数学人教A版（2019）必修第一册3.1.1函数的概念 课件（共43张ppt）

(共43张PPT)
3.1 《 函 数 的 概 念 》
（ 2课时 ）
人教版必修第一册A版
教学目标
学习目标：1、在初中所学函数概念的基础上，通过数集之间的对应关系进一步的认识函数的概念及其三要素；2、掌握判断两个函数是否为同一函数的一般方法；3、能求出函数在某一点处的函数值；能求出一个简单函数的定义域与值域.
教学重点：用集合和对应的观点理解函数的定义；求函数的定义域
教学难点：函数符号y=f(x)的理解.
01
复习导入
初中函数的变量定义法
在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个取值，y都有 ，我们就说y是x的 ，其中x称为 ，y称为 .
函数
唯一确定的值与之对应
自变量
因变量
例 某市中华文具店销售一种单价为2元的铅笔，设文具店销售这种铅笔的数量为x支，铅笔的销售额为y元，则有
自变量x 0 1 2 3 4 5 6 7 ……
因变量y=2x ……
0
2
4
6
8
10
12
14
这个例子中的铅笔销售额 y 就是铅笔销售量 x 的函数.
初中函数的变量定义法：具有唯一性的因变量就叫做自变量的函数.
01
复习导入
思 考
进入高中，我们又会从什么角度来定义函数呢？高中关于函数又会有哪些新的概念出现？
02
情景问题
恩格尔系数r是由德国统计学家恩格尔所创，且
一个家庭的收入越少，家庭收入中用来购买食物的支出所占比例就越大，即恩格尔系数就越大;反之，恩格尔系数就越小
02
情景问题
情景：回顾我国改革开放40多年的历程，恩格尔系数稳步下降.它不仅从一个侧面佐证了我国经济已从高速发展迈向高质量发展，更是民众分享到改革开放红利，告别求温饱阶段，走向美好生活的生动注解.
02
情景问题
问题：下表为近8年来我国居民恩格尔系数情况，请问恩格尔系数 r 与年份 x 之间有什么关系呢？
02
如果我们把近8年的年份组成的整体用数集A表示，近8年来我国的恩格尔系数组成的整体用数集B表示，恩格尔系数r的求解过程称之为数集A与数集B的对应关系或对应法则(这个对应法则通常用小写字母f表示)，则恩格尔系数 r 与年份 x 之间的关系可表示如下图所示：
情景问题
数学上就把从数集A到数集B的这种对应关系叫做函数.
03
探究新知——函数的概念
(一)高中函数的映射定义法
像上面情景问题这样，一般地，设是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，对于集合 中的任意一个数 ,在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称映射 为从集合 到集合 的一个函数 ,
记作
1、自变量与定义域: 其中 叫做自变量，的取值范围 叫做函数 的定义域；
2、函数值与值域: 当 时，与相对应的值称为函数在点处的函数值，记作 =
所有的函数值组成的集合 称为函数的值域，且函数的值域C只是数集的一个子集（即 ）
03
探究新知——函数的概念
1、高中函数的映射定义法
像上面情景问题这样，一般地，设 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系,使对于集合 中的任意一个数 ,在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称映射为从集合A到集合 B的一个函数.
记作
(1)自变量与定义域:其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域.
(2)函数值与值域:当时，与相对应的值,称为函数在点处的函数值，记作
函数值组成的集合称为函数的值域，且函数的值域是集合的子集.
高中函数的映射定义法：定义在两个非空数集之间的映射就叫做函数.
03
探究新知——函数的概念
1、高中函数的映射定义法
例如 情景问题中近8年年份组成的数集A中的每一个元素x叫做自变量，数集A叫做定义域，近8年来我国的恩格尔系数 r 组成的数集B中的元素叫做函数值，数集 B 叫做值域，恩格尔系数的求解过程就叫做对应法则，
故 就叫做从数集A到数集B的函数， 记作 ：
当 时，对应的 r = 33%就叫函数在点 处的函数值，记作
03
探究新知——函数的概念
1、高中函数的映射定义法
03
探究新知——函数的概念
2、函数的三要素
其中函数 的定义域 为 自然数集{ 0,1,2,3,4,5,6，…}
值域为 集合 { 0，2,4,6,8,10,12,…}，且
对应法则 为 “自变量乘以2”
再如 某市中华文具店销售一种单价为2元的铅笔，设文具店销售这种铅笔的数量为 支，铅笔的销售额为 元，
且当自变量 时，对应的函数值为
0
1
2
3
4
5
6
…
数集A
通过对应法则“自变量乘以2” 处理后
数集B
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
…
03
探究新知——函数的概念
2、函数的三要素
其中函数 f(x) 的定义域为自然数集 N
值域为集合C={ y ∣y=2x , x∈N }
对应法则f为“自变量乘以2”
再如 某市中华文具店销售一种单价为2元的铅笔，设文具店销售这种铅笔的数量为x支，铅笔的销售额为y元，
由函数的定义及实例可知，每一个函数都是由定义域、值域以及对应法则组成，因此定义域、值域、对应法则称为函数的三要素.
04
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，判断下列对应关系是否为函数？如果是函数，请指出函数的解析式、定义域、对应关系与值域分别是什么？
小组合作、讨论交流1
1
2
3
数集A
数集B
1
2
3
4
5
6
对应关系“自变量乘以2”
一对一
-1
1
-2
2
-3
3
数集A
数集B
1
4
9
对应关系“自变量求平方”
多对一
04
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，判断下列对应关系是否为函数：
小组合作、讨论交流1
1
4
9
数集A
数集B
1
-1
2
-2
3
-3
对应关系“自变量开平方”
一对多
04
成果展示1
解：
∵ 按照对应关系:“自变量乘以2”
对于数集A中的任意一个数,
在数集B中都有唯一确定的数与它对应
∴ 这道题的映射是函数
且函数解析式为：
定义域为：
对应关系为：“自变量乘以2”
值域为：, 且
1
2
3
数集A
数集B
1
2
3
4
5
6
对应关系“自变量乘以2”
一对一
04
成果展示1
解：
∵ 按照对应关系:“自变量求平方”
对于数集A中的任意一个数,
在数集B中都有唯一确定的数与它对应
∴ 这道题的映射是函数
且函数解析式为：
定义域为：
对应关系为：“自变量求平方”
值域为：, 且
-1
1
-2
2
-3
3
数集A
数集B
1
4
9
对应关系“自变量求平方”
多对一
04
成果展示1
解：
∵ 按照对应关系:“自变量开平方”
对于数集A中的任意一个数,
在数集B中都有2个数与它对应
例如当时，
∴ 不满足函数的定义
故这道题的对应关系不是函数
1
4
9
数集A
数集B
1
-1
2
-2
3
-3
对应关系“自变量开平方”
一对多
04
提升演练
例2. 判断下列图象能表示函数图象的是（ ）
D
04
提升演练
例3. 已知函数分别由下表给出:
4
4 5 6
1 3 1
1 2 3
4 5 4
则 ；
3
04
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，求出下列函数的定义域：
小组合作、讨论交流1
(1) (2)
(3) (4)
(5)
（6）已知函数 的定义域为（0,1），则的定义域为 ；（7）已知函数的定义域为（0,1），则的定义域为 ；
求函数定义域的方法提示：
（1）当f(x)为整式时，则定义域为R；
（2）当f(x)为分式时，则要满足“分母≠0”；
（3）当f(x)为二次根式时，则要满足 “被开方数≥0”；当f(x)为三次根式时，被开方数∈R.
（4）当f(x)为零次幂时，则要满足 “底数≠0”（∵规定任何不为0的数的0次幂都为1，即）；
（5）综合型,需要综合考虑；
（6）无解析式时，通常要用换元法.
05
成果展示1
例 求下列函数的定义域 ：(1)
解：如图所示
∵一次函数 解析式为整式
∴原函数f(x)的定义域为
注：自本节以后，所有的数集尽量用区间表示，会更加的方便.
05
成果展示1
例 求下列函数的定义域 ：(2)
解：∵原函数解析式为分式，
∴满足分母
即
故原函数f(x)的定义域为
或
05
成果展示1
例 求下列函数的定义域 ：(3)
解：∵原函数解析式为二次根式，
∴满足被开方数
即
故原函数f(x)的定义域为 [ 3，+∞)
或
05
成果展示1
例 求下列函数的定义域 ： (4)
解：∵原函数解析式既是二次根式，又是分式
∴满足 ∴
即
故原函数f(x)的定义域为 [ -1，2)∪(2,+∞)
05
成果展示1
例 求下列函数的定义域 ： (5)
解：∵原函数解析式既是二次根式，又是分式与零次幂式
∴满足 ∴
即
故原函数f(x)的定义域为 ( 0，2)∪(2,+∞)
05
成果展示1
（6）已知函数 的定义域为（0,1），则的定义域为 ；
解(换元法+还原法)：
由题意令 , 则
∵已知函数 的定义域为（0,1）
又
为同一函数，
∴
即
∴
∴
故函数的定义域为 ( ，0)
换元法：用代替式子后，函数与即为同一函数，这样中的范围即为的范围
还原法：得到的范围后，将还原为，求出的的范围即为函数的定义域
05
成果展示1
（7）已知函数的定义域为（0,1），则的定义域为 ；
解(换元法+反代法)：
由题意令 ,
则，且
∵已知函数的定义域为（0,1）
∴
即
∴
∴
又∵
为同一函数，
∴函数的定义域为 ( ，3)
换元法：用代替式子后，函数与即为同一函数，这样求出 的范围即为中的范围
反代法：由 得到，即用含的式子来表示，再利用的范围即可得到的范围
04
例 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，求出下列函数的值域：
小组合作、讨论交流1
(1)求函数的值域；
(2)求函数的值域；
求函数值域的方法提示：
（1）反代法：由推导得出,通过判断新函数的解析式是整式、分式、根式，还是零次幂式来得出函数值的取值范围（即值域）；
（2）换元法：用一个字母代替解析式中复杂的式子，从而将解析式化成我们所熟悉的函数式，借助图像得出的取值范围（即值域）；
（3）分离常数法：在分子上主动构造分母，用分子除以分母，在解析式中得出一个常数，最后判断出的取值范围（即值域）；
04
小组合作、讨论交流1
求函数值域的方法提示：
（2）换元法：用一个字母代替解析式中复杂的式子，从而将解析式化成我们所熟悉的函数式，借助图像得出的取值范围（即值域）；
(1)求函数的值域；
解：由题意令
则
∵
∴可得二次函数
的图像如图所示：
由图可知，当时，
故原函数的值域为[1，+∞)
04
小组合作、讨论交流1
(2)求函数的值域；
解法一（反代法）：
∵已知
∴ 可得
∴
求函数值域的方法提示：
（1）反代法：由推导得出,通过判断新函数的解析式是整式、分式、根式，还是零次幂式来得出函数值的取值范围（即值域）；
又∵是分式
∴满足分母
即
故原函数的值域为(-∞，)∪(，+∞）
04
小组合作、讨论交流1
(2)求函数的值域；
解法一（分离常数法）：
∵已知
∴ 可得
又∵
求函数值域的方法提示：
（3）分离常数法：在分子上主动构造分母，用分子除以分母，在解析式中得出一个常数，最后判断出的取值范围（即值域）；
∴
即
故原函数的值域为(-∞，)∪(，+∞）
04
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，求解下列问题：
小组合作、讨论交流1
例2 已知函数
(1) 求函数的定义域；
（2）求 的值；
（3）当 时，求的值
04
小组合作、讨论交流1
解(1)：∵已知既是根式，又是分式
∴满足
∴
即
故原函数f(x)的定义域为 [ -3，-2)∪(-2,+∞)
例2 已知函数
(1) 求函数的定义域；
（2）求 的值；
（3）当 时，求的值
解(2)：∵已知
∴
解（3）：∵已知 ，
∴
∴有意义
且
04
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，求解下列问题：
小组合作、讨论交流1
例3 下列函数中哪个与函数是同一函数？
(1); (2)
(3); (4)
04
小组合作、讨论交流1
解：(1) ∵
它与原函数虽然对应关系相同
但是定义域不相同
∴与不是同一函数
(2) ∵
它与原函数不仅对应关系相同
而且定义域也相同
∴ 与是同一函数
(3) ∵
它与原函数虽然定义域都为
但是当时，它们的对应关系不相同
∴与不是同一函数
（4）∵
与原函数虽然对应关系相同
但是定义域不相同
∴与不是同一函数
例3 下列函数中哪个与函数是同一函数？
(1); (2)
(3); (4)
课堂小结
10
今天我们学习了哪些内容？
1、通过数集之间的对应关系认识了函数的概念及其三要素；
2、掌握了判断两个函数是否为同一函数的一般方法；
3、掌握了求函数在某一点处的函数值，求出一个简单函数的定义域与值域的方法与技巧.
4、掌握了区间的定义、分类，无穷大，以及利用区间和无穷大来表示数集的方法和技巧.
11
家庭作业
1、完成《课时规范训练》第17-20页题型；
2、记背今天学习的函数的概念、区间的概念等相关知识.
11
学生自评
请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价
12
家庭作业
完成课本第83页练习3.1（做在作业本上）
12
家庭作业
完成课本第83页练习3.1（做在作业本上）