新课第03讲：向量的数乘运算与数量积
考点一：向量的数乘运算 考点二：平面向量的混合运算
考点三：向量的线性运算的几何应用 考点四：三角形的心的向量表示
考点五：向量的数量积的定义和几何意义 考点六：数量积的运算
考点七：数量积和模关系问题 考点八：向量夹角的计算
考点九：垂直关系的向量表示 考点十：向量投影问题
考点十一：向量的数量积的综合问题
【知识梳理】
知识一 向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
知识二 向量数乘的运算律
.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识三 向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
知识四 两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
知识五： 向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.
知识六 投影向量
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
知识七 平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
知识八 平面向量数量积的运算律
1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【题型归纳】
题型一：向量的数乘运算
1．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.
【详解】根据向量的四则运算可知，
.
故选：D
2．（2023·高一课时练习）已知m、n是实数，、是向量，对于命题：
① ②
③若，则 ④若，则
其中正确命题的个数是：（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，③中若，结论不成立，④中若，结论不成立.
【详解】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；
③中若，与没有确定关系，结论不成立，错误；
④中若，m与n没有确定关系，结论不成立，错误.
故①②两个命题正确．
故选：B
3．（2023下·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的加减和数乘运算即可求得结果；
（2）按照向量的运算法则依次计算即可.
【详解】（1）原式
．
（2）原式
题型二：平面向量的混合运算
4．（2023下·全国·高一随堂练习）已知平面内四个不同的点满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值.
【详解】,
,
即,
.
故选：D.
5．（2023下·江苏镇江·高一统考期中）在中，是的中点，在上且，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算法则运算.
【详解】∵是的中点，∴，
∵在上且，∴，∴，
∴，
故选：A
6．（2022·河南·校联考模拟预测）已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
【答案】A
【分析】利用平面向量的线性运算可求出，则得到，的值，进而即可求解．
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，
所以，，故.
故选：A．
题型三：向量的线性运算的几何应用
7．（2024·全国·高一假期作业）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：B
8．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件及图，利用向量的线性运算即可求出结果.
【详解】因为点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，
如图，，
故选：A.
9．（2023下·福建三明·高一统考期末）在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的加减法的几何意义将转化为、即可.
【详解】
.
故选：D.
题型四：三角形的心的向量表示
10．（2023·江苏·高一专题练习）已知O是平面上的一个定点，A B C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.
【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向与的角平分线一致，
由，可得，
即，
所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过的内心.
故选：C.
11．（2023·全国·高一专题练习）已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】等价于等价于点为重心.
【详解】充分性：
等价于：
等价于：
等价于：
所以为的靠近的三等分点，所以点为重心；
必要性：若点为重心，由重心性质知，故
故选：C
12．（2022下·山西运城·高一统考期末）已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心
【答案】D
【分析】由给定条件可得，由表示出即可判断作答.
【详解】令边BC上的高为h，则有，令边BC的中点为D，则，
因此，，即，
所以动点的轨迹一定通过的重心.
故选：D
题型五：向量的数量积的定义和几何意义
13．（2023下·陕西咸阳·高一校考阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由零向量、向量数乘、数量积等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案.
【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误；
0乘以任何向量都为零向量，故②正确；
向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误；
不一定有，如满足条件，结论不成立，故④错误；
故选：A
14．（2023下·陕西西安·高一统考期中）已知，为非零向量，且，则（ ）
A．，且与方向相同 B．，且与方向相反
C． D．，无论什么关系均可
【答案】A
【分析】对两边平方得到，结合平面向量数量积公式得到，从而，且与方向相同.
【详解】，两边平方得，
化简得，即，
又，其中为，的夹角，
因为，为非零向量，所以，则.
故，且与方向相同.
故选：A
15．（2023下·福建福州·高一福州三中校考期末）在中，已知，向量在向量方向上的投影向量为，，则（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【分析】若，由题设及向量数量积的几何意义可得，再由，利用数量积的运算律求即可.
【详解】如下图，若，则在方向上的投影向量为，
又向量在向量方向上的投影向量为，则，即，
所以，又，
所以.
故选：B
题型六：数量积的运算
16．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，，且，的夹角为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据向量的减法运算可得，平方后结合数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意得，所以
，
故，
故选：D
17．（2024·全国·高一假期作业）已知非零向量与满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量数量积的运算律可得，结合已知及数量积定义求夹角余弦值.
【详解】因为，所以，
所以，而，所以，
所以.
故选：B
18．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）在中，，，，则（ ）
A． B．16 C． D．9
【答案】B
【分析】根据向量的减法运算结合题意推出，平方后可得数量积，再结合数量级的运算律，即可求得答案.
【详解】由题意得在中，,
故由，，，
得，即，
即，
故，
故选：B
题型七：数量积和模关系问题
19．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量，且与的夹角为，则（ ）
A． B．4 C．2 D．0
【答案】C
【分析】平方展开后，利用向量的数量积定义进行运算即可.
【详解】因为
，
所以，
故选：C.
20．（2023下·广东广州·高一统考期末）已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将平方结合平面向量数量积的运算律即可得解.
【详解】因为，，，
所以，即，即，
即，解得.
故选：A
21．（2023下·吉林·高一东北师大附中校考阶段练习）设向量满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A． B．向量和的夹角为
C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件得，计算各选项中向量数量积和模等问题.
【详解】向量满足，且，
则，所以，故.
由，则，A选项错误；
由，则，向量和的夹角为，B选项错误；
由，C选项错误；
由，得，D选项正确.
故选：D
题型八：向量夹角的计算
22．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设向量的夹角为，结合，求得，即可求解.
【详解】设向量的夹角为，因为，可得，
又因为，，
可得
，解得，
因为，可得.
故选：B.
23．（2023下·湖北·高一安陆第一高中校联考期末）已知平面向量满足且对，有恒成立，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将两边平方，根据，有恒成立，可求得两向量夹角，再结合夹角余弦公式即可求得.
【详解】由展开得，
对，有恒成立，
即,即，
所以可得，所以解得，
又，所以，则，
所以，
则与的夹角余弦值,
所以与的夹角为.
故选：A．
24．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，得，再两边平方求解即可.
【详解】
由，则①，
又②，
由①+②可得，即，
故，设与夹角为，
则，解得.
故选：C．
题型九：垂直关系的向量表示
25．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量的夹角为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，利用向量数量积运算可得，即求，又，代入条件运算可得解.
【详解】，
，即，
，
.
故选：A.
26．（2023下·四川自贡·高一校考期中）如果向量，满足，，且，则和的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量垂直，数量积为0，得，再代入模和夹角公式，即可求解.
【详解】由，则，
则，得，，
所以.
故选：D
27．（2023下·贵州黔西·高一校考阶段练习）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算、数量积与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.
【详解】由，可得，即，，
等式两边平方，化简得，，
因此，是直角三角形.
故选：B.
题型十：向量投影问题
28．（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得出为外接圆的直径，且是等边三角形，从而求出向量在向量上的投影向量.
【详解】∵的外接圆的圆心为O，且，
∴O为的中点，即为外接圆的直径，∴．
∵，
∴是等边三角形.
设为的中点，则.
∴向量在向量上的投影向量为.
故选:B.
29．（2023下·广西南宁·高一校联考期末）已知点是直角斜边的中点，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得、，再根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为点是直角斜边的中点，且，
所以，则，
向量在向量上的投影向量为.
故选：C
30．（2023下·辽宁·高一辽宁实验中学校联考期末）已知向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数量积定义先计算，然后由投影向量定义可得.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以，
所以在上的投影向量为.
故选：D
题型十一：向量的数量积的综合问题
31．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）单位向量，满足.
(1)求与夹角的余弦值：
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量数量积的运算法则求得，再由模长与数量积求得与夹角的余弦值；
（2）由题意得且与不共线，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以，即，则，
则，即与夹角的余弦值.
（2）因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
当与共线时，有，即，
由（1）知与不共线，所以，解得，
所以当与不共线时，，
由，得，
即，解得，
所以且，即实数的取值范围为.
32．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）如图，在中，是的中点，点在上，且与交于点，设.
(1)求的值；
(2)当时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三点共线的知识求得.
（2）根据向量数量积的运算求得.
【详解】（1）依题意，
由于三点共线，所以.
（2）由（1）得，
所以
.
33．（2023下·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件结合数量积的运算得到，再利用线性运算得到，即可求解；
（2）根据（1）和条件得到，，由垂直关系得到，从而得到关于的方程，即可求解.
【详解】（1）在平行四边形中，，，，
所以，
因为点是线段的中点，
所以，
则，
故的值为.
（2）由（1）知：，，
则，，
又因为，
则，
即，
即，解得：，
故的值为.
【双基训练】
一、单选题
34．（2023下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）在中，点为边的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.
【详解】由题意可知，.
故选：C
35．（2023下·青海海东·高一统考阶段练习）在平行四边形ABCD中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的线性运算求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以．
故选：A
36．（2023下·河南焦作·高一焦作市第一中学校考阶段练习）下列四个命题中，正确的个数是（ ）
①；②“”等价于“存在实数，使得”；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】根据向量数量积的定义式可判断① ③错误，对于②，可通过举反例说明.
【详解】对于①，等式左边，等式右边，
而与不能确保恒等，故①不正确；
对于②，若 满足 ，但不存在实数，使得成立，故②不正确；
对于③，，但不恒等于1，故③不正确.
故选：A.
【点睛】方法点睛：本题主要考查向量的数量积和向量共线的等价条件的判断.
处理向量数量积的问题一般有以下方法：
(1)向量数量积的定义法；
(2)向量数量积的坐标法；
(3)向量数量积的基底表示法.
37．（2023上·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）下列命题正确的有（ ）
A．若，，则．
B．向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上
C．
D．满足的四边形ABCD是正方形
【答案】C
【分析】利用与任意向量共线判断A，利用共线向量的基线平行或重合判断B，利用向量的线性运算法则判断C，利用平行四边形法则判断D.
【详解】对选项A，当时，与不一定平行，故选项A错误；
对选项B，因为共线向量的基线平行或重合，故选项B错误；
对选项C，因为，所以选项C正确；
对选项D，因为，
所以，
整理可得，即为直角，但是四边形不一定是正方形，故选项D错误.
故选：C.
38．（2023下·全国·高一随堂练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A． B． C． D．12
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得.
【详解】依题意，，
所以.
故选：A
39．（2024·全国·高一假期作业）如图，在平面图形ABCD中，，.若，，则（ ）
A． B．3 C．9 D．13
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积的几何意义及三角形相似计算即可.
【详解】
由题意易知，则，
过作于，
所以，
，
所以，不妨设，则
，故.
故选：C
40．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）若向量与向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由数量积的运算律代入计算，可得，再由投影向量的计算公式，即可得到结果.
【详解】因为向量与向量的夹角为，且，则，
即，又，
所以，
所以向量在向量方向上的投影向量是.
故选：D
41．（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，为外接圆的圆心，过作，，已知等式两边同乘以，结合数量积定义得，同理得，从而两式联立即可求得的值．
【详解】由题意可知，为的外心，设外接圆半径为，
在圆中，过作，，垂足分别为，，
则，分别为，的中点，
因为，两边乘以，即，
的夹角为，而，
则，得①，
同理两边乘，即，，
则，得②，
①②联立解得，，
所以．
故选：C．
二、多选题
42．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）如图在中，AD BE CF分别是边BC CA AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由条件可知为的重心，由重心的性质逐一判定即可.
【详解】由条件可知为的重心，
对于A，由重心的性质可得，所以，故A错误；
对于B，由重心的性质可得，所以，故B正确；
对于D，故D错误；
对于C，，，
，故C正确.
故选：BC.
43．（2023下·陕西西安·高一阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得
B．若向量共线，则点必在同一直线上
C．若且，则
D．若点为的重心，则
【答案】BC
【分析】根据平行向量基本定理可判断A，根据平面向量共线的含义可判断B，根据平面向量的数量积可判断C，根据平面向量的运算与三角形重心的性质可判断D．
【详解】由平行向量的基本定理可知，选项A是正确的；
向量共线的意思是向量所在的基线平行或共线，
只有当向量，所在的直线线共线时，点，，，才在同一直线上，故B不正确；
由平面向量的数量积可知，若，则，
所以，无法得到，故C不正确；
设线段的中点为，若点为的重心，
则，而，所以，即D正确.
故选：BC．
44．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）若向量满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
【答案】BC
【分析】根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，求出，即可判断D.
【详解】对于A：因为，，
所以，所以，故A错误；
对于B：设与的夹角为，则，又，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，故C正确；
对于D：因为，且，
所以在上的投影向量为，故D错误；
故选：BC
45．（2023下·浙江金华·高一校联考阶段练习）已知向量满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．，有恒成立 D．若，则
【答案】ABC
【分析】将化为可判断A；将化为可判断B；将平方，根据二次函数的最值可判断C；计算可判断D.
【详解】解：对于A,因为，所以，
即，故，故A正确；
对于B，可化为，
即.
若，则，即，故B正确；
对于C，，
故，故C正确；
对于D，若，
则，
该式子的值随着的变化而变化，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
46．（2023下·山西朔州·高一校考阶段练习）已知是的边上的点，且，设，则 .
【答案】
【分析】画出图形利用向量线性运算即可得到答案.
【详解】
故答案为：.
47．（2023上·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）已知向量满足，则的最大值是 ，最大值是 ．
【答案】 3
【分析】综合应用平面向量的数量积和三角函数的知识即可解决.
【详解】设向量的夹角为，，因为，
所以，
故的最大值是3；
同理，所以，
则，因为，所以，故.
因为，所以，故最大值是.
故答案为：3；.
48．（2023下·全国·高一随堂练习）已知平面向量满足，则实数的值为 ．
【答案】1或
【分析】结合平面向量的相关知识，将两边平方，计算即可.
【详解】将两边平方，得，
得，即，解得或．
故答案为：或.
49．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 .
【答案】/-0.75
【分析】根据已知条件求出，再表示出，进而求其最小值.
【详解】由题菱形边长为2，
则，，所以，
又因为，
所以，
所以，
令，
则，
所以，
则当时，取最小值为.
故答案为：
四、解答题
50．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，向量与，的夹角都是60°，且，，，试求
(1)；
(2).
【答案】(1)11
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律即可代入求解，
（2）由数量积的运算律即可代入求解.
【详解】（1）向量，向量与，的夹角都是60°，且，，，，，
，，，，
；
（2）
51．（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，，，与所成角是.
(1)若，求实数x，y的值；
(2)求线段EF的长度.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意，可得，化简得到，再结合条件得到的值；
（2）由，结合条件，求出线段EF的长度即可.
【详解】（1）由题意，可得．
∵E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，
∴，，
∴①+②得，，
∴，又，
∴，．
（2）∵，，，所成角为，
∴，
∴，
∴线段EF的长度为.
52．（2023下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P.记，.
(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算定义进行求解即可；
（2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】（1），
；
（2）因为，所以，
因为，，
所以，
把代入式，得，
.
53．（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期中）如图，在平行四边形中，分别为上的点，且
(1)求的值；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将转化为，然后求数量积即可；
（2）将，转化为，，然后求模长和数量积，最后根据数量积的公式求夹角即可.
【详解】（1）.
（2），，，，
，
.新课第03讲：向量的数乘运算与数量积
考点一：向量的数乘运算 考点二：平面向量的混合运算
考点三：向量的线性运算的几何应用 考点四：三角形的心的向量表示
考点五：向量的数量积的定义和几何意义 考点六：数量积的运算
考点七：数量积和模关系问题 考点八：向量夹角的计算
考点九：垂直关系的向量表示 考点十：向量投影问题
考点十一：向量的数量积的综合问题
【知识梳理】
知识一 向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
知识二 向量数乘的运算律
.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识三 向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
知识四 两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
知识五： 向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.
知识六 投影向量
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
知识七 平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
知识八 平面向量数量积的运算律
1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【题型归纳】
题型一：向量的数乘运算
1．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·高一课时练习）已知m、n是实数，、是向量，对于命题：
① ②
③若，则 ④若，则
其中正确命题的个数是：（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023下·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)．
题型二：平面向量的混合运算
4．（2023下·全国·高一随堂练习）已知平面内四个不同的点满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2023下·江苏镇江·高一统考期中）在中，是的中点，在上且，记，，则（ ）
A． B．C． D．
6．（2022·河南·校联考模拟预测）已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
题型三：向量的线性运算的几何应用
7．（2024·全国·高一假期作业）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023下·福建三明·高一统考期末）在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（ ）
A． B． C． D．
题型四：三角形的心的向量表示
10．（2023·江苏·高一专题练习）已知O是平面上的一个定点，A B C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
11．（2023·全国·高一专题练习）已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
12．（2022下·山西运城·高一统考期末）已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心
题型五：向量的数量积的定义和几何意义
13．（2023下·陕西咸阳·高一校考阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2023下·陕西西安·高一统考期中）已知，为非零向量，且，则（ ）
A．，且与方向相同 B．，且与方向相反
C． D．，无论什么关系均可
15．（2023下·福建福州·高一福州三中校考期末）在中，已知，向量在向量方向上的投影向量为，，则（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
题型六：数量积的运算
16．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，，且，的夹角为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
17．（2024·全国·高一假期作业）已知非零向量与满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）在中，，，，则（ ）
A． B．16 C． D．9
题型七：数量积和模关系问题
19．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量，且与的夹角为，则（ ）
A． B．4 C．2 D．0
20．（2023下·广东广州·高一统考期末）已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2023下·吉林·高一东北师大附中校考阶段练习）设向量满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A． B．向量和的夹角为
C． D．
题型八：向量夹角的计算
22．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023下·湖北·高一安陆第一高中校联考期末）已知平面向量满足且对，有恒成立，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
题型九：垂直关系的向量表示
25．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量的夹角为，若，则（ ）
A． B． C． D．
26．（2023下·四川自贡·高一校考期中）如果向量，满足，，且，则和的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
27．（2023下·贵州黔西·高一校考阶段练习）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
题型十：向量投影问题
28．（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
29．（2023下·广西南宁·高一校联考期末）已知点是直角斜边的中点，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
30．（2023下·辽宁·高一辽宁实验中学校联考期末）已知向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
题型十一：向量的数量积的综合问题
31．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）单位向量，满足.
(1)求与夹角的余弦值：
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
32．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）如图，在中，是的中点，点在上，且与交于点，设.
(1)求的值；(2)当时，求的值.
33．（2023下·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【双基训练】
一、单选题
34．（2023下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）在中，点为边的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
35．（2023下·青海海东·高一统考阶段练习）在平行四边形ABCD中，，则（ ）
A． B． C． D．
36．（2023下·河南焦作·高一焦作市第一中学校考阶段练习）下列四个命题中，正确的个数是（ ）
①；②“”等价于“存在实数，使得”；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
37．（2023上·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）下列命题正确的有（ ）
A．若，，则．
B．向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上
C．
D．满足的四边形ABCD是正方形
38．（2023下·全国·高一随堂练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A． B． C． D．12
39．（2024·全国·高一假期作业）如图，在平面图形ABCD中，，.若，，则（ ）
A． B．3 C．9 D．13
40．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）若向量与向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
41．（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、多选题
42．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）如图在中，AD BE CF分别是边BC CA AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（ ）
A． B．C． D．
43．（2023下·陕西西安·高一阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得
B．若向量共线，则点必在同一直线上
C．若且，则
D．若点为的重心，则
44．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）若向量满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
45．（2023下·浙江金华·高一校联考阶段练习）已知向量满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．，有恒成立 D．若，则
三、填空题
46．（2023下·山西朔州·高一校考阶段练习）已知是的边上的点，且，设，则 .
47．（2023上·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）已知向量满足，则的最大值是 ，最大值是 ．
48．（2023下·全国·高一随堂练习）已知平面向量满足，则实数的值为 ．
49．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 .
四、解答题
50．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，向量与，的夹角都是60°，且，，，试求
(1)；(2).
51．（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，，，与所成角是.
(1)若，求实数x，y的值；
(2)求线段EF的长度.
52．（2023下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P.记，.
(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.
53．（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期中）如图，在平行四边形中，分别为上的点，且
(1)求的值；
(2)求.
