新课第05讲：余弦定理、正弦定理
【考点梳理】
考点一：正弦定理解三角形
考点二：正弦定理判定三角形解的个数
考点三：正弦定理求外接圆的半径
考点四：正弦定理边角互化的应用
考点型五：余弦定理解三角形
考点六：余弦定理边角互化的应用
考点七：三角形面积公式问题
考点八：正弦定理和余弦定理的综合应用
【知识梳理】
知识一．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝
知识二：角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
知识三：解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
【题型归纳】
题型一：正弦定理解三角形
1．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）在中，若，，，则可能是（ ）
A．135° B．105°或15° C．45°或135° D．15°
【答案】B
【分析】利用正弦定理可求的值，故可得正确的选项.
【详解】由正弦定理可得，故，
故，而，故或，
故或，
故选：B.
2．（2023下·广东佛山·高一校考期中）的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】由同角的平方关系和正弦定理求解.
【详解】由得.
由正弦定理得.
故选：A
3．（2023下·安徽宣城·高一统考期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】利用正弦定理求出，进而得出答案．
【详解】因为，，，
所以由正弦定理得，得，
因为，，所以，所以或，则或．
故选：D．
题型二：正弦定理判定三角形解的个数
4．（2022下·福建莆田·高一莆田一中校考期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】由三角形内角和可判断A项，由三角形中大边对大角可判断B项，由正弦定理解三角形可判断C项，由余弦定理解三角形可判断D项.
【详解】对于A项，由，，可得，所以三角形只有一解；
对于B项，由，，，可得，所以，此时三角形有唯一的解；
对于C项，由正弦定理，可得，
可得B有两解，所以三角形有两解；
对于D项，由余弦定理得，
可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．
故选：C．
5．（2023下·浙江台州·高一温岭中学校考期末）在中角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A．当时， B．当时，有两个解
C．当时，只有一个解 D．对一切，都有解
【答案】C
【分析】由正弦定理、正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，，，
所以由正弦定理，即，
当时，又，所以或，故A错误；
当时，又，此时无解，故B、D错误；
当时，则，又，此时只有一解，即只有一个解，故C正确；
故选：C
6．（2023下·江苏盐城·高一校联考期中）已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理即可结合图形关系得，即可求解.
【详解】由，要使三角形有两解，就是要使以为圆心，半径为的圆与有两个交点，
过作，则，
要使以为圆心，半径为的圆与有两个交点，则需要，
解得的取值范围是．
故选：B．
题型三：正弦定理求外接圆的半径
7．（2023下·广东深圳·高一校联考期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和为得到，利用正弦定理得到外接圆半径，得到面积.
【详解】在中，，，所以.
设的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得，
解得R＝1，故的外接圆的面积.
故选：B
8．（2023下·宁夏银川·高一银川一中校考期中）的三个内角，，所对的边分别为，，，，，，则的外接圆的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由余弦定理求出，再由正弦定理计算可得.
【详解】由余弦定理得，
所以．
故选：C．
9．（2022下·山东青岛·高一山东省莱西市第一中学校考期中）在中，已知，，，则下列选项中正确的为（ ）
A． B．外接圆的半径为
C．的面积为 D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理可得，进而可得，，然后利用三角形面积公式可得，即得.
【详解】因为，，，
∴，，
∴，又，
∴，故B正确，D错误；
∴，，，故AC错误.
故选：B.
题型四：正弦定理边角互化的应用
10．（2023下·安徽芜湖·高一统考期末）已知的三个角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】根据正弦定理将已知的等式统一成边的形式，化简即可得结论.
【详解】因为，所以由正弦定理得，
所以，所以为等腰三角形，
故选：A
11．（2023下·辽宁·高一校联考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理进行边角转化，即可得结果.
【详解】由正弦定理可得，则，
所以.
故选：A.
12．（2023下·四川成都·高一统考期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足，则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上皆有可能
【答案】B
【分析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角即可求解.
【详解】由及正弦定理，得,
因为，所以,
所以,
即，
，所以，
则
所以，
所以为直角三角形.
故选：B.
题型五：余弦定理解三角形
13．（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）在中，若，则角的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用余弦定理求得，即可求解.
【详解】因为，由余弦定理可得，
因为，所以.
故选：C.
14．（2023下·江西萍乡·高一统考期中）设内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理求解即可；
【详解】在中，由余弦定理得：
整理得，，解得：或.
检验或满足题意，
故选：C.
15．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，求的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由余弦定理变形得到，代入求解即可.
【详解】，
即，解得，负值舍去.
故选：A
题型六：余弦定理边角互化的应用
16．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）记的内角A，B，C对边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
【详解】由，
由正弦定理得，即，
，，
所以.
故选：A
17．（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期中）在△ABC中，，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理表示出和，代入已知等式整理可得到或，即可确定三角形的形状.
【详解】由余弦定理可得：，，
代入中，
得，
等式两边同乘得：
，
移项合并得：，
整理得：，
即，
可得或，
则三角形为等腰三角形或直角三角形，
故选：D.
18．（2023下·福建福州·高一校联考期中）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案.
【详解】因为，所以，整理得，
又，所以，
即，即，
又，所以，得，
因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形.
故选：D
题型七：三角形面积公式问题
19．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中）在中，角的对边分别为的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合正弦定理，和余弦定理求出，进而得到，应用面积公式即可.
【详解】由，得，
，，
，
即，解得，
，，，
.
故选：C
20．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）已知的外接圆半径为4，，，则的面积S为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理、面积公式、二倍角的正弦公式求解.
【详解】由，，
解得，
由正弦定理可得，，
所以，
，
.
故选：D
21．（2023下·陕西宝鸡·高一统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理面积公式和余弦定理求解即可.
【详解】因为的面积为，，
所以，即.
所以，
所以.
故选：D.
题型八：正弦定理和余弦定理的综合应用
22．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，的周长为3，求的面积S.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据倍角公式结合三角形内角和关系分析求解；
（2）由（1）可知：，由题意可知，利用余弦定理可得，代入面积公式即可得结果.
【详解】（1）因为，则，
即，解得.
（2）由（1）可知：，且，可得，
由题意可知，即，
由余弦定理可得，
即，解得，
所以的面积.
23．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若的面积为6，，求b的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式化简得，即可求解.
（2）利用三角形面积公式求解，然后利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）因为，所以.
因为，所以，又，，所以.
（2）因为，所以.
由余弦定理可得，
所以.
24．（2023上·江西·高一统考期中）已知内角，，的对边长分别为，，，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合正弦定理的边角互化及余弦定理即可求解；
（2）先由正弦定理表示出，得到，由，求出的面积的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理得：，
则
由余弦定理得：，
又，所以.
（2）在中，
因为，，
由正弦定理得：，
.
又.
又因为为锐角三角形，
所以，，故，所以
故，所以
所以面积的取值范围是
【双基训练】
一、单选题
25．（2023下·河北邯郸·高一统考期中）在中，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理、三角形面积公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
则的面积为.
故选：A
26．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中）中，内角的对边分别为，以下选项为正确的是（ ）
A．若，则一定为锐角三角形
B．若，则为等腰三角形
C．，则为锐角三角形
D．
【答案】D
【分析】由余弦定理判断A，由正弦函数性质判断B，举反例判断C，由数量积的定义及余弦定理判断D．
【详解】A，由已知，为锐角，但的范围不确定，A错；
B，是的内角，则，所以或，
即或，为等腰三角形或直角三角形，B错；
C，，如，，则，但为钝角三角形，C错；
D，，D正确，
故选：D．
27．（2023下·河北邯郸·高一统考期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理计算即可.
【详解】由正弦定理知：得.
故选：B
28．（2023下·山西运城·高一统考期中）如图，四边形四点共圆，其中为直径，，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用令可得，，在、应用正弦定理，结合三角恒等变换可得，进而求外接圆直径，最后应用勾股定理求.
【详解】令，则，故，，
中，中，
又，故，
所以，即，
所以外接圆直径，则.
故选：B
29．（2023下·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则外接圆的直径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知结合余弦定理求出，再结合正弦定理即可得到答案.
【详解】在中，由余弦定理得，则，
又，由正弦定理有（为外接圆半径），
∴ ，
故外接圆的直径为.
故选：D
30．（2023下·甘肃武威·高一校联考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理求出，再利用三角形面积公式即可得到答案.
【详解】因为，
由余弦定理得，所以，
所以的面积.
故选：A.
31．（2023下·福建福州·高一福州黎明中学校考期中）设锐角的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到范围.
【详解】因为△为锐角三角形，所以，，，
即，，，所以，；
又因为，所以，又因为和正弦定理得，
由，即
，
所以，令，则，
又因为函数在上单调递增，所以函数值域为，
则的周长的取值范围为.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题关键是利用正弦定理实现边角的转化得到周长关于角的函数关系，借助二次函数的单调性求最值.
32．（2023下·江西吉安·高一校联考期中）设△ABC的内角A，B，C满足，面积S满足，角A，B，C的对边分别为a，b，c．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】首先可由得到，然后利用所给公式结合和差公式、倍角公式可化得，然后结合可求得外接圆半径的范围，然后可判断②③④.
【详解】因为，
所以，即，
因为，
所以
，
所以，故①正确；
设的外接圆半径为，
因为由三角形面积公式和正弦定理有，
所以，
所以，故②正确；
，故③错误，
，故④正确，
故选：B.
二、多选题
33．（2023下·湖南株洲·高一统考期中）设的内角的对边分别为，若则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据求解即可.
【详解】因为，所以.
又因为，.所以或.
故选：CD.
34．（2023下·陕西商洛·高一校考期中）在中，角所对的边为， 则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据余弦定理可判断A；根据正弦定理可判断B、C；根据三角形中大角对大边可判断D.
【详解】对于A，在中，有成立，A错误；
对于B，由正弦定理知，(R为外接圆半径)，
故，B正确；
对于C，在中，，
由正弦定理得，故，C正确；
对于D，根据三角形中大角对大边可知若， 则，D正确，
故选：BCD
35．（2023下·广东佛山·高一校考期中）在中，角所对的边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若是等腰三角形，则
C．若，则是直角三角形 D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据余弦定理和正弦定理即可得出答案.
【详解】因为，由正弦定理得，
对于A选项，由余弦定理得，
，，故A错误.
对于B选项，若是等腰三角形，显然，
又当时，有成立，显然此时不能构成三角形，
则只能是，再根据，
由余弦定理得，，
在中，，故B正确.
对于C选项，若，则，
又，则，
又，则，
在中，，所以，即，故C正确.
对于D选项，由余弦定理得，
，，故D正确.
故选:BCD.
36．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若是锐角三角形，则
C．若，则一定是等腰三角形
D．若为非直角三角形，则
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理、三角形内角和定理、比例的性质，结合诱导公式、正弦函数的单调性逐一判断即可.
【详解】A：由正弦定理可知：
，因此本选项正确；
B：因为是锐角三角形，
所以，
因为是锐角三角形，
所以，
因此由，所以本选项正确；
C：根据正弦定理由，
因为，所以，
因此由，或，
由，此时该三角形是等腰三角形，
由，此时该三角形是直角三角形，
所以本选项不正确，
D：在非直角三角形中，
有
，所以本选项正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：本题的关键在于应用正弦定理和比例的性质.
三、填空题
37．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）在中，若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】设外接圆半径为，则由正弦定理可得：
故答案为：
38．（2023下·山东青岛·高一统考期中）在中，三边长分别为，最大角的正弦值为，则 ．
【答案】5
【分析】由条件结合余弦定理列方程求即可.
【详解】因为，
所以的最大内角为边长的边所对应的角，
因为最大角的正弦值为，又对于非等边三角形，最大角大于，
所以最大角的余弦为，
由余弦定理可得，又
所以.
故答案为：.
39．（2023下·安徽滁州·高一校考期中）的内角A、B、C的对边分别为，b，c，已知，且，则的面积为 ．
【答案】/
【分析】由正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据余弦定理可得，进而可得的面积.
【详解】由，结合正弦定理可得，故，
故，因为，故，又，故.
由余弦定理，则，解得.
则.
故答案为：
40．（2023下·福建福州·高一校联考期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，则的外接圆的半径为 ．
【答案】
【分析】根据正弦定理边角互换与余弦定理化解原式，求解出角A，最后根据正弦定理求出的外接圆的半径.
【详解】由正弦定理得，则
，
所以的外接圆的半径为．
故答案为：.
41．（2023下·山西运城·高一统考期中）在锐角中，角所对的边为，若，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理边化角可求得，得到；利用正弦定理和余弦定理角化边可求得；利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可将所求式子化为，结合的范围，由正弦型函数值域求法可求得结果.
【详解】由得：，
，又，，，
又，，
则由得：，
，解得：；
由正弦定理得：，
；
，，，，
，即的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
42．（2023下·云南保山·高一校考期中）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.
(1)求A；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据两向量平行有，利用正弦定理化为求；利用余弦定理求值，进而利用求面积.
【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得,
又，从而,因为，所以.
（2）由余弦定理得,又，，，
所以，即，因为，所以，
设的面积为，.
43．（2023上·河北保定·高一校联考期中）已知锐角内角及对边，满足.
(1)求的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合，可得的值．
（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由已知求出的取值范围，再利用正弦函数的性质即可求解其范围．
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又因为，
所以，，
可得，由，可得.
（2）因为，由正弦定理，
可得，
可得
，
因为锐角三角形中，所以，解得，所以，
所以，可得.
周长的取值范围为.
44．（2023下·天津和平·高一统考期末）在中，角所对的边分别为，.
(1)求的值；
(2)若，求的面积；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理边化角即可得结果；
（2）根据题意利用余弦定理求得，再结合面积公式运算求解；
（3）根据三角形内角和关系可得，结合三角恒等变换运算求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得.
（2）若，则，
由余弦定理，即，
整理得，解得或（舍去），
所以的面积.
（3）因为，则，
则，
又因为，即，则，
可得，
所以.
45．（2023下·安徽合肥·高一安徽省肥西农兴中学校考期中）已知分别为三个内角得对边，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知由余弦定定理化简得，再利用余弦定理求得，从而可求角；
（2）利用余弦定理及已知条件求得，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，由余弦定理得：，
整理得：，所以，即，所以，
又，所以.
（2）由余弦定理得：，
化简得，解得，所以，
所以的面积为.
46．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）已知中，角所对的边分别为，且的面积为.
(1)若，求的值.
(2)当为何值时，取得最大值，并求出该值.
【答案】(1)
(2)当时，取得最大值
【分析】（1）先求得，然后根据正弦定理以及三角形的面积公式求得的值.
（2）利用正弦定理、余弦定理以及三角函数最值等知识求得正确答案.
【详解】（1）由于，所以为锐角，
所以，解得，
依题意，，
由正弦定理得，
由于为锐角，所以.
（2）由（1）得，
由余弦定理得，
所以，
所以当时，取得最大值为.
47．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c且满足．
(1)求角；
(2)若D点在线段BC上，且AD平分，若，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，最后结合两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解；
（2）设，则，运用正弦定理、余弦定理，求出，，，再结合三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以，
即，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）因为点在线段上，且平分，
则，
设，，，则，
由正弦定理可得，，，即，，
则，
由余弦定理可得，，解得，
又，
则，
由余弦定理得，即，解得（负值舍去），
则，，
故的面积为．
新课第05讲：余弦定理、正弦定理
【考点梳理】
考点一：正弦定理解三角形
考点二：正弦定理判定三角形解的个数
考点三：正弦定理求外接圆的半径
考点四：正弦定理边角互化的应用
考点型五：余弦定理解三角形
考点六：余弦定理边角互化的应用
考点七：三角形面积公式问题
考点八：正弦定理和余弦定理的综合应用
【知识梳理】
知识一．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝
知识二：角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
知识三：解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
【题型归纳】
题型一：正弦定理解三角形
1．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）在中，若，，，则可能是（ ）
A．135° B．105°或15° C．45°或135° D．15°
2．（2023下·广东佛山·高一校考期中）的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．6 B． C．8 D．
3．（2023下·安徽宣城·高一统考期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B．或 C．或 D．或
题型二：正弦定理判定三角形解的个数
4．（2022下·福建莆田·高一莆田一中校考期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．（2023下·浙江台州·高一温岭中学校考期末）在中角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A．当时， B．当时，有两个解
C．当时，只有一个解 D．对一切，都有解
6．（2023下·江苏盐城·高一校联考期中）已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：正弦定理求外接圆的半径
7．（2023下·广东深圳·高一校联考期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·宁夏银川·高一银川一中校考期中）的三个内角，，所对的边分别为，，，，，，则的外接圆的直径为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022下·山东青岛·高一山东省莱西市第一中学校考期中）在中，已知，，，则下列选项中正确的为（ ）
A． B．外接圆的半径为
C．的面积为 D．
题型四：正弦定理边角互化的应用
10．（2023下·安徽芜湖·高一统考期末）已知的三个角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
11．（2023下·辽宁·高一校联考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
12．（2023下·四川成都·高一统考期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足，则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上皆有可能
题型五：余弦定理解三角形
13．（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）在中，若，则角的值是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023下·江西萍乡·高一统考期中）设内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．
15．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，求的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型六：余弦定理边角互化的应用
16．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）记的内角A，B，C对边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期中）在△ABC中，，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
18．（2023下·福建福州·高一校联考期中）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
题型七：三角形面积公式问题
19．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中）在中，角的对边分别为的面积为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）已知的外接圆半径为4，，，则的面积S为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2023下·陕西宝鸡·高一统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则（ ）
A． B． C．4 D．
题型八：正弦定理和余弦定理的综合应用
22．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，的周长为3，求的面积S.
23．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若的面积为6，，求b的长.
24．（2023上·江西·高一统考期中）已知内角，，的对边长分别为，，，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围.
【双基训练】
一、单选题
25．（2023下·河北邯郸·高一统考期中）在中，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
26．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中）中，内角的对边分别为，以下选项为正确的是（ ）
A．若，则一定为锐角三角形
B．若，则为等腰三角形
C．，则为锐角三角形
D．
27．（2023下·河北邯郸·高一统考期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
28．（2023下·山西运城·高一统考期中）如图，四边形四点共圆，其中为直径，，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
29．（2023下·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则外接圆的直径是（ ）
A． B． C． D．
30．（2023下·甘肃武威·高一校联考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
31．（2023下·福建福州·高一福州黎明中学校考期中）设锐角的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．（2023下·江西吉安·高一校联考期中）设△ABC的内角A，B，C满足，面积S满足，角A，B，C的对边分别为a，b，c．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
二、多选题
33．（2023下·湖南株洲·高一统考期中）设的内角的对边分别为，若则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
34．（2023下·陕西商洛·高一校考期中）在中，角所对的边为， 则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
35．（2023下·广东佛山·高一校考期中）在中，角所对的边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若是等腰三角形，则
C．若，则是直角三角形 D．若，则
36．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若是锐角三角形，则
C．若，则一定是等腰三角形
D．若为非直角三角形，则
三、填空题
37．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）在中，若，，则的值为 ．
38．（2023下·山东青岛·高一统考期中）在中，三边长分别为，最大角的正弦值为，则 ．
39．（2023下·安徽滁州·高一校考期中）的内角A、B、C的对边分别为，b，c，已知，且，则的面积为 ．
40．（2023下·福建福州·高一校联考期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，则的外接圆的半径为 ．
41．（2023下·山西运城·高一统考期中）在锐角中，角所对的边为，若，且，则的取值范围是 .
四、解答题
42．（2023下·云南保山·高一校考期中）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.
(1)求A；
(2)若，，求的面积.
43．（2023上·河北保定·高一校联考期中）已知锐角内角及对边，满足.
(1)求的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
44．（2023下·天津和平·高一统考期末）在中，角所对的边分别为，.
(1)求的值；
(2)若，求的面积；
(3)求的值.
45．（2023下·安徽合肥·高一安徽省肥西农兴中学校考期中）已知分别为三个内角得对边，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
46．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）已知中，角所对的边分别为，且的面积为.
(1)若，求的值.
(2)当为何值时，取得最大值，并求出该值.
47．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c且满足．
(1)求角；
(2)若D点在线段BC上，且AD平分，若，且，求的面积．
