数学人教A版（2019）必修第二册6.2.4向量的数量积 课件（共24张ppt）

(共24张PPT)
人教版必修第二册A版
6.2.4《 向量的数量积 》
（ 2 课 时 ）
教学目标
学习目标：1.认识与理解两向量的夹角、向量数量积、向量投影以及投影向量的概念；（数学抽象）
2.理解与掌握向量数量积的性质及其运算律，能利用数量积解决向量的模、夹角问题，以及判断两个向量的垂直关系.（数学运算、逻辑推理）
教学重点：向量数量积的概念、性质及其运算律
教学难点：利用数量积解决向量的模、夹角问题，以及判断两个向量的垂直关系.
一
情景问题（导学）
前面我们学习了向量的加、减、数乘运算．类比数的运算， 出现了一个自然的问题： 向量能否相乘？ 如果能，那么向量的乘法该怎样定义？
（一）问题
一
情景问题（导学）
（二）情景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力 的作用下产生位移 , 那么力 所做的功为
其中 是 与 的夹角.
提示：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．这给我们一种启示，能否把 “功”看作两个向量 “相乘”的结果呢？受此启发，我们就可以引入两个向量相乘——“数量积”的概念.
一
情景问题（导学）
（二）情景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力 的作用下产生位移 , 那么力 所做的功为
其中 是 与 的夹角.
二
探究新知1——向量的夹角与数量积（互学）
（一）向量的夹角
如图，已知两个非零向量 ， 是平面上的任意一点，作向量 则 叫做向量 与 的夹角,
记作
二
（一）向量的夹角
注：特别地，
（1）当 时， 与 同向；
（2）当时， 与 反向；
（3）当时，我们说 与 垂直，记作 .
温馨提示　①两向量的夹角的范围是；
②两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.
探究新知1——向量的夹角与数量积（互学）
二
（二）向量的数量积
如图，已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ，
即
规定：零向量与任一向量的数量积为 0，即
探究新知1——向量的夹角与数量积（互学）
温馨提示　
(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.
(2)向量的数量积是一个实数(数量)，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
三
小组合作、讨论交流1(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
方法提示：这两道题考察了向量的数量积及其应用.
例9 已知,的夹角求 .
例10已知, ，求的夹角.
四
成果展示1(迁移变通)
例9 已知,的夹角求 .
解：
四
成果展示1(迁移变通)
解：由 可得
又∵
∴
例10已知, ，求的夹角.
五
1. 投影向量的概念
如图，设 是两个非零向量， ,，我们考虑如下的变换：过 的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到 ，我们称上述变换为向量 向向量 投影，叫做向量 在向量 上的投影向量.
探究新知2——投影向量、向量数量积的性质与运算律（互学）
（一）投影向量的概念及其求解公式
五
特别地，如图，在平面内任取一点，作
，过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
（一）投影向量的概念及其求解公式
探究新知2——投影向量、向量数量积的性质与运算律（互学）
五
2.思考
如图 , 设与方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为 , 那么 ， ， 之间有怎样的关系？
3.探究
∵ 由题意易知 与 共线
∴ （向量共线定理）
为了探究
， 之间的关系，如图所示，我们分为锐角、直角、钝角以及 等情况进行讨论：
（1）当为锐角时，
∵ 与 同向 ，
此时
∴
（一）投影向量的概念及其求解公式
探究新知2——投影向量、向量数量积的性质与运算律（互学）
五
（2）当为直角时，
∵ 此时
∴
（3）当为钝角时，
∵ 与 反向 ，此时
∴
(4)当时, ∵ ，∴
(5)当时, ∵ ，∴
（一）投影向量的概念及其求解公式
探究新知2——投影向量、向量数量积的性质与运算律（互学）
五
4.投影向量的求解公式
综上所述，对于任意的，都有向量在向量上的投影向量为
注：其中 为向量 与 夹角.
（一）投影向量的概念及其求解公式
探究新知2——投影向量、向量数量积的性质与运算律（互学）
五
由向量数量积公式 可得如下的性质
设两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ， 是与方向相同的单位向量，则有
（1）;
(2) ;
(3) ①当 与 同向时， ;
②当 与 反向时， ;
③特别地，则有 ;
（4）由
（二）向量数量积的性质
探究新知2——投影向量、向量数量积的性质与运算律（互学）
五
由向量数量积的定义可得如下的运算律
对于向量 和实数 ，有
（1）交换律： ; (2) 结合律;
(3) 分配律：； （4）完全平方公式： +
（5）平方差公式：
注：等式 = 不成立，因为表示与共线的向量，表示与共线的向量，而与不一定共线，所以 = 不一定成立.
（三）向量数量积的运算律
探究新知2——投影向量、向量数量积的性质与运算律（互学）
六
小组合作、讨论交流2(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
方法提示：这两道题考察了向量数量积的性质与运算律.
例12 已知,的夹角为
求 .
例13 已知,且不共线.
当为何值时，向量与相互垂直？
七
成果展示2(迁移变通)
例12 已知,的夹角为
求 .
解：
=
=
=
=
=
七
成果展示2(迁移变通)
例13 已知,且不共线.
当为何值时，向量与相互垂直？
解：向量的充要条件为
∵ 已知
∴
∴ 满足
解得
故当时，向量
相互垂直
课堂小结
八
本节课我们学习了哪些内容？
1.认识与理解了两向量的夹角、向量数量积、向量投影以及投影向量的概念；（数学抽象）
2.理解与掌握了向量数量积的性质及其运算律，能利用数量积解决向量的模、夹角问题，以及判断两个向量的垂直关系.（数学运算、逻辑推理）
九
学生自评
请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价
十
家庭作业
1.整理导学案中本节课知识点并记背；
2.完成导学案上相关题型.