新课第01讲：:平面向量的概念
【考点梳理】
考点一：平面向量的概念 考点二：向量的模
考点三：零向量和单位向量 考点四：相等向量和平行（共线）向量
考点五：平面向量的综合问题
【知识梳理】
知识点一 向量的概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.
知识点二 向量的几何表示
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||.
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，).
知识三：.模、零向量、单位向量
向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
知识四： 相等向量与共线向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.
(2)规定：零向量与任意向量平行.
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
【题型归纳】
题型一：平面向量的概念
1．（2023下·山西阳泉·高一阳泉市第十一中学校校考期中）下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴 y轴都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；
（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；
（4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.
故选：A.
2．（2020下·高一课时练习）下列命题中正确的个数是
①向量就是有向线段 ②零向量是没有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正实数
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】根据平面向量的基本概念，对每一个命题进行分析、判断即可．
【详解】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；
零向量有方向，其方向是任意的，故②错，③正确；
零向量的模等于0，故④错.
故选：B.
【点睛】本题考查了平面向量的基本概念的应用问题，属于基础题．
3．（2020·高一课时练习）下列结论正确的是
A．单位向量的方向相同或相反 B．对任意向量,总是成立的
C． D．若,则一定有直线
【答案】C
【解析】根据向量的概念与性质分析即可.
【详解】单位向量的长度为1,方向任意,故A错;零向量的模为零,故B错;与方向相反,但模相等,故C正确;直线与可能重合,故D错,
故选：C.
题型二：向量的模
4．（2022下·陕西渭南·高一统考期末）设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【分析】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案.
【详解】解：因为，，
所以，即，，
所以四边形是平行四边形，
因为，即，
所以四边形是菱形.
故选：B
5．（2021下·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．向量的模是一个正实数
【答案】A
【分析】根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误.
【详解】A：与的长度相等，方向相反，正确；
B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；
C：零向量的方向任意，故错误；
D：向量的模是一个非负实数，故错误.
故选：A
6．（2021下·高一课时练习）若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④
【答案】D
【分析】根据向量模的概念可判断①；利用向量共线的定义可判断②；利用向量模的概念可判断③、④；根据单位向量的概念可判断⑤.
【详解】①｜｜＞｜｜不正确，是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；
②∥，则与为共线向量，故不正确；
③，向量的模长是非负数，故正确；
④｜｜=1，故正确；
⑤是单位向量，是单位向量，两向量方向不一定相同，故不正确.
故选：D.
题型三：零向量和单位向量
7．（2022下·高一校考课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．零向量的长度为0
D．任意两个单位向量方向相同
【答案】C
【分析】根据零向量和单位向量的概念求解.
【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.
故选：C.
8．（2021下·高一课时练习）设非零向量，若，则的取值范围为（ ）
A．[0，1] B．[0，2]
C．[0，3] D．[1，2]
【答案】C
【分析】根据单位向量、向量加法等知识确定正确答案.
【详解】因为是三个单位向量，
因此，当三个向量同向时，取得最大值为；
当三个向量两两成角时，它们的和为，也即的最小值为，
所以的取值范围为.
故选：C
9．（2020上·安徽六安·高一六安一中校考期末）下列说法不正确的是（ ）
A．平行向量也叫共线向量
B．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合
C．若为非零向量，则是一个与同向的单位向量
D．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同
【答案】D
【解析】根据共线向量的定义判断AB；由的模长为，得出是一个与同向的单位向量；举例排除D.
【详解】由于任一组平行向量都可以平移到一条直线上，则平行向量也叫共线向量，A正确；
两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合，由共线向量的定义可知，B正确；
的模长为，，则是一个与同向的单位向量，C正确；
从同一点出发的两个相反向量，有共同的起点且模长相等，但终点不同，D错误；
故选：D
题型四：相等向量和平行（共线）向量
10．（2023下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】B
【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误；
对于B，若，则反向，，B正确；
对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误；
对于D，当时，，，此时未必共线，D错误.
故选：B.
11．（2023下·陕西西安·高一校考阶段练习）下列各命题中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．与非零向量共线的单位向量是
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若，则
【答案】C
【分析】利用平面向量概念可判断AD选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用共线向量的定义可判断C选项.
【详解】对于A选项，若，则、的方向关系无法确定，A错；
对于B选项，与非零向量共线的单位向量是，B错；
对于C选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量，C对；
对于D选项，若，但向量、不能比大小，D错.
故选：C.
12．（2023·高一课时练习）给出下列3个命题，①相等向量是共线向量；（2）若与不相等，则向量与是不共线向量；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据相等向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故相等向量一定是共线向量，即①正确；
若与不相等，则向量与也可以共线，只要与模不同即可，故②错误；
平行于同一个向量的两个向量不一定是共线向量，如，，，
此时，，但是与不一定共线，故③错误；即真命题只有个.
故选：B
题型五：平面向量的综合问题
13．（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形ABCDEF的中心，在下图所标出的向量中：
(1)找出与相等的向量；
(2)找出几组相反向量．
【答案】(1)
(2)与，与，与
【分析】（1）根据相等向量定义判断选择即可；
（2）根据相反向量定义判断选择即可.
【详解】（1）与方向相同且长度相等，故．
（2）与，与，与方向相反且长度相等分别互为相反向量．
14．（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：
(1)试找出与共线的向量；
(2)确定与相等的向量；
(3)与相等吗？
【答案】(1)和；
(2)；
(3)不相等.
【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用正六边形的性质，结合共线向量、相等向量的意义判断作答.
【详解】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和.
（2）由于与长度相等且方向相同，所以.
（3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等.
15．（2021下·高一课时练习）如图，四边形和四边形都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与向量共线的向量．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；
（2）根据共线向量的概念直接求解即可.
【详解】（1）∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，
∴.
故与向量相等的向量是，.
（2）由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，.
【双基训练】
一、单选题
16．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解．
【详解】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，
对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，
对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，
对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，
故选：A．
17．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则
C． D．若，则
【答案】D
【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确；
由单位向量对于可知，，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为两个向量不能比较大小，故D错误；
故选：D
18．（2022下·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等 B．单位向量
C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则
【答案】C
【分析】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论；
对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的. 否定结论.
【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；
对于B：单位向量.故B错误；
对于C：零向量与任意向量平行.正确；
对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.
故选：C
19．（2024·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】A选项，由零向量的定义进行判断；B选项，根据向量的模及相等向量判断；
C选项，根据向量的性质判断，D选项，根据共线向量的定义判断；
【详解】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；
对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；
对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确；
对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.
故选：C.
20．（2023下·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据平面向量的基本概念一一判定即可.
【详解】相等向量即方向相同大小相等，故两个相同向量同起点比同终点，即①正确；
零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当，若，而是非零向量，
则不满足两向量方向相同或相反，即②错误；
同理若，且时，，是非零向量，也得不到，即③错误.
综上正确的是1个.
故选：B
21．（2023下·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．
B．、是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】C
【分析】运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断.
【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；
对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确.
故选：C.
22．（2023下·山东滨州·高一统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】利用向量的相关性质逐项判断即可.
【详解】对于A，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以选项A错误；
对于B，若，说明两个向量的模长相等，但方向不一定相同或相反，所以两向量不一定共线，所以选项B错误；
对于C，向量的相等条件为方向相同且模长相等，所以，则，所以选项C正确；
对于D，此时若，但两向量的方向不同，满足，但与选项D题干矛盾，所以选项D错误.
故选：C.
23．（2023下·江西九江·高一校考期中）设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合共线向量的定义分析判断
【详解】因为，所以同向共线，所以，
因为，所以同向共线，此时不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
二、多选题
24．（2023上·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【答案】AD
【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确；
根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误；
向量不能够比较大小，故C错误；
根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确.
故选：AD.
25．（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．有向线段与表示同一向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．单位向量都相等
【答案】ABD
【分析】根据向量的概念以及平行向量的概念判断求解.
【详解】对A, 有向线段与表示相反向量，不是同一向量，A错误；
对B，两个有公共终点的向量不一定是平行向量，B错误；
对C，我们规定：零向量与任意向量是平行向量，C正确；
对D，单位向量仅是模长相等，方向不确定，D错误；
故选:ABD.
26．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则或
B．若向量是向量的相反向量，则
C．向量与相等
D．若向量，，满足，，则
【答案】BD
【分析】A选项，由于方向不确定，A错误；B选项，根据相反向量的定义得到B正确；C选项，，C错误；D选项，根据相等向量的概念进行判断.
【详解】对于选项A：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A错误；
对于选项B：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B正确；
对于选项C：向量与互为相反向量，故，故C错误；
对于选项D：若，，则，方向相同大小相等，故，若，，中有零向量结论也正确，所以D正确．
故选：BD．
27．（2023下·四川眉山·高一校考期中）给出下列命题，其中假命题为（ ）
A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
B．若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
C．若与同向，且，则；
D．为实数，若，则与共线.
【答案】ACD
【分析】根据向量的相关概念，向量共线及向量相等，逐个分析判断即可
【详解】对于A，两个具有共同终点的向量，由于起点不一定相同，它们的方向不一定相同，所以它们不一定是共线向量，所以A错误，
对于B，当是不共线的四点，若，则四边形是平行四边形，若四边形是平行四边形，则，
所以是四边形为平行四边形的充要条件，所以B正确，
对于C，当与同向，且时，因为两个向量不能比较大小，所以C错误，
对于D，为实数，若，则与不一定共线，如时，与是任意的，所以D错误，
故选：ACD
28．（2023下·宁夏银川·高一校考阶段练习）在下列结论中，正确的结论为（ ）
A．且是的必要不充分条件
B．且是的既不充分也不必要条件
C．与方向相同且是的充要条件
D．与方向相反或是的充分不必要条件
【答案】ACD
【分析】根据向量共线、向量相等的概念结合充分条件、必要条件逐项判断即可.
【详解】因为且，所以或，
若，则与方向相同且，所以且是的必要不充分条件，
故选项A正确，选项B错误；
对于选项C，因为与方向相同且，所以，
反之，若，则与方向相同且，
所以与方向相同且是的充要条件，正确；
对于选项D，若与方向相反或，则，若，则与方向不同或，
即由得不到与方向相反或，
所以与方向相反或是的充分不必要条件，正确.
故选：ACD
三、填空题
29．（2023下·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 （填序号）．
【答案】②③④
【分析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确.
【详解】由零向量的定义可知，①正确；
时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误；
两个向量共线，与模是否相等无关，③错误；
当时，满足，，但不能得到，④错误.
故答案为：②③④
30．（2023下·全国·高一随堂练习）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：
①共线向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
【答案】 与，与 与，与
【分析】观察图形，利用共线向量、方向相反向量、模相等的向量的意义判断作答.
【详解】观察图形，，因此与是共线向量，并且方向相反；与是共线向量，并且方向相反，
显然，因此的模相等.
故答案为：与，与；与，与；
31．（2023下·高一课时练习）如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.
【答案】2
【分析】根据等腰梯形的性质结合已知条件，可推得，即可得出答案.
【详解】由题意∥AB可知，，所以，所以.
因为，所以，，
所以，，所以.
又M，O，N三点共线，
所以，，故相等向量有2对.
故答案为：2.
32．（2023·全国·高一专题练习）下列五个命题：
①向量与共线，则必在同一条直线上；
②如果非零向量与平行，则与方向相同或相反；
③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是；
④若，则、的长度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.
其中正确的命题有 个.
【答案】1
【分析】利用向量共线可判断①②③；利用相等向量可判断④；利用零向量与任何向量共线可判断⑤.
【详解】对于①，向量与共线，则直线与直线可能平行，故①错；
对于②，根据共线向量的定义可知，②正确；
对于③，若，则四点可能共线，故③错；
对于④，若，只能说明，的长度相等但确定不了方向，故④错；
对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错.
∴正确的命题有1个.
故答案为：1.
四、解答题
33．（2023·高一课时练习）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，
(1)与模长相等的向量有多少个？
(2)写出与相等的向量有哪些？
(3)与共线的向量有哪些？
(4)请列出与相等的向量．
【答案】(1)有9个
(2)，
(3)，，，，，，
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形，
所以，
所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个.
（2）与相等的向量有、.
（3）与共线的向量有，，，，，，.
（4）因为为平行四边形，所以且，
所以与相等的向量为.
34．（2023·高一课时练习）如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出的负向量；
(3)写出与平行的向量；
(4)写出与长度相等的向量．
【答案】(1)，，
(2)，，，
(3)，，，，，，，，
(4)，，，，
【分析】（1）（2）（3）（4）由相等向量，负向量，平行向量，长度相等向量定义可得答案.
【详解】（1）两向量相等是指两向量方向相同，长度相等，由图可得与相等的向量为：，，；
（2）向量的负向量是指与方向相反，长度相等的向量，由图可得的负向量为：，，，；
（3）两向量平行，是指两向量方向相同或相反，由图可得平行的向量为：
，，，，，，，，.
（4）由图，因图形为正六边形，则，故与长度相等的向量为：，，，，.
35．（2021下·高一课时练习）如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．
【答案】12
【分析】集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，数出有向线段的条数减去相等向量的个数即为答案.
【详解】由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，
即，，，；，，，；
，，，；，，，；
，，，.
由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.
又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．
36．（2022·全国·高一专题练习）在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：．
【答案】(1),
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意直接写出与向量共线的向量即可；
（2）证明四边形是平行四边形即可证明.
【详解】（1）据题意，与向量共线的向量为：, ；
（2）证明：是平行四边形，且，分别为边，的中点，
，且，
四边形是平行四边形，
，且，
．新课第01讲：:平面向量的概念
【考点梳理】
考点一：平面向量的概念 考点二：向量的模
考点三：零向量和单位向量 考点四：相等向量和平行（共线）向量
考点五：平面向量的综合问题
【知识梳理】
知识点一 向量的概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.
知识点二 向量的几何表示
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||.
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，).
知识三：.模、零向量、单位向量
向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
知识四： 相等向量与共线向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.
(2)规定：零向量与任意向量平行.
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
【题型归纳】
题型一：平面向量的概念
1．（2023下·山西阳泉·高一阳泉市第十一中学校校考期中）下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴 y轴都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2020下·高一课时练习）下列命题中正确的个数是
①向量就是有向线段 ②零向量是没有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正实数
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2020·高一课时练习）下列结论正确的是
A．单位向量的方向相同或相反 B．对任意向量,总是成立的
C． D．若,则一定有直线
题型二：向量的模
4．（2022下·陕西渭南·高一统考期末）设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
5．（2021下·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．向量的模是一个正实数
6．（2021下·高一课时练习）若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④
题型三：零向量和单位向量
7．（2022下·高一校考课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．零向量的长度为0
D．任意两个单位向量方向相同
8．（2021下·高一课时练习）设非零向量，若，则的取值范围为（ ）
A．[0，1] B．[0，2]
C．[0，3] D．[1，2]
9．（2020上·安徽六安·高一六安一中校考期末）下列说法不正确的是（ ）
A．平行向量也叫共线向量
B．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合
C．若为非零向量，则是一个与同向的单位向量
D．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同
题型四：相等向量和平行（共线）向量
10．（2023下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
11．（2023下·陕西西安·高一校考阶段练习）下列各命题中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．与非零向量共线的单位向量是
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若，则
12．（2023·高一课时练习）给出下列3个命题，①相等向量是共线向量；（2）若与不相等，则向量与是不共线向量；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型五：平面向量的综合问题
13．（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形ABCDEF的中心，在下图所标出的向量中：
(1)找出与相等的向量；(2)找出几组相反向量．
14．（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：
(1)试找出与共线的向量；(2)确定与相等的向量；(3)与相等吗？
15．（2021下·高一课时练习）如图，四边形和四边形都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与向量共线的向量．
【双基训练】
一、单选题
16．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
17．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则
C． D．若，则
18．（2022下·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等 B．单位向量
C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则
19．（2024·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
20．（2023下·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
21．（2023下·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．
B．、是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
22．（2023下·山东滨州·高一统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，则
23．（2023下·江西九江·高一校考期中）设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
24．（2023上·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
25．（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．有向线段与表示同一向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．单位向量都相等
26．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则或
B．若向量是向量的相反向量，则
C．向量与相等
D．若向量，，满足，，则
27．（2023下·四川眉山·高一校考期中）给出下列命题，其中假命题为（ ）
A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
B．若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
C．若与同向，且，则；
D．为实数，若，则与共线.
28．（2023下·宁夏银川·高一校考阶段练习）在下列结论中，正确的结论为（ ）
A．且是的必要不充分条件
B．且是的既不充分也不必要条件
C．与方向相同且是的充要条件
D．与方向相反或是的充分不必要条件
三、填空题
29．（2023下·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 （填序号）．
30．（2023下·全国·高一随堂练习）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：
①共线向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
31．（2023下·高一课时练习）如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.
32．（2023·全国·高一专题练习）下列五个命题：
①向量与共线，则必在同一条直线上；
②如果非零向量与平行，则与方向相同或相反；
③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是；
④若，则、的长度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.
其中正确的命题有 个.
四、解答题
33．（2023·高一课时练习）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，
(1)与模长相等的向量有多少个？
(2)写出与相等的向量有哪些？
(3)与共线的向量有哪些？
(4)请列出与相等的向量．
34．（2023·高一课时练习）如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出的负向量；
(3)写出与平行的向量；
(4)写出与长度相等的向量．
35．（2021下·高一课时练习）如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．
36．（2022·全国·高一专题练习）在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：．
