新课第04讲：平面向量基本定理及坐标表示
【考点梳理】
考点一：基底的概念和表示 考点二：平面向量基本定理的应用
考点三：平面向量的正交分解及其坐标表示 考点四：平面向量的线性运算坐标表示
考点五：由向量线性运算解决最值和范围问题 考点六：平面向量共线的坐标表示
考点七;平面向量的数量积的坐标表示 考点八：利用平行（共线）或垂直求参数
考点九：平面向量坐标表示的综合问题
【知识梳理】
知识点一：平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
知识点二：平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
知识点三 平面向量的坐标表示
1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.
对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.
平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
2.在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
知识点四 平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
知识点五 平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
知识点六 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.
注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
知识点七 平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2.
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(3)cos θ＝＝.
【题型归纳】
题型一：基底的概念和表示
1．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】只要两个向量不共线，便可作为平面内的一组基底，从而判断哪组向量共线即可.
【详解】对于A，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，A错误；
对于B，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，B错误；
对于C，，
和共线，不能作为一组基底，C正确；
对于D，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，D错误.
故选：C.
2．（2023下·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考期中）已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断选项中的两个向量是否平行，即可判断选项.
【详解】若两向量平行，则不可以作为基底，
由选项可知，ABD中的两个向量都不共线，可以作为基底，
C中的向量，满足，向量，不能作为基底.
故选：C
3．（2023下·陕西·高一校联考期中）如图，在中，设，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算法则求解.
【详解】由题意,
故选：D．
题型二：平面向量基本定理的应用
4．（2023下·山东滨州·高一统考期末）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，得，再根据向量的加减法则用把表示出来，从而可求出，进而可求出.
【详解】因为为平行四边形对角线上一点，交于点，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：C
5．（2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）在中，点是的中点，点在边上，且与交于点，若，则长是（ ）
A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4
【答案】D
【分析】设，，利用平面向量的数乘运算与基本定理得到，从而得解.
【详解】设，，
则，，
因为，，和，，分别共线，
所以存在实数，，使，，
所以，
又，
所以，解得，
所以，即，
故选：D.
6．（2023下·福建福州·高一校联考期末）在中，点为BC边上一点，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，过点P作PD∥AB，交AC于点D，作交AB于点，然后结合平面向量的线性运算及平面向量基本定理，即可得到结果．
【详解】如图，过点P作PD∥AB，交AC于点D，作交AB于点E，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴
故选：C．
题型三：平面向量的正交分解及其坐标表示
7．（2023下·全国·高一期中）已知点，向量，则向量＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出，进而得到.
【详解】由已知，得到，
因为，所以
故选：A.
8．（2020下·广东揭阳·高一统考期中）已知，若，则点的坐标为（ ）
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
【答案】D
【分析】设，根据平面向量的坐标运算得出，再根据，列出方程组可求出，从而得出点的坐标.
【详解】解：设，则，，
根据，得，
即，解得：，
所以点的坐标为.
故选：D.
9．（2023下·四川南充·高一统考期末）若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，H是边AC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】以为原点，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，且，表示出，，进而根据平面向量数量积的坐标表示表示出，结合二次函数的性质求解即可.
【详解】因为是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，H是边AC的中点，
所以以为原点，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，
所以，，，则，
设，且，
所以，，
所以，对称轴为直线，
当时，取最小值，
当时，取最大值，
所以的取值范围是.
故选：D.
题型四：平面向量的线性运算坐标表示
10．（2023上·江西宜春·高一校联考阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，得到点的坐标，根据求出，从而利用平面向量数量积公式求出答案.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
因为，所以，解得，
故，
则.
故选：B
11．（2023下·高一课时练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正数），则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】建系，利用P在边BC上设出点的坐标，然后找出满足的方程，利用基本不等式求解即可.
【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，，则，，，
设，
则.
因为，
所以，消去，得，
因为，，所以
，
当且仅当，结合，即时等号成立.
故的最小值为.
故选：D
12．（2023·全国·高一专题练习）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量为
【答案】C
【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可.
【详解】由题意，分别以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
在正八边形中，
由
过作
因为，所以，
所以
对A选项：，
故A正确，
对B选项：，故B正确，
对C选项：
所以
所以，故C不正确，
对D选项：
所以在方向上的投影向量为：
，故D正确
故选：C.
题型五：由向量线性运算解决最值和范围问题
13．（2022下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为，
因为，
所以有，
，设，，
因此有
因为，
所以有，
而，
所以，
当时，有最大值，当，xy有最小值，
所以的取值范围是
故选：B
【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.
14．（2023下·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一：设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出的范围
【详解】法一：因为在上，不妨设，
则（其中）
所以
，
因为，所以
法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中∠ABC=45°，设点，
其中，，
∴
∵
∴
故选：D.
15．（2021下·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，易知为减函数，即可得出结果.
【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，则，
因为，则，,，
又，
则，
则，
则，
又，
易知为减函数，
由单调性易得其值域为.
故选：B.
题型六：平面向量共线的坐标表示
16．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先计算，然后根据向量共线的坐标表示求参数即可.
【详解】因为，，，
所以，
又，
所以，
解得，
故选：B.
17．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知向量不共线，且，若与共线，则实数的值为（ ）
A．1或 B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为向量不共线，且，
若与共线，则存在实数，使得，
即，则可得，
解得或.
故选：A
18．（2023下·北京·高一101中学校考期末）已知向量.若与共线，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据向量坐标运算得，利用向量共线得到方程，解出即可.
【详解】，由与共线得
故选：A.
题型七;平面向量的数量积的坐标表示
19．（2023下·北京海淀·高一统考期末）已知向量，向量为单位向量，且，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，所以，又向量为单位向量，即，
所以
.
故选：C
20．（2023下·福建龙岩·高一校联考期中）设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的数量积的运算，结合平面向量的模的运算及夹角的运算，利用的定义，即可求解.
【详解】由向量，可得，
且，可得，
因为，可得，
所以.
故选：A.
21．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量，满足，且，则（ ）
A．4 B．5 C． D．2
【答案】B
【分析】设，根据向量的模、向量垂直列方程，求得的坐标，进而求得.
【详解】设，因为，，
所以，即①．
又因为，所以，
即，即②．
联立①②可得或，
所以或，所以.
故选：B
题型八：利用平行（共线）或垂直求参数
22．（2024·全国·高一假期作业）已知向量，，，若，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可.
【详解】由题意可知，，
所以，
则.
故选：C
23．（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知向量，，，且，
(1)求x的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，结合向量平行的坐标表示运算求解；
（2）根据题意可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，
因为，则，解得.
（2）由题意可得：，
因为，则，解得.
24．（2023下·河南郑州·高一校联考期中）平面内给出三个向量，，，求解下列问题：
(1)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围；
(2)若，求实数k的值．
【答案】(1)且
(2)
【分析】（1）因为与的夹角为锐角，且与不同向共线，从而得到不等式，求出实数的取值范围；
（2）根据向量垂直得到数量积为0，得到方程，求出实数k的值.
【详解】（1），，
因为与的夹角为锐角，所以，
且与不同向共线，即，解得且．
（2），，
因为，所以，
解得．
题型九：平面向量坐标表示的综合问题
25．（2023下·新疆伊犁·高一校联考期末）设，向量，，，且∥，．
(1)求；
(2)求向量与夹角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行、垂直的坐标运算可得，进而可得，结合向量的模长公式运算求解；
（2）根据题意可得，，进而可求，，代入夹角公式运算求解即可.
【详解】（1）因为∥，，则，解得，
即，，
可知，即，可得，
所以.
（2）由（1）可知：，，
可得，，
则，，
可得，
且，则，
所以向量与夹角为.
26．（2023下·贵州遵义·高一统考期末）已知向量，，其中．
(1)若，写出，，，之间应满足的关系式
(2)求证：；
(3)求代数式的最大值，并求其取得最大值时的值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)的最大值为，
【分析】（1）根据数量积得坐标运算及平面向量的模的坐标公式计算即可得出结论；
（2）根据，结合余弦函数的值域即可得证；
（3）利用（2）中的结论即可得出答案.
【详解】（1）由向量，，
得，
因为，
所以，
即，
所以，即，
所以；
（2）因为，
而，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以；
（3）由（2）可得，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为，此时.
【点睛】方法点睛：求向量的模的两种基本策略：
（1）字母表示下的运算：利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；
（2）坐标表示下的运算：若，则，于是有.
27．（2023上·辽宁大连·高一期末）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)①；②
(2).
【分析】（1）①根据平面向量基本定理即可求；②由三点共线可得，结合①列方程即可求出的值；
（2）设，根据平面向量基本定理可得，结合已知得到，与之间的关系，利用基本不等式可求得结果.
【详解】（1）①因为，所以，
故在中，
；
②因为三点共线，设，
所以，
因为，
所以，
所以
又由①及已知，，
所以，解得.
（2）因为，又三点共线，设，
所以，
又因为，所以，
所以，，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为.
【双基训练】
一、单选题
28．（2023上·辽宁葫芦岛·高一校考期末）在中，点在边上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意根据“添点（即向量的分解法则）减点（向量合成法则）”并结合，且注意到要分解成的线性组合即可求解.
【详解】首先有，又，所以有，
注意到，
所以有.
故选：C.
29．（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，不可以作为基底，A错误；
对于B，，共线，不可以作为基底，B错误；
对于C，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C正确；
对于D，，共线，不可以作为基底，D错误.
故选：C
30．（2023·全国·高一专题练习）下列命题不正确的是（ ）
A．若向量满足，则为平行向量
B．已知平面内的一组基底，则向量也能作为一组基底
C．模等于个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等
D．若是等边三角形，则
【答案】C
【分析】由平行向量定义判断A，根据基底的定义判断B，由相等向量的定义判断C，由向量夹角的定义判断D.
【详解】对于A，因为，所以当为零向量时，，是平行向量，
当不是零向量时，，也是平行向量，A正确；
对于B，为一组基底，不共线，
假设共线，则，
所以，
所以，矛盾，
所以不共线，
所以可以作为一组基底，B正确；
对于C，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，C错误；
对于D，为等边三角形，，D正确.
故选：C.
31．（2023下·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）设平面向量，，且，则=（ ）
A．1 B．14 C． D．
【答案】B
【分析】根据，求出把两边平方，可求得，把所求展开即可求解.
【详解】因为，所以又，
则
所以，
则
，
故选：
32．（2023下·江苏苏州·高一统考期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解.
【详解】由题意得，点为中点，设点，则
，解得，
所以点的坐标为.
故选:B．
33．（2023下·北京丰台·高一统考期末）已知向量，.若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量共线的坐标运算求解.
【详解】向量，.
若，则有，则.
故选：C
34．（2023下·贵州毕节·高一统考期末）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据求得，再结合向量夹角的坐标公式求解答案.
【详解】因为，
所以，
又因为，所以，解得，
则，所以，
所以.
故选：D
35．（2023下·江西新余·高一统考期末）如下图，在中，，，以BC的中点O为圆心，BC为直径在三角形的外部作半圆弧BC，点P在半圆上运动，设，，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，求得向量，利用向量的数量积的坐标运算公式，得到，即可求解.
【详解】以为原点，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图所示，
在中，，为的中点，所以，
则，其中，
可得，
所以，其中，
当时，即时，有最大值，最大值为.
故选：D.
二、多选题
36．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
B．，则存在唯一实数，使得
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．中，，，则为等边三角形
【答案】ACD
【分析】利用基底的定义可判断选项A；利用向量共线定理可判断选项B；利用数量积的定义可判断选项C、D.
【详解】由，为平面内两个不共线的向量，
所以设，所以，则不存在，
所以与不共线，则可作为平面的一组基底，故A对；
只有当时，若，则存在唯一实数，使得，故B错；
因为两个非零向量，，设与夹角为，
由，平方得，
，所以，又，所以，则与共线且反向，
故C对；
在中，，所以，，所以，
由，得，即，则为等边三角形，故D对.
故选：ACD
37．（2023下·山东青岛·高一青岛二中校考期末）已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为或
D．若向量与非零向量共线，则
【答案】ACD
【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，主要考查了两向量的夹角、投影向量、向量的平行与垂直的基本知识，一一验证即可.
【详解】由题意知，，，
则，因此A正确；
在方向上的投影向量为，因此B错误；
与垂直的单位向量的坐标为
或，因此C正确；
因为，，
若向量与向量共线，则，
解得，因此D正确.
故选：ACD.
38．（2023下·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）已知向量，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．与共线的单位向量一定为
C．当时，在上的投影的数量为
D．当时，与的夹角为锐角
【答案】AC
【分析】根据垂直的坐标运算公式求解即可判断A，根据共线和模的坐标公式计算判断B，根据数量积的几何意义求解判断C，根据数量积的符号判断D.
【详解】对于A：若，则，即，解得，故A正确；
对于B：设与共线的单位向量为，所以，解得，
所以与共线的单位向量为或，故B不正确；
对于C：当时，在上的投影数量为，故C正确；
对于D：，
当时，，所以与的夹角为锐角或零度角，故D不正确.
故选：AC.
39．（2023下·江西上饶·高一统考期末）在平面直角坐标系中，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．当时，在方向上的投影数量的取值范围是
C．的最大值是
D．若，且，则最大值为2
【答案】ACD
【分析】根据向量的坐标运算与余弦函数的性质可判断A；根据投影数量的概念与三角恒等变换、正弦型三角函数的性质结合即可得取值范围，可判断B；由向量的三角不等式可判断C；根据向量的三角不等式与均值不等式即可求最值可判断D.
【详解】，A正确；
当时，在方向上的投影数量为：
其中，所以，又或，所以，B错误；
由于，当，向量反向共线时等号成立，C正确；
因为，所以，当且仅当同向共线且时等号成立，D正确.
故选：ACD.
40．（2023下·云南文山·高一统考期末）若向量，满足，，，则（ ）
A．向量，的夹角为45°
B．向量在向量上的投影向量为
C．在平行四边形ABCD中，若=，=，则该平行四边形的面积是12
D．在四边形ABCD中，E是BC的中点．若，，且=，则该四边形是梯形
【答案】ABD
【分析】根据平面向量的数量积的定义计算即可判断A；根据投影向量的概念计算即可判断B；根据三角形的面积公式计算即可判断C；根据平面向量的线性运算即可判断D.
【详解】对于A，∵，，，∴，
且，则，故A正确；
对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确；
对于C，在平行四边形ABCD中，若，，
则该平行四边形的面积，故C错误；
对于D，取AD的中点F，如图，由，
得，即，
∴，且，即四边形ABEF是梯形，
∵E，F分别是BC，AD的中点，∴EF是四边形ABCD的中位线，
∴四边形ABCD是梯形，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题
41．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）若向量，，且，则实数x的值为 ．
【答案】/
【分析】由平行向量的坐标表示求解即可.
【详解】因为向量，，且，
所以，解得：.
故答案为：.
42．（2023下·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）向量，且，则 ．
【答案】/0.8
【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律可得，再建立平面直角坐标系，利用坐标求解夹角的余弦作答.
【详解】由，得，即，而，则，即，
以的方向分别为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，
则，于是，有，
所以.
故答案为：
43．（2023下·广西南宁·高一校联考期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】因为，所以，
所以，
又，，
所以，
因为，，三点共线，所以，
由图可知，，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用基本不等式求式子的最值，要注意一正、二定、三相等，正表示用基本不等式的，定表示用基本不等式后得到的需是定值，这个定值才是最值，三相等是指等号成立的条件是要存在.
44．（2023下·辽宁鞍山·高一校考期末）在矩形中，，，在上取一点M，在上取一点P，使得，，过M点作交于N点，若上存在一动点E，上存在一动点F，使得，则的最小值为 .
【答案】
【分析】方法一：建立合适的平面坐标系，设，，计算得，根据向量模的坐标表示，再利用消元法结合基本不等式即可求出的最值；方法二：利用，则，再根据即可得到最值.
【详解】方法一：由题意建立如图所示平面直角坐标系，
由题意可知，E，F分别在线段，上
，设，，
则，，
所以，
所以，，，
所以
，
设，则，
当且仅当，，时或，，时，取等号，
所以的最小值为.
方法二：因为，
所以，因为，
所以，故.
故答案为：.
四、解答题
45．（2024上·辽宁丹东·高一统考期末）己知向量以为基底的分解式为，其中.
(1)求m，n的值；
(2)若，且，求k的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量基本定理，列方程组求m，n的值；
（2）利用向量共线的条件，计算k的值.
【详解】（1），
则有，解得.
（2），由，有，
即，则，解得.
46．（2024上·辽宁大连·高一统考期末）已知向量，．
(1)求的坐标及；
(2)若与共线，求实数的值．
【答案】(1)
(2)1或
【分析】（1）由向量坐标的线性运算以及模的坐标公式即可得解.
（2）由向量平行的充要条件列出方程即可得解.
【详解】（1）由题意，，所以，
所以.
（2）由题意与平行，
所以当且仅当，化简得，
解得，即实数的值为1或-1.
47．（2024上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)设，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的线性运算法则计算；
（2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可得出答案；
（3）由题意，可设，代入中并整理可得，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后结合二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）由向量的线性运算法则，可得，①
，②
因为M为线段中点，则，
联立①②得：，
整理得：．
（2）由AM与BD交于点N，得，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．
所以，即．
（3）由题意，可设，
代入中并整理可得
．
又，故，可得：，．
因为，所以，．
在单调递增，
则当时，，当时，，
所以，的取值范围为．
48．（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解.
（2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．
（2）因为， ，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
49．（2023下·广东阳江·高一广东两阳中学校考期末）在中，已知，，，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点．
(1)当且P是边BC上的中点时，设与交于点，求线段的长；
(2)设，若，求线段长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由均为中点及重心的性质判断出点的位置，进而用基向量表示出，再根据数量积求得的模长；
（2）根据共线向量定理用向量表示点的位置，再根据平面向量基本定理用一组基向量表示出，分别代入题目条件的式子并化简变形，后用基本不等式即可求得最值.
【详解】（1）设，，当，得是的中点，
又是的中点时，则是的重心，
，
.
（2）设，则，
，
由，得：
∴，因为且，
所以即，
∴，
令，则
，
当且仅当即时取到等号，所以的最大值是，
又，
故线段的最小值为.新课第04讲：平面向量基本定理及坐标表示
【考点梳理】
考点一：基底的概念和表示 考点二：平面向量基本定理的应用
考点三：平面向量的正交分解及其坐标表示 考点四：平面向量的线性运算坐标表示
考点五：由向量线性运算解决最值和范围问题 考点六：平面向量共线的坐标表示
考点七;平面向量的数量积的坐标表示 考点八：利用平行（共线）或垂直求参数
考点九：平面向量坐标表示的综合问题
【知识梳理】
知识点一：平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
知识点二：平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
知识点三 平面向量的坐标表示
1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.
对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.
平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
2.在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
知识点四 平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
知识点五 平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
知识点六 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.
注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
知识点七 平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2.
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(3)cos θ＝＝.
【题型归纳】
题型一：基底的概念和表示
1．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．（2023下·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考期中）已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023下·陕西·高一校联考期中）如图，在中，设，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二：平面向量基本定理的应用
4．（2023下·山东滨州·高一统考期末）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）在中，点是的中点，点在边上，且与交于点，若，则长是（ ）
A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4
6．（2023下·福建福州·高一校联考期末）在中，点为BC边上一点，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
题型三：平面向量的正交分解及其坐标表示
7．（2023下·全国·高一期中）已知点，向量，则向量＝（ ）
A． B． C． D．
8．（2020下·广东揭阳·高一统考期中）已知，若，则点的坐标为（ ）
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
9．（2023下·四川南充·高一统考期末）若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，H是边AC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：平面向量的线性运算坐标表示
10．（2023上·江西宜春·高一校联考阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·高一课时练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正数），则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
12．（2023·全国·高一专题练习）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量为
题型五：由向量线性运算解决最值和范围问题
13．（2022下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023下·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021下·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型六：平面向量共线的坐标表示
16．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知向量不共线，且，若与共线，则实数的值为（ ）
A．1或 B． C． D．或
18．（2023下·北京·高一101中学校考期末）已知向量.若与共线，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
题型七;平面向量的数量积的坐标表示
19．（2023下·北京海淀·高一统考期末）已知向量，向量为单位向量，且，则（ ）
A． B． C．2 D．3
20．（2023下·福建龙岩·高一校联考期中）设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（ ）
A．5 B． C． D．
21．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量，满足，且，则（ ）
A．4 B．5 C． D．2
题型八：利用平行（共线）或垂直求参数
22．（2024·全国·高一假期作业）已知向量，，，若，（ ）
A． B． C． D．
23．（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知向量，，，且，
(1)求x的值；
(2)若，求实数的值.
24．（2023下·河南郑州·高一校联考期中）平面内给出三个向量，，，求解下列问题：
(1)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围；
(2)若，求实数k的值．
题型九：平面向量坐标表示的综合问题
25．（2023下·新疆伊犁·高一校联考期末）设，向量，，，且∥，．
(1)求；
(2)求向量与夹角的大小.
26．（2023下·贵州遵义·高一统考期末）已知向量，，其中．
(1)若，写出，，，之间应满足的关系式
(2)求证：；
(3)求代数式的最大值，并求其取得最大值时的值．
27．（2023上·辽宁大连·高一期末）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.
【双基训练】
一、单选题
28．（2023上·辽宁葫芦岛·高一校考期末）在中，点在边上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
29．（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
30．（2023·全国·高一专题练习）下列命题不正确的是（ ）
A．若向量满足，则为平行向量
B．已知平面内的一组基底，则向量也能作为一组基底
C．模等于个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等
D．若是等边三角形，则
31．（2023下·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）设平面向量，，且，则=（ ）
A．1 B．14 C． D．
32．（2023下·江苏苏州·高一统考期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
33．（2023下·北京丰台·高一统考期末）已知向量，.若，则实数（ ）
A． B． C． D．
34．（2023下·贵州毕节·高一统考期末）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
35．（2023下·江西新余·高一统考期末）如下图，在中，，，以BC的中点O为圆心，BC为直径在三角形的外部作半圆弧BC，点P在半圆上运动，设，，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
二、多选题
36．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
B．，则存在唯一实数，使得
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．中，，，则为等边三角形
37．（2023下·山东青岛·高一青岛二中校考期末）已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为或
D．若向量与非零向量共线，则
38．（2023下·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）已知向量，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．与共线的单位向量一定为
C．当时，在上的投影的数量为
D．当时，与的夹角为锐角
39．（2023下·江西上饶·高一统考期末）在平面直角坐标系中，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．当时，在方向上的投影数量的取值范围是
C．的最大值是
D．若，且，则最大值为2
40．（2023下·云南文山·高一统考期末）若向量，满足，，，则（ ）
A．向量，的夹角为45°
B．向量在向量上的投影向量为
C．在平行四边形ABCD中，若=，=，则该平行四边形的面积是12
D．在四边形ABCD中，E是BC的中点．若，，且=，则该四边形是梯形
三、填空题
41．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）若向量，，且，则实数x的值为 ．
42．（2023下·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）向量，且，则 ．
43．（2023下·广西南宁·高一校联考期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为 .
44．（2023下·辽宁鞍山·高一校考期末）在矩形中，，，在上取一点M，在上取一点P，使得，，过M点作交于N点，若上存在一动点E，上存在一动点F，使得，则的最小值为 .
四、解答题
45．（2024上·辽宁丹东·高一统考期末）己知向量以为基底的分解式为，其中.
(1)求m，n的值；
(2)若，且，求k的值.
46．（2024上·辽宁大连·高一统考期末）已知向量，．
(1)求的坐标及；
(2)若与共线，求实数的值．
47．（2024上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)设，求的取值范围．
48．（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
49．（2023下·广东阳江·高一广东两阳中学校考期末）在中，已知，，，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点．
(1)当且P是边BC上的中点时，设与交于点，求线段的长；
(2)设，若，求线段长度的最小值．
