即可求解.
【详解】，
由，得，
设，则当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，所以，
得，要使方程在上有2个实根，
则函数图象与直线在上有2个交点，
当且，即时，函数图象与直线有2个交点，
所以，解得，
即实数a的取值范围为.
故答案为：
37．（2023上·江苏·高一期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式可以是 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数图象得到，从而求出，结合特殊点的函数值得到，得到的解析式，再根据平移变换和伸缩变换得到的解析式.
【详解】由函数的图象可得：，
可得，解得，
则
∵函数的图象过点，则，即，
由，可得，故，解得，
故，
将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，得到，
再向左平移个单位长度，得到.
故答案为：（答案不唯一）
38．（2023下·上海闵行·高一校考期中）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为 .
【答案】
【分析】根据函数的对称性求出的值，利用图象变换关系求出，构造函数，将条件转化为当,，为增函数，利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】一个对称中心是，
，，即，，
，当时，，即，
将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，
即，
由，得，
设，则不等式等价为当时，，
即若对任意,，为增函数．
，
当,时，,，所以,，
因为对任意,，为增函数，
所以，所以，所以，
即的最大值为．
故答案为：．
39．（2023下·内蒙古阿拉善盟·高一统考期末）已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得函数图象的一条对称轴方程是，则的值为 ．
【答案】0
【分析】根据函数的最小正周期求出，求出图象平移、伸缩变化后的解析式，再由对称轴方程可得答案.
【详解】因为函数的最小正周期为，
所以，，
将函数的图象向左平移个单位长度，
可得，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得，
因为所得函数图象的一条对称轴方程是，
所以，可得，
因为，所以.
故答案为：0.
四、解答题
40．（2024上·北京大兴·高一统考期末）已知函数，.
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
【答案】(1)，.
(2)最小值为，最大值为.
【分析】（1）由三角恒等变换化简原函数，再用周期公式计算周期和正弦函数的单调区间求出函数的单调增区间.
（2）由正弦函数的单调性求出最值即可.
【详解】（1）因为
所以的最小正周期.
函数的单调递增区间为.
由，
得.
所以的单调递增区间为.
（2）因为，所以.
当，即时，取得最小值.
当，即时，取得最大值.
所以在区间上的最小值为，最大值为.
41．（2024上·天津河西·高一统考期末）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值及取得最大值时自变量的集合；
(3)求在的单调区间．
【答案】(1)
(2)1；
(3)增区间为，减区间为.
【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简表达式，结合正弦函数的周期公式，即可得答案；
（2）结合正弦函数的最大值以及取得最大值时x的取值，即可得答案；
（3）根据x的范围，确定的范围，结合正弦函数的单调性，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得
,
故的最小正周期为；
（2）由，由于的最大值为1，
故的最大值为，此时，
即，即x的集合为，
（3）当时，，
故当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减，
即在上的单调增区间为，减区间为.
42．（2024上·江苏苏州·高一统考期末）已知函数（，）的图象过点，且相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数的图象的所有对称轴方程；
(2)若将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求，的单调递减区间.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对称轴距离得到周期，则求出，再将点代入即可得到解析式，最后写出对称轴通式，解出即可；
（2）先根据平移的原则得到平移后的解析式，再写出单调减区间的通式，解出不等式，对合理赋值即可.
【详解】（1）因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期为，即，由，解得.
因为的图象过点，所以，
又因为，所以，即，
所以.
令，得，
即图象的对称轴方程为.
（2）由题意得，
令，得，
令，得和，
所以的单调递减区间为.
43．（2024上·天津和平·高一统考期末）已知函数，
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)若函数在上最大值与最小值的和为，求实数的值.
【答案】(1)，对称轴方程为，.
(2)，；
(3).
【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的余弦公式进行化简为正弦型函数，进而求得最小正周期和对称轴方程；
（2）根据题意得到不等式组，解出即可.
（3）当时，，再求出的最大值与最小值，然后列出方程求得的值．
【详解】（1）函数
，
函数的最小正周期为：，
令，，解得，，
则对称轴方程为，.
（2）令，，
解得：，，
函数的单调递减区间为：，；
（3）当时， ，
令或，解得：或，
此时函数取得最小值为：，
令，解得：，
此时函数取得最大值为：，
又的最大值与最小值的和为，所以有：
，解之得：.
44．（2024上·吉林·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)将函数的图象上所有点向上平移个单位得到曲线，再将上的各点纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．若，，不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用二倍角及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求解即得.
（2）利用给定变换求出及在上的最小值，再利用关于的一次函数列出不等式组求解即得.
【详解】（1）依题意，，
所以函数的最小正周期；
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）曲线所对函数解析式为，因此，
当时，，
则当或，即当或时，，
，不等式成立，
只需，即，
依题意，成立，
令，于是，即，解得，
所以的取值范围为.
45．（2023上·全国·高一期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程;
(2)解关于x的不等式;
(3)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域.
【答案】(1)，单调递增区间为；对称轴
(2)
(3)
【分析】（1）应用两角和的正弦公式及二倍角公式化简得，应用整体代入法即可求解单调区间与对称轴；
（2）结合函数图像解不等式；
（3）应用换元法求值域;
【详解】（1）
，
函数的最小正周期.
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
令，解得，
所以的对称轴方程为.
（2）即，
所以，解得.
（3）由题知，
则
，
令，则，
当时，;当时，.
综上可知所求值域为.第07讲：三角函数与y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质
【考点梳理】
考点一：正弦函数图像和性质 考点二：余弦函数的图像和性质
考点三：正切函数的图像和性质 考点四：正（余）型函数图像的平移伸缩变换
考点五：求图像变化前后的解析式 考点六：三角函数性质的综合问题
考点七：函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合性问题
【知识梳理】
知识一．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
知识二．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}
值域 [－1,1] [－1,1] R
单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增
最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z)
对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
周期 2π 2π π
知识三．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
知识四：.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
知识五.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：
技巧归纳：
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
【题型归纳】
题型一：正弦函数图像和性质
1．（2023下·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）已知函数在区间内是减函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·全国·高一期末）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的单调递增区间是
B．图象的一条对称轴方程是
C．图象的对称中心是，
D．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象
3．（2024上·四川成都·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在上的值域.
题型二：余弦函数的图像和性质
4．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．是函数的一个周期
B．函数的对称轴是
C．函数取最大值时自变量的集合为
D．函数的单调递增区间是
5．（2023上·全国·高一期末）已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022上·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数
(1)求函数的最小正周期及在上的最大值和最小值
(2)求函数的单调递增区间和单调递减区间
题型三：正切函数的图像和性质
7．（2024上·甘肃·高一统考期末）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上是增函数
C．函数的图象关于直线对称
D．函数是奇函数
8．（2023下·贵州遵义·高一统考期中）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023下·辽宁抚顺·高一校联考期中）已知函数的最小正周期为，
(1)求图象的对称中心；
(2)求不等式在上的解集．
题型四：正（余）型函数图像的平移伸缩变换
10．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
11．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
12．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
题型五：求图像变化前后的解析式
13．（2024上·陕西榆林·高一统考期末）已知函数，将函数的图像沿着轴向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023上·甘肃酒泉·高一统考期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2024上·天津和平·高一统考期末）将函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再沿轴向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为.关于函数，现有如下命题：
①函数的图象关于点对称；②函数在上是增函数：
③当时，函数的值域为；④函数是奇函数.
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型六：三角函数性质的综合问题
16．（2024上·江苏盐城·高一校联考期末）函数的最小正周期是，且当时，取得最大值
(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围
17．（2024上·湖南岳阳·高一统考期末）已知.
(1)求的最小正周期及单调增区间；
(2)当时，求函数的最大值和最小值并求相应的值.
18．（2024上·天津滨海新·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的单调递减区间；
(3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围.
题型七：函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合性问题
19．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及其图象的对称轴所在直线的方程；
(2)先把函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
20．（2024上·全国·高一期末）已知函数．
(1)判断函数在上的单调性；
(2)将函数的图象向右平移个周期后得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
21．（2024上·全国·高一期末）已知函数的相邻两对称轴间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到函数的图象，若，，求的值．
【强化精练】
一、单选题
22．（2024上·重庆·高一校联考期末）函数①，②，③中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是（ ）
A．② B．①② C．①③ D．②③
23．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）函数的值域是（ ）
A． B．C． D．
24．（2024上·甘肃定西·高一统考期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
25．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
26．（2024上·天津滨海新·高一统考期末）把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象所对应的函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）已知函数.给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
28．（2024上·全国·高一期末）为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
29．（2023上·全国·高一期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
二、多选题
30．（2024上·甘肃·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减D．该图象向右平移个单位可得的图象
31．（2024上·广东广州·高一统考期末）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．不等式的解集是
C．函数，的最小值为D．若，且，则
32．（2024上·甘肃庆阳·高一校考期末）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．是的最大值
C．把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象
D．是函数的零点
33．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．相位为
B．对称中心为，
C．函数的单调递减区间是，
D．将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象
34．（2023上·湖南衡阳·高一校考期末）已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数在区间上单调递减
C．
D．函数在区间内的零点个数为3
三、填空题
35．（2024上·北京丰台·高一统考期末）已知，则 ，的最小值为 .
36．（2024上·重庆·高一重庆八中校考期末）已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为 .
37．（2023上·江苏·高一期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式可以是 .
38．（2023下·上海闵行·高一校考期中）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为 .
39．（2023下·内蒙古阿拉善盟·高一统考期末）已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得函数图象的一条对称轴方程是，则的值为 ．
四、解答题
40．（2024上·北京大兴·高一统考期末）已知函数，.
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
41．（2024上·天津河西·高一统考期末）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值及取得最大值时自变量的集合；
(3)求在的单调区间．
42．（2024上·江苏苏州·高一统考期末）已知函数（，）的图象过点，且相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数的图象的所有对称轴方程；
(2)若将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求，的单调递减区间.
43．（2024上·天津和平·高一统考期末）已知函数，
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)若函数在上最大值与最小值的和为，求实数的值.
44．（2024上·吉林·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)将函数的图象上所有点向上平移个单位得到曲线，再将上的各点纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．若，，不等式成立，求实数的取值范围．
45．（2023上·全国·高一期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程;
(2)解关于x的不等式;
(3)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域.
