数学人教A版（2019）必修第二册6.2.3向量的数乘运算 课件（共19张ppt）

(共19张PPT)
人教版必修第二册A版
6.2.3《 向量的数乘运算 》
（ 2 课 时 ）
教学目标
学习目标：1.认识与理解向量数乘的概念及其几何意义；（数学抽象）
2.理解与掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算；（数学运算）
3.理解与掌握向量共线定理及其推论，并能熟练地运用其来求解有关向量共线的问题.（逻辑推理）
教学重点：向量数乘的概念、运算律，以及向量共线定理及其推论
教学难点：向量的数乘运算，向量共线定理、推论及其实际应用.
一
情景问题（导学）
如图，一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为 ，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是 吗？
相信各位同学通过今天的学习，将能回答以上情景中的问题.
二
探究新知1——向量的数乘运算（互学）
（一）问题
如图，已知非零向量 ，作出 和 .它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？
（二）探究1
如图，分别作 ,
据向量加法的三角形法则可知
类比数的乘法，我们把 ，即 =
有图可知： 的方向 与 的方向相同
的长度 是 的长度的3倍，即
二
探究新知1——向量的数乘运算（互学）
（三）探究2
如图，分别作 ,
据向量加法的三角形法则可知
我们把 ，即 =
有图可知： 的方向 与 的方向相反
的长度 是 的长度的3倍，即
二
探究新知1——向量的数乘运算（互学）
（四）向量的数乘运算
1.定义
一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下：
（1） 的长度为：
（2） 的方向为：
①当时， 的方向与的方向相同；
②当 时， 的方向与的方向相反；
③当 时，＝.
温馨提示　(1)向量的数乘 仍是一个向量；
(2)实数 与向量 不能相加减.
温馨提示
　(1)向量的数乘 仍是一个向量；
(2)实数 与向量 不能相加减.
二
探究新知1——向量的数乘运算（互学）
（四）向量的数乘运算
2.运算律
根据向量数乘的定义可以得到如下的运算律
设 为实数，那么
（1）；
（2）
（3）
特别地，我们有
3.线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
对于任意向量 与 ，以及任意实数 ，恒有
三
小组合作、讨论交流1(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
方法提示：这两道题考察了向量的线性运算.
例5 计算：
（1）;
（2）;
（3）
例6 如图,平行四边形的两条对角线相交于点，且,用 表示,和.
四
成果展示1(迁移变通)
例5 计算：
（1）;
（2）;
（3）
解（1）原式 =
解（2）原式 =
解（3）原式 =
四
成果展示1(迁移变通)
例6 如图,平行四边形的两条对角线相交于点，且,用 表示,和.
解: ∵在平行四边形中,
∴由平行四边形的两条对角线互相平分可得
五
（一）问题1
如果 ，那么向量 是否共线？反过来，若向量 与非零向量共线，那么是否存在一个实数，使得
（二）探究1
由向量数乘的定义可知：
1.如果 ，那么向量 共线.
2.反过来，若向量 与非零向量共线，那么必然存在一个实数，使得
探究新知2——向量共线定理及其推论（互学）
五
探究新知2——向量共线定理及其推论（互学）
（三）向量共线定理
向量与 共线（ 即 ）的充要条件是：存在唯一一个实数，使得
向量与 共线（ 即
）
等价于
存在唯一一个实数，使得
五
（四）问题2
若，且，那么三点共线吗？
（五）探究2
∵ ，且
∴
即
∴
∴
∴由向量共线定理可知：与共线
故三点共线
探究新知2——向量共线定理及其推论（互学）
五
（六）向量共线定理的推论
在平面中三点共线的充要条件是：(O为平面内直线AB外任意一点)，其中.
探究新知2——向量共线定理及其推论（互学）
在平面中三点共线
等价于
(O为平面内直线AB外任意一点)，其中.
六
小组合作、讨论交流2(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
方法提示：这两道题考察了向量共线定理及其推论.
例7 如图，已知任意两个非零向量 ，
（1）试作 ， ,
（2）猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
七
成果展示2(迁移变通)
例7 如图，已知任意两个非零向量 ，
（1）试作 ， ,
（2）猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
解（1）如图，分别作向量，，，过点作直线
观察发现，不论向量 怎样变化，
点始终在直线上，猜想三点共线.
证明（2）：∵
∴
故三点共线.
课堂小结
八
本节课我们学习了哪些内容？
1.认识与理解了向量数乘的概念及其几何意义；
2.理解与掌握了向量数乘的运算律，并会进行向量的数乘运算；
3.理解与掌握了向量共线定理及其推论，并能熟练地运用其来求解有关向量共线的问题.
九
学生自评
请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价
十
家庭作业
1.整理导学案中本节课知识点并记背；
2.完成导学案上相关题型.