新课第02讲：平面向量的运算
【考点梳理】
考点一：向量加法法则 考点二：向量加法的运算律
考点三：向量加法法则的几何应用 考点四：相反向量
考点五：向量减法法则 考点六：向量减法的运算律
考点七：向量减法法则的几何应用 考点八：向量加减法的综合问题
【知识梳理】
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
知识点二 向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
知识点三：相反向量
1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
知识点四：向量的减法
1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
【题型归纳】
题型一：向量加法法则
1．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）如图，在正六边形ABCDEF中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的加法法则即可求解.
【详解】由向量的加法法则，得.
故选：A.
2．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法运算法则即可求解.
【详解】,
故选：B
3．（2023下·江西赣州·高一校联考期中）化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平面向量的加法运算即可求解.
【详解】对于①，,故①正确；
对于②，,故②错误；
对于③，，故③正确；
对于④，,故④正确.
故结果为零向量的个数是3.
故选:C.
题型二：向量加法的运算律
4．（2022下·广东梅州·高一兴宁市第一中学校考期中）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得；
【详解】解：
故选：B
5．（2022·高一课时练习）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（ ）
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据向量的加法运算律判断
【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律，
所以，，，，都等于，
故选：A
6．（2020下·辽宁阜新·高一校考阶段练习）下列向量的运算结果为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据向量加法运算规律，逐项检验，即可求得答案.
【详解】对A，；
对B，；
对C，；
对D，.
综上所述，只有C符合题意
故选：C.
题型三：向量加法法则的几何应用
7．（2023下·广西·高一统考期末）在矩形中，，，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【详解】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长．
【分析】在矩形中，由，可得，
又因为，故，故．
故选：A.
8．（2023下·山西阳泉·高一统考期末）菱形中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的几何性质结合向量的线性运算求解.
【详解】因为菱形中，，若，
所以为等边三角形，且，
因为，
所以.
故选：B.
9．（2023下·辽宁抚顺·高一校联考期中）在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果
【详解】在中，D是BC的中点，E是AD的中点，
则．
故选：C.
题型四：相反向量
10．（2021下·高一课时练习）下列等式中，正确的个数为（ ）
①②③④⑤⑥．
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据向量加减法的概念和相反向量的概念分别判断即可.
【详解】根据向量的运算及相反向量的概念知①②③④⑤正确，⑥错误，所以正确的个数为5．
故选:C．
11．（2021下·安徽滁州·高一校联考期中）如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】首先根据题意得到四边形是平行四边形，从而得到与为相反向量.
【详解】因为，所以四边形是平行四边形，
所以，互相平分，所以，即与为相反向量.
故选：B
12．（2020·河南·高一校联考阶段练习）已知是所在平面内一点，为线段的中点，且，那么
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】所给等式可整理为，再由为的中点得，推出，得解.
【详解】因为，所以，
因为为的中点，所以，
则.
故选: A
题型五：向量减法法则
13．（2023·全国·高一专题练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算化简，求解即可．
【详解】由题意可得：.
故选：C．
14．（2023下·海南·高一校考期中）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】由题意，点为的中点，点是线段上的一点，且，
则，
因为，且，
则有 .
故选：D.
15．（2023下·重庆万州·高一校考阶段练习）下列各式中不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：D
题型六：向量减法的运算律
16．（2023下·天津和平·高一天津市第五十五中学校考阶段练习）下列各式中不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】对于A：
，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：B
17．（2021下·广东深圳·高一校考阶段练习）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的加减运算法则即可求解.
【详解】解：，
故选：A.
18．（2021下·浙江·高一校联考阶段练习）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意作出图形，将用、的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.
【详解】解：由题意作出图形：
在平行四边形中，M为BC的中点，则
又N为线段AB上靠近A的三等分点，则
故选：B
题型七：向量减法法则的几何应用
19．（2023下·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量运算的几何意义，结合条件逐项分析即得.
【详解】因为四边形为平行四边形，
对A，，正确；
对B，，错误；
对C，，正确；
对D，，正确.
故选：B.
20．（2022下·新疆阿克苏·高一校联考期中）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法、减法法则可判断各选项.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：B．
21．（2022下·新疆昌吉·高一校考期末）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】C
【分析】根据相等向量的性质，结合平面向量加法和减法的几何意义、矩形的判定定理进行求解即可.
【详解】由，所以四边形ABCD是平行四边形，
由，所以平行四边形ABCD的对角线相等，
因此该四边形是矩形，
故选：C
题型八：向量加减法的综合问题
22．（2023下·新疆·高一校考期中）化简下列各向量的表达式：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1).
(2).
(3)
【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果.
【详解】（1）.
（2）
.
（3）
.
23．（2023下·广东佛山·高一佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）在平行四边形中，已知，且，．求．
【答案】
【分析】根据得到平行四边形是矩形，，计算得到答案.
【详解】，，，故，
故平行四边形是矩形,
，，
，
=.
24．（2023·高一课时练习）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：．
【答案】证明见详解
【分析】根据题意结合向量减法分析证明.
【详解】因为
，
又因为为平行四边形，则为的中点，可得，
所以，
即.
【双基训练】
一、单选题
25．（2023下·天津红桥·高一统考期末）化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量加法的三角形法则可知.
【详解】.
故选：C.
26．（2023下·广西钦州·高一统考期末）已知四边形是平行四边形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量加法法则可化简.
【详解】.
故选：D.
27．（2023下·全国·高一随堂练习）下列各式中，化简后不是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法、减法运算化简即可得解.
【详解】因为，故A错误；
因为，故B正确；
因为，故C错误；
因为，故D错误.
故选：B
28．（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）在中，，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据向量加减法法则及模的定义判断.
【详解】因为，，，，
所以，
所以是等边三角形．
故选：A．
29．（2023下·海南儋州·高一校考阶段练习）化简的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用向量加法法则及相反向量计算即可.
【详解】，
故选：B.
30．（2023下·山东枣庄·高一校考阶段练习）如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量加减法结合图形判断各个选项即可.
【详解】,A选项错误;
因为ABCD是平行四边形, 点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,,B选项错误;
,C选项正确;
,D选项错误.
故选：C.
31．（2023下·山东泰安·高一统考期中）下列向量的运算结果不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可.
【详解】对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C，，所以C正确，
对于D，，所以D正确，
故选：B
32．（2023下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】因为为的中点，可得，
所以.
故选： C.
33．（2023·高一课时练习）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算结合图形的性质分析求解.
【详解】在中，设，则，
因为，即，所以为等边三角形，
以为邻边作平行四边形，设交于点，
可得，
则，
因为，取的起点为，
可知的终点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，
如图，当点为的延长线与圆的交点时，的最大值为；
当点为线段与圆的交点时，的最小值为；
所以.
故选：A.
二、多选题
34．（2023下·湖南怀化·高一校考期中）下列各式中结果一定为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用向量的加法运算，结合零向量的意义逐项计算判断作答.
【详解】对于A，，A是；
对于B，，不一定是零向量，B不是；
对于C，，C是；
对于D，，D是.
故选：ACD
35．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等 B．对于任意向量，，必有
C．平行向量不一定是共线向量 D．若，满足且与同向，则
【答案】ACD
【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于C：根据共线向量的定义即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.
【详解】对于A，单位向量模都为1，方向不一定相同，故A错误；
对于B，若方向相同，则，
若方向相反，则，
若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知.
综上可知对于任意向量，必有，故B正确；
对于C，平行向量就是共线向量，故C错误；
对于D，两个向量不能比较大小，故D错误.
故选：ACD.
36．（2023上·辽宁营口·高一校联考期末）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（ ）
A．若，则存在实数，使得.
B．若，则.
C．若，则，反向.
D．若，则，一定同向
【答案】ACD
【分析】根据向量加法的意义判断选项A，C；根据平面向量加法的平行四边形法则可判断选项B；根据平面向量平行的性质可判断选项D.
【详解】对于选项A：当，由向量加法的意义知，方向相反且，
则存在实数，使得，故选项A错误；
对于选项B：当，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，
则，故选项B正确；
对于选项C：当，由向量加法的意义知，方向相同，故选项C错误；
对于选项D：当时，则，同向或反向，故选项D错误；
综上所述：选项ACD错误，
故选：ACD.
37．（2023下·云南普洱·高一校考阶段练习）化简以下各式：①；②；③；④．结果为零向量的是（ ）．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ABD
【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可
【详解】对于①，，所以①符合题意，
对于②，，所以②符合题意，
对于③，，所以③不符合题意，
对于④，，所以④符合题意，
故选：ABD
38．（2023下·江苏扬州·高一统考期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性质即可判断选项B和选项C；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项D.
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，错误.
故选：AC
三、填空题
39．（2023·全国·高一随堂练习）化简：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】
【分析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
故答案为：；；；.
40．（2023下·高一课时练习）如图所示，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，
则：（1）与向量相等的向量有 ；
（2）与向量相反的向量有 ；
（3）与向量的模相等的向量有 .（填图中所画出的向量）
【答案】 ， ，，，，
【分析】根据已知，结合图象以及向量的概念，即可得出答案.
【详解】因为O是正三角形ABC的中心，所以.
因为四边形AOCD为平行四边形，所以，且.
根据图象可知，与向量相等的向量有；
由已知可得，，且，且.
所以，与向量相反的向量有，；
因为，，
所以与向量的模相等的向量有，，，，.
故答案为：；，；，，，，.
41．（2023·高一课时练习）如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则等式：
① ② ③ ④
其中正确的题号是 ．
【答案】③④
【分析】根据向量的线性运算逐项分析判断.
【详解】对于①：，故①错误；
对于②：，故②错误；
对于③：，故③正确；
对于④：，故④正确；
故答案为：③④.
42．（2023·全国·高一专题练习）已知非零向量满足，，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】设，根据题意 是三角形的重心，且可得，推出，设，根据勾股定理可得，可得，利用二次函数求最值即可.
【详解】设，如图，
则，是的重心.
由于，延长交于点，则，.
设，则，，
，
，当时，等号成立，
即的最大值为.
故答案为：
四、解答题
43．（2023下·河南南阳·高一统考阶段练习）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点．
(1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．
(2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量．
【答案】(1)菱形，理由见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可；
（2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可.
【详解】（1）由条件知，
即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形．
（2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知．
所以．
作出向量如图所示．
44．（2022下·河南周口·高一校考阶段练习）化简下列各式：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则化简即可得出结果；
（2）首先化简出两个向量的结果，再与第三个向量进行加减运算即可求得结果.
【详解】（1）利用平面向量的加减运算法则可得，
（2）由平面向量的加减运算法则可得
45．（2023·高一课前预习）化简下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得.
【详解】（1）法一：原式；
法二：原式；
（2）法一：原式
法二：原式
（3）方法一：；
方法二：；
（4）
（5）
46．（2021·高一课时练习）如图所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
【答案】(1)；
(2).
【分析】利用向量减法与加法的规则即可用表示，用表示
【详解】（1）.
（2）.
47．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据向量的加减法法则，直接可求得（1）（2）（3）的答案;
【详解】（1）;
（2）;
（3）.新课第02讲：平面向量的运算
【考点梳理】
考点一：向量加法法则 考点二：向量加法的运算律
考点三：向量加法法则的几何应用 考点四：相反向量
考点五：向量减法法则 考点六：向量减法的运算律
考点七：向量减法法则的几何应用 考点八：向量加减法的综合问题
【知识梳理】
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
知识点二 向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
知识点三：相反向量
1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
知识点四：向量的减法
1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
【题型归纳】
题型一：向量加法法则
1．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）如图，在正六边形ABCDEF中，（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·江西赣州·高一校联考期中）化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：向量加法的运算律
4．（2022下·广东梅州·高一兴宁市第一中学校考期中）等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·高一课时练习）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（ ）
A．5 B．4
C．3 D．2
6．（2020下·辽宁阜新·高一校考阶段练习）下列向量的运算结果为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：向量加法法则的几何应用
7．（2023下·广西·高一统考期末）在矩形中，，，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
8．（2023下·山西阳泉·高一统考期末）菱形中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023下·辽宁抚顺·高一校联考期中）在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
题型四：相反向量
10．（2021下·高一课时练习）下列等式中，正确的个数为（ ）
①②③④⑤⑥．
A．3 B．4
C．5 D．6
11．（2021下·安徽滁州·高一校联考期中）如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
12．（2020·河南·高一校联考阶段练习）已知是所在平面内一点，为线段的中点，且，那么
A． B． C． D．
题型五：向量减法法则
13．（2023·全国·高一专题练习）（ ）
A． B． C． D．
14．（2023下·海南·高一校考期中）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2023下·重庆万州·高一校考阶段练习）下列各式中不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
题型六：向量减法的运算律
16．（2023下·天津和平·高一天津市第五十五中学校考阶段练习）下列各式中不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021下·广东深圳·高一校考阶段练习）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
18．（2021下·浙江·高一校联考阶段练习）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
题型七：向量减法法则的几何应用
19．（2023下·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022下·新疆阿克苏·高一校联考期中）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2022下·新疆昌吉·高一校考期末）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
题型八：向量加减法的综合问题
22．（2023下·新疆·高一校考期中）化简下列各向量的表达式：
(1)；(2)；(3)；
23．（2023下·广东佛山·高一佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）在平行四边形中，已知，且，．求．
24．（2023·高一课时练习）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：．
【双基训练】
一、单选题
25．（2023下·天津红桥·高一统考期末）化简：（ ）
A． B． C． D．
26．（2023下·广西钦州·高一统考期末）已知四边形是平行四边形，则（ ）
A． B． C． D．
27．（2023下·全国·高一随堂练习）下列各式中，化简后不是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）在中，，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
29．（2023下·海南儋州·高一校考阶段练习）化简的结果等于（ ）
A． B． C． D．
30．（2023下·山东枣庄·高一校考阶段练习）如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
31．（2023下·山东泰安·高一统考期中）下列向量的运算结果不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（2023下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
33．（2023·高一课时练习）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．1
二、多选题
34．（2023下·湖南怀化·高一校考期中）下列各式中结果一定为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
35．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等 B．对于任意向量，，必有
C．平行向量不一定是共线向量 D．若，满足且与同向，则
36．（2023上·辽宁营口·高一校联考期末）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（ ）
A．若，则存在实数，使得.
B．若，则.
C．若，则，反向.
D．若，则，一定同向
37．（2023下·云南普洱·高一校考阶段练习）化简以下各式：①；②；③；④．结果为零向量的是（ ）．
A．① B．② C．③ D．④
38．（2023下·江苏扬州·高一统考期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）.
A． B．
C． D．
三、填空题
39．（2023·全国·高一随堂练习）化简：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
40．（2023下·高一课时练习）如图所示，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，
则：（1）与向量相等的向量有 ；
（2）与向量相反的向量有 ；
（3）与向量的模相等的向量有 .（填图中所画出的向量）
41．（2023·高一课时练习）如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则等式：
① ② ③ ④
其中正确的题号是 ．
42．（2023·全国·高一专题练习）已知非零向量满足，，则的最大值为 .
四、解答题
43．（2023下·河南南阳·高一统考阶段练习）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点．
(1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．
(2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量．
44．（2022下·河南周口·高一校考阶段练习）化简下列各式：
(1)；
(2)
45．（2023·高一课前预习）化简下列各式：
(1)(＋)＋()；(2)；(3)；
(4)；(5)
46．（2021·高一课时练习）如图所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
47．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．
(1)；(2)；(3)．
