2024届江苏省常州市第一中学高三下学期期初检测数学试题
一、单选题
z
1. 已知 z= 1 ，且 z1= 3- i，z2= 2- i，则 z = ( )z2
A. 2 B. 2 C. 1 D. 2
2
2.“村超”是贵州榕江县乡村足球超级联赛的简称，是该县的一项传统乡村体育赛事，“村超”深受当地人民的
喜爱，也在 2023年开始火爆全网.某体育新闻网站派出含甲、乙在内的 4名记者前去A，B，C三个足球场
报道“村超”赛事，要求每个足球场至少 1名记者，则甲、乙分在不同足球场的概率为 ( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 5
6 2 3 6
3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知A= 2B，a= 3，b= 2，则 cosB= ( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
4 3 3 4
1 1
4. a= log 1 b= 1 1设 1 ， 2，c= 3，则 ( )
2 3 3 2
A. c< b< a B. b< a< c C. a< b< c D. b< c< a
5. 已知△ABC中，∠BAC= 60°，AB= 2，Q是边BC上的动点．若PA⊥平面ABC，PA= 2，且PQ与面
ABC 6所成角的正弦值的最大值为 ，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 ( )
3
A. 4π B. 6π C. 8π D. 9π
6. 已知函数 y= ex+1和 y= lnx- 1的图象与直线 y= 2- x交点的横坐标分别为 a、b，则 a+ b= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. π抛物线E的焦点为F，对称轴为 l，过F且与 l的夹角为 的直线交E于A,B两点，AB的中点为M，线段
3
AB的中垂线MD交 l于点D.若△MFD 3的面积等于 ，则 |AB|等于 ( )
2
A. 4 B. 5 C. 2 D. 5
2 4
a +1
8. 已知等差数列 an 中，a4+a5= 2 记 b = nn - ，n∈N
*，则数列 bn 的前 8项和为 ( )an 1
A. 0 B. 4 C. 8 D. 16
二、多选题
9. 有一组样本数据 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7，其中 x1是最小值，x7是最大值，则 ( )
A. x2,x3,x4,x5,x6的众数等于 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的众数
B. x2,x3,x4,x5,x6的中位数等于 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的中位数
C. x2,x3,x4,x5,x6的方差不大于 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的方差
D. x2,x3,x4,x5,x6的极差不小于 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的极差
10.已知 x∈ [-π,π] f(x) = sinx，函数 ，则 ( )
x2+1
·1·
A. f x 的图像关于 y轴对称 B. f x 恰有 2个极值点
C. f x 在 -
π , π 2 上单调递增 D. f x 的最小值小于-4 4 4
11.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，P是BB1
的中点，AA1=AC=BC= 2，若平面 α过点P，且与AC1平行，则 ( )
A. 10异面直线AC1与CP所成角的余弦值为 10
B. 1三棱锥C1-ACP的体积是该“堑堵”体积的 3
C.当平面 α 3 3截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于
2
D.当平面 α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于 2 2
三、填空题
12. 1- cos2α已知 = 1，tan(β- α) =- 1 ，则 tan(β- 2α)的值为 ．
sinαcosα 3
13.圆台O1O
1
2中，上、下底面的面积比为 ，其外接球的球心O在线段O1O2上，若OO1= 3OO2，则圆台O1O9 2
和球O的体积比为 .
14.已知四边形ABCD，Fn n∈N * 为边BC边上一点，连接AFn交BD于En n∈N * ，点En满足
2 1+ an EnFn-EnC = an+1-2 EnB，其中 an 是首项为 1的正项数列，BC = λn BFn，则 λn 的前n项Tn
= .
四、解答题
15.某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根
据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.3 0.5 0.2
·2·
球队胜率 0.8 0.6 0.7
(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率；
(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由.
16.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1= 1，∠DAB= 90°，cos
= 21， ，2
cos= 1 ，点M为BD中点.2
(1)证明：B1M 平面A1C1D；
(2)求二面角B-AA1-D的正弦值.
17.记△ABC是内角A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 b2= ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC= asinC．
(1)证明：BD= b；
(2)若AD= 2DC，求 cos∠ABC．
18.设函数 f(x) = ex-ax+ a(a∈R).
(Ⅰ)求 f(x)在 [0,1]上的最小值；
(Ⅱ)若 f(x)图象与 x轴交于A x1,0 ,B x2,0 两点，求证：x1x2< x1+x2.
x2 y
2 xx yy
19. 1已知结论：椭圆 + = 1上一点P x1,y1 处切线方程为 1 + = 1.试用此结论解答下列问题.如
a2 b2 a2 b2
x2
图，已知椭圆C： + y2= 1的右焦点为F，原点为O，椭圆的动弦AB过焦点F且不垂直于坐标轴，弦AB
5
的中点为N，椭圆C在点A，B处的两切线的交点为M.
(1)试判断：O，M，N三点是否共线若三点共线，请给出证明；若三点不共线，请说明理由；
( ) |AB| |FM |2 求 的最小值.
|FN |
·3·2024届江苏省常州市第一中学高三下学期期初检测数学试题
一、单选题
1. 已知 z= z1 ，且 z1= 3- i，z2= 2- i，则 z = ( )z2
A. 2 B. 2 C. 1 D. 2
2
【答案】B
【分析】结合共轭复数的性质、复数的运算及复数的模计算即可得.
【详解】由 z1= 3- i，则 z1= 3+ i，
z1 3+ i 3+ i 2+ i 6+ 5i- 1故 z= = - = = = 1+ i，z2 2 i 2- i 2+ i 5
则 z = 12+12= 2.
故选：B.
2. “村超”是贵州榕江县乡村足球超级联赛的简称，是该县的一项传统乡村体育赛事，“村超”深受当地人民的
喜爱，也在 2023年开始火爆全网.某体育新闻网站派出含甲、乙在内的 4名记者前去A，B，C三个足球场
报道“村超”赛事，要求每个足球场至少 1名记者，则甲、乙分在不同足球场的概率为 ( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 5
6 2 3 6
【答案】D
【分析】根据对立事件结合古典概型分析求解.
【详解】记甲、乙分在不同足球场为事件M，
3
所以P M = 1-P M = 1-
A3 = 1- 1 = 5 .
C24A
3
3 6 6
故选：D.
3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知A= 2B，a= 3，b= 2，则 cosB= ( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
4 3 3 4
【答案】D
【分析】利用正弦定理和二倍角公式计算即可.
a b 3 2 3 2
【详解】结合题意：利用正弦定理 = 得： = ,即 = ,
sinA sinB sin2B sinB 2sinB cosB sinB
解得：cosB= 3 .
4
故选：D.
4. a= log 1 b= 1
1 1
设 ， 21 ，c=3 3
1 3，则 ( )
2 2
A. c< b< a B. b< a< c C. a< b< c D. b< c< a
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性分别判断出 a,b,c的范围，然后可得到结果.
1 1
【详解】由对数函数单调性可知：a= log 1 > log 1 = 1，
2 3 2 2
1 1 1 0
由指数函数单调性可知：0< b= 2<3
1 3< 1 = 1，3 3
1 1 1 1 1 0
由幂函数单调性可知：0< 3< 3= c< = 1，3 2 2
·1·
所以 b< c< a，
故选：D.
5. 已知△ABC中，∠BAC= 60°，AB= 2，Q是边BC上的动点．若PA⊥平面ABC，PA= 2，且PQ与面
ABC 6所成角的正弦值的最大值为 ，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 ( )
3
A. 4π B. 6π C. 8π D. 9π
【答案】B
【分析】根据题意得PQ的最小值为 3，AQ的最小值是 1，即A到BC的距离为 1，则∠ACB= 90°，结合图
形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥P-ABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．
【详解】三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，设直线PQ与平面ABC所成角为 θ，
∵ sinθ 6 PA 2 6的最大值是 ，∴ sinθ= = ≤ ，解得PQ≥ 3，
3 PQ PQ 3
即PQ的最小值为 3，AQ的最小值是 1，即A到BC的距离为 1，
直角三角形△ABQ中，AB= 2，所以∠BAQ= 60°,又∠BAC= 60°，
所以A,Q重合，则∠ACB= 90°，
则△ABC的外接圆圆心M为AB的中点，
又PA⊥平面ABC，从而外接球的球心O为PB的中点，
2 2 AB 2 PA 2 2外接球的半径R=OB= MB +MO = +2 2 = 1
2+ 2 = 6 ，2 2
2
∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积S= 4πR2= 4π× 62 = 6π．
故选：B．
6. 已知函数 y= ex+1和 y= lnx- 1的图象与直线 y= 2- x交点的横坐标分别为 a、b，则 a+ b= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【分析】作出函数图像，利用反函数的性质判断即可.
【详解】
·2·
设 f x = ex+1，g x = lnx- 1，q x = x，h x = 2- x，
因为 f x = ex+1与 g x = lnx- 1互为反函数，图像关于 q x = x对称，
设它们与 h x = 2- x的交点坐标分别为 a,2- a , b,2- b ，
可知交点坐标也关于直线 q x = x对称，所以 a= 2- b，即 a+ b= 2.
故选：B
7. π抛物线E的焦点为F，对称轴为 l，过F且与 l的夹角为 的直线交E于A,B两点，AB的中点为M，线段
3
AB的中垂线MD交 l于点D.若△MFD 3的面积等于 ，则 |AB|等于 ( )
2
A. 4 B. 5 C. 2 D. 5
2 4
【答案】A
【分析】不妨设抛物线方程为：y2= 2px p> 0 ，写出直线方程，根据条件求出 p，然后再利用抛物线的焦点
弦弦长公式得到结论.
【详解】不妨设抛物线方程为 y2= p2px p> 0 ，则 l就是 x轴，F点坐标为 ,0 .如图：2
π p
因为直线AB过焦点F，且倾斜角为 ，所以直线AB的方程为：y= 3 x- ，3 2
p 2
代入抛物线方程，消去 y，得：3 x- = 2px，整理得：3x2-5px+ 3 p2= 0.2 4
设A x1,
5p
y1 ，B x2,y2 ，则 x1+x2= .3
所以：y1+y2= 3 x1+x2 - 3p=
2 3p
.
3
5p 3p
所以M , .6 3
- 3p 3 5p所以直线MD的方程为：y =- x- .3 3 6
= = 11p 11p令 y 0得 x ，即D点坐标为： ,06 6
= 1 × 11p - p × 3p 3所以S△FMD = p= 3 .2 6 2 3 2 2
5p 8 3
所以： AB = x1+x2+p= + p= × = 4.3 3 2
故选：A
+ = = a +18. 已知等差数列 a 中，a a 2 记 b n ，n∈N *n 4 5 n - ，则数列 bn 的前 8项和为 ( )an 1
A. 0 B. 4 C. 8 D. 16
·3·
【答案】C
【分析】分离常数可得 bn= 1+ 2 2- ,，设 cn= - ，当 1≤n≤ 8，n∈N
*时，可得 c
a 1 a 1 n
+c9-n= 0，故可得数列
n n
bn 的前 8项和．
【详解】由等差数列性质得 an+a9-n= a4+a5
a +1
b nn= - =
an-1+ 2 = 1+ 2 ,
an 1 an-1 an-1
设 cn= 2- ，当 1≤n≤ 8，n∈N
*时，
an 1
c 2 2n+c9-n= - + - = 2
an+a9-n-2 = a4+a5-22 = 0,
an 1 a9-n 1 an-1 a9-n-1 an-1 a9-n-1
故 b1+b2+b3+ +b8
= 1+ 2 + 1+ 2- - + +1+
2
- = 8+ c1+ca 1 a 1 a 1 2+ +c81 2 8
= 8+ c1+c8 + c2+c7 + c3+c6 + c4+c5 = 8
故选：C
二、多选题
9. 有一组样本数据 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7，其中 x1是最小值，x7是最大值，则 ( )
A. x2,x3,x4,x5,x6的众数等于 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的众数
B. x2,x3,x4,x5,x6的中位数等于 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的中位数
C. x2,x3,x4,x5,x6的方差不大于 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的方差
D. x2,x3,x4,x5,x6的极差不小于 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的极差
【答案】BC
【分析】根据众数、中位数、方差、极差的概念以及计算公式逐项判断即可.
【详解】对A：设样本数据为：1,2,2,3,4,4,4，则数据 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的众数为 4，而数据 x2,x3,x4,x5,x6的
众数为 2,4，故A错误；
对B：把数据 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7按从小到大顺序排好，则数据 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的中位数为 x4；数据 x2,
x3,x4,x5,x6的中位数也是 x4，故B正确；
对C：一组数据是常数时，去掉两个值 (可以理解为最大、最小值)，数据的波动性不变；当数据不是常数时，
去掉最大、最小值，数据的波动性一定变小，也就是方差变小.所以 x2,x3,x4,x5,x6的方差不大于 x1,x2,x3,x4,
x5,x6,x7的方差.故C正确；
对D：把数据 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7按从小到大的顺序排好，则 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的极差为 x7-x1，数据 x2,
x3,x4,x5,x6的极差为 x6-x2，因为 x1≤ x2，x6≤ x7，故 x6-x2≤ x7-x1，即 x2,x3,x4,x5,x6的极差不大于 x1,x2,x3,
x4,x5,x6,x7的极差.故D错误.
故选：BC
10.已知 x∈ [-π,π]，函数 f(x) = sinx ，则 ( )
x2+1
A. f x 的图像关于 y轴对称 B. f x 恰有 2个极值点
C. f x 在 π π 2 - , 上单调递增 D. f x 的最小值小于-4 4 4
【答案】BC
2
【分析】由函数奇偶性的定义域判定方法，可得判定A；求得 f ( ) = cosx(x +1) - sinx 2xx ，令 g x =
(x2
+1)2
·4·
cosx(x2+1) - sinx 2x π π，利用导数求得函数 g x 单调性，以及相应的函数值 g π ,g -π ,g ,g - ，得4 4
到函数 f x 的单调性与极值，逐项判定，即可求解.
sinx
【详解】对于A中，由 f(x) = ，可得其定义域为R，且 f(-x) = sin(-x) =- sinx =-f(x)，
x2+1 (-x)2+1 x2+1
所以函数 f x 为奇函数，所以A不正确；
2
对于B中，由 f
x +1 cosx- sinx 2x
x =
，令 g x = x2+1 cosx- sinx 2x，
x2+1 2
则 g x = 2xcosx- (x2+1)sinx- 2sinx- 2xcosx=- (x2+3)sinx，
当 x∈ (0,π]时，可得 sinx> 0，所以 g x < 0，g x 单调递减；
当 x∈ [-π,0)时，可得 sinx< 0，所以 g x > 0，g x 单调递增，
由 g π =- π2+1 < 0,g -π =- π2+1 < 0且 g 0 = 1> 0，
可得 g 0 g π < 0,g -π g 0 < 0，所以 g x 在 [-π,0)和 (0,π]上各有一个零点，
设两个零点分别为 x1,x2，不妨设 x1< x2
当 x∈ [-π,x1)时，g x < 0，可得 f x < 0，f x 单调递减；
当 x∈ (x1,x2)时，g x > 0，可得 f x > 0，f x 单调递增；
当 x∈ (x2,π]时，g x < 0，可得 f x < 0，f x 单调递减，
所以 x1,x2时函数 f x 的 2个极值点，且只有 2个极值点，所以B正确；
对于C中，由B知，g x 在 [-π,0)单调递增，在 (0,π]单调递减，
g - π = 2 π
2
又由 + 1- π = 2 (π- 4)2> 0，且 g π = 2 (π- 4)2> 0，4 2 16 2 32 4 32
则当 x∈ - π , π 时，g x > 0，即 f
x > 0，所以函数 f x 单调递增，所以C正确；
4 4
π 2 2
D f - π
sin - - - 2
对于 中，由 = 4 = 2 2
4 π 2 π2 < 2 = ，所以D不正确. 4 +1 16 + 1 4 416 + 1
故选：BC.
11. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，P是BB1
的中点，AA1=AC=BC= 2，若平面 α过点P，且与AC1平行，则 ( )
A. 异面直线AC1与CP
10
所成角的余弦值为
10
B. 三棱锥C1-ACP 1的体积是该“堑堵”体积的 3
C. 3 3当平面 α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于
2
D. 当平面 α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于 2 2
·5·
【答案】ABC
【分析】利用坐标法及线线角的向量求法可判断A，根据锥体的体积公式可判断B，作出平面 α截棱柱的截
面图形结合条件可得截面的面积判断CD.
【详解】对于A，由题可知AC,CB,CC1两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则
A 2,0,0 ,C 0,0,2 ,C 0,0,0 ,P 0,2,1 ，
1
所以AC1= -2,0,2 ,CP= 0,2,1 ，
, AC CP所以 cos AC1 CP = 1 = 2 = 10 ，
AC1 CP 8 5 10
10
所以异面直线AC1与CP所成角的余弦值为 ，故A正确；10
对于B 1 4 1，VC -ACP=VP-C CA= S△C CA× 2= ，VABC-A B C= × 2× 2× 2= 4，所以B正确；1 1 3 1 3 1 1 1 2
对于C，如图，E，F，G分别为AA1,A1C1,C1B1的中点，
则EF AC1，FG A B ,FG= 11 1 A1B1，A2 1B1 PE,A1B1=PE，EF=FG=GP= 2，PE= 2 2，
FG PE,FG= 1所以 PE，P,E,F,G共面，又EF AC1，AC1 平面PEFG，EF 平面PEFG，2
所以AC1 平面PEFG，
则四边形PEFG为平面 α截棱柱的截面图形，
6
所以四边形PEFG是等腰梯形，且高为 ，
2
当E不是AA1中点时，PE不平行平面A1B1C1，
S = 1 × 2+ 2 2 × 6 = 3 3则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个， PEFG ，所以C正确；2 2 2
对于D，如图，Q,R,S分别为AB,AC,CC1的中点，
·6·
则RS AC1，QR BC,QR= 1 BC，BC PS,BC=PS，QR= 1,RS= 2,PS= 2，2
所以QR PS,QR= 1 PS，
2
同理可得四边形PQRS为平面 α截棱柱的截面图形，
由题可知CB⊥AC,CB⊥CC1,AC∩CC1=C,AC 平面ACC1A1，CC1 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，所以PS⊥平面ACC1A1，又RS 平面ACC1A1，
所以PS⊥RS，
故四边形PQRS是直角梯形，当S不是CC1中点时，PS不平行平面ABC，
1
则四边形不是梯形，直角梯形有且仅有一个，其面积为 S= × 1+ 2 × 2= 3 2，故D错误.
2 2
故选：ABC.
三、填空题
12. 1- cos2α已知 = 1，tan(β- α) =- 1 ，则 tan(β- 2α)的值为 ．
sinαcosα 3
【答案】-1
1- cos2α
【分析】根据 = 1求出 tanα，根据 tan(β- 2α) = tan β- α - α 利用两角差的正切公式求解.
sinαcosα
1- cos2α 2sin2α
【详解】由题： = 1即 = 1所以 tanα= 1 ，
sinαcosα sinαcosα 2
tan(β- 2α) = tan β- α - α
tan β- α=
- tanα
1+ tan β- α tanα
- 1 - 1
= 3 2
1- 16
=-1
故答案为：-1
【点睛】此题考查根据三角恒等变换求值，关键在于正确利用公式化简求值.
13.圆台O 11O2中，上、下底面的面积比为 ，其外接球的球心O在线段O1O2上，若OO1= 3OO2，则圆台O9 1O2
和球O的体积比为 .
13 10
【答案】
100
【分析】确定圆台的上下底半径和高，及其外接球的半径，利用圆台体积公式和球的体积计算可得.
【详解】圆台的轴截面，如下图：
·7·
由题设，不妨设圆台的上底半径为 1，则圆台下底半径为 3，设圆台外接球半径为R.
因为圆台外接球的球心O在线段O1O2上，且OO1= 3OO2，
所以 R2-1= 3 R2-9 R2= 10.
所以O1O2= 10- 1+ 10- 9= 4.
因为：V圆台O O=
π
1+ 3+ 9 × 4= 52π V = 4， 球 π× 10 3=
40 10π
.
1 2 3 3 3 3
V圆台O1O2 = 52π所以： = 13 10 .
V球 40 10π 100
13 10
故答案为：
100
14.已知四边形ABCD，Fn n∈N * 为边BC边上一点，连接AFn交BD于En n∈N * ，点En满足
2 1+ an EnFn-EnC = an+1-2 EnB，其中 an 是首项为 1的正项数列，BC = λn BFn，则 λn 的前n项Tn
= .
【答案】2n+3-4n- 8
【分析】由 2 1+ an EnFn-EnC = an+1-2 EnB结合共线向量定理的推论可得 an+1+3= 2(an+3)，则可求得
λ = 2(1+ a )
an= 2n+1-3，再由BC = λn BFn可得EnC = λn EnFn+ (1- λn)E n n n+2nB，从而得 1- = - ，则得 λλ 2 a n= 2n n+1
-4，然后利用分组求和法可求得结果.
【详解】因为 2 1+ an EnFn-E C = a n n+1
-2 EnB，
所以EnC = 2 1+ an EnFn+ 2- an+1 EnB，
因为B,Fn,C三点共线，所以 2(1+ an) + (2- an+1) = 1，
所以 an+1+3= 2(an+3)，
因为 a1+3= 4，所以 an+3 是以 4为首项，2为公比的等比数列，
所以 a +3= 4× 2n-1= 2n+1，所以 a = 2n+1n -3， n
因为BC = λn BFn，所以EnC -EnB= λn (EnFn-EnB)，
所以EnC = λn EnFn+ (1- λn)E B， n
因为EnC = 2 1+ an EnFn+ 2- an+1 EnB，
λn= 2(1+ an)所以 1- λn= 2- an+1
因为 a = 2n+1n -3，所以 λn= 2(1+ 2n+1-3) = 2n+2-4，
·8·
n
所以T= 23+24n + +2n+2-4n=
8(1- 2 ) - 4n= 2n+3-4n- 8，
1- 2
故答案为：2n+3-4n- 8
【点睛】关键点点睛：此题考查向量共线定理的应用，考查数列的分组求和法，考查等比数列的应用，解题的
关键是将已知式子变形结合共线向量定理推论化简求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
四、解答题
15.某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根
据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.3 0.5 0.2
球队胜率 0.8 0.6 0.7
(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率；
(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由.
【答案】(1)0.22
(2) (3)
【分析】(1)根据条件概率公式分别计算出甲球员在担任边锋、前卫、中场时赢球的概率，最后相加得到甲球
员参加比赛时，球队赢球的概率，再用 1去减即可．
(2)根据条件概率的计算公式即可求解.
(3)由三个位置上的赢球几率，即可做出判断.
【详解】(1)用A1表示“甲出任边锋”，A2表示“甲出任前卫”，A3表示“甲出任中场”，用B表示“球队赢球”.
则甲出场时，球队赢球的概率为：
P B =P A1 ·P B|A1 +P A2 ·P B|A2 +P A3 ·P B|A3 = 0.3× 0.8+ 0.5× 0.6+ 0.2× 0.7= 0.68
所以甲出场比赛时，球队输球的概率为：1-P B = 1- 0.68= 0.32.
(2)因为P B = 0.68.
P A B
P A |B = 1 = 0.3× 0.8 = 6所以 1 .
P B 0.68 17
6
即当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，球员甲担当边锋的概率为 .
17
P A B P A B
(3) 2 0.5× 0.6 15因为P A2|B = = = ，P A3|B =
3 = 0.2× 0.7 = 7 .
P B 0.68 34 P B 0.68 34
因为P A2|B >P A1|B >P A3|B .
所以应尽量安排甲出任前卫的位置，提高球队赢球的概率.
16. 2如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1= 1，∠DAB= 90°，cos= ，2
cos= ，点M为BD中点.2
·9·
(1)证明：B1M 平面A1C1D；
(2)求二面角B-AA1-D的正弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2) 6
3
【分析】(1)以A为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，写出各向量即可根据向量法证明；
(2)利用向量法求出二面角的余弦值即可求出正弦值.
(1) cos= 2
2
【详解】 因为 1， ，所以∠A AB= 45°，所以AA 在AB的投影数量为 ，2 1 1 2
因为 cos= 1 11， ，所以∠A1AD= 60°，所以AA1在AD的投影数量为 ，2 2
以A为原点建立如图所示的坐标系，
2 1
所以A1 , , 1 2，B1 + 1, 1 , 1 1 1 2 1 1 2 3 1，M , ,0 ，A1 , , ，C1 + 1, , ，D(0,1,0)，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
所以B1M = - - 1 ,0,- 1 ，A1C1= (1,1,0)，C1D= - 2 - 1,- 1 ,- 12 2 2 2 2 2 ，
设面A1C1D
的法向量为m= (x1,y1,z1)，
x1+y1= 0 所以 - 2 - - 1 - 1 = ，令 x1= 1，所以m= (1,-1,- 2- 1)， 2 1 x1 2 y1 2 z1 0
因为B1M m
= 0，B1M不在面A1C1D内，所以B1M 平面A C 1 1
D；
(2)B(1,0,0)，所以AB= (1,0,0)，
设面BAA 1的法向量 n= (x2,y2,z2)，
x2= 0
因为AA1= 2 , 1 , 1 ，所以 ，2 2 2 2 x + 12 2 2 y 12+ 2 z2= 0
令 y2= 1
，则n= (0,1,-1)，
设面AA 1D的法向量 o= (x3,y3,z3)，
2
= ( , , ) 2 x3+ 1 y + 1 z因为AD 0 1 0 ，所以 2 3 2 3= 0 ，y3= 0
n o
令 x = 1 33 ，所以 o= (1,0,- 2)，所以 cosθ= = ，
|n ||o | 3
·10·
所以二面角B-AA1-D 6的正弦值为 .3
17.记△ABC是内角A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 b2= ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC= asinC．
(1)证明：BD= b；
(2)若AD= 2DC，求 cos∠ABC．
【答案】(1)证明见解析
(2) 7
12
【分析】(1)利用正弦定理，BD·sin∠ABC= asinC转化为BD·b= ac，结合 b2= ac，即可得BD= b.
(2)以BA，BC为基底，表示出BD，根据 BD = b得到一个结论，再结合余弦定理，可求 cos∠ABC的值.
【详解】(1)因为BD·sin∠ABC= asinC，由正弦定理可得：BD·b= ac，
又因为 b2= ac，所以BD= b.
(2)因为D在线段AC上，且AD= 2DC，根据题意，做草图：
设∠ABC= θ，以BA，BC为基底，
1 BD= BA+ 2 BC BD2= 1 BA+ 2
2
则 BC BD2= 1 BA2+4BA·BC + 4BC23 3 3 3 9
所以：9b2= c2+4accosθ+ 4a2
又 b2= ac，所以 9ac= c2+4accosθ+ 4a2①
在△ABC中，由余弦定理得：b2= c2-2accosθ+ a2 ac= c2-2accosθ+ a2②
①+②× 2得：11ac= 3c2+6a2 6a2-11ac+ 3c2= 0 3a- c 2a- 3c = 0
c 3
所以 a= 或 a= c.
3 2
若 a= c b2= ac b= 3c c 3c，因为 ，所以 a+ b= + < c，故舍去.
3 3 3 3
3 2
若 a= c，因为 b2= ac b2= 3c ，
2 2
9 2 2 3 2
a2+c2-b2 c +c - c 7
所以 cosθ= = 4 2 = .
2ac 2× 3 c2 122
即 cos∠ABC= 7 .
12
18.设函数 f(x) = ex-ax+ a(a∈R).
(Ⅰ)求 f(x)在 [0,1]上的最小值；
(Ⅱ)若 f(x)图象与 x轴交于A x1,0 ,B x2,0 两点，求证：x1x2< x1+x2.
1+ a, a< 1
【答案】(Ⅰ)ymin= 2a- alna, 1≤ a≤ e；(Ⅱ)证明见解析.
e, a> e
【分析】(Ⅰ)求导后分类讨论得函数的单调性，由此可求出函数的最小值；
·11·
x1 x2
(Ⅱ)由 (Ⅰ)可知 a> 0，0< x1< lna< x2，由题意 x e e1-1= ，x2-1= ，本题即证 x1+x2< 2lna，设F(x)a a
= f(x) - f(2lna- x)，求导得单调性，从而得 f x2 < f 2lna- x1 ，则 x2< 2lna- x1，由此即可证明．
【详解】解：(Ⅰ)f (x) = ex-a，
a≤ 0时，f(x)在R上单调递增，ymin= f(0) = 1+ a；
a> 0时，f(x)在 (-∞,lna)上单调递减，(lna,+∞)上单调递增，
故若 1≤ a≤ e，ymin= f(lna) = 2a- alna；
若 a> e，ymin= f(1) = e；
若 0< a< 1，ymin= f(0) = 1+ a；
1+ a, a< 1
综上：ymin= 2a- alna, 1≤ a≤ e；
e, a> e
(Ⅱ)由 (Ⅰ)可知 a> 0，此时 f(x)在 (-∞,lna)上单调递减，(lna,+∞)上单调递增，
设 x1< x2，而 f(0) = 1+ a> 0，因此 0< x1< lna< x2，
本题即证 x1-1 x2-1 < 1，而 ex= a(x- 1)，
ex1 x2∴ x1-1= ，x2-1= e ，a a
即证 ex1+x2< a2，即证 x1+x2< 2lna，
2
设F(x) = f(x) - f(2lna- x) = ex-ax- e2lna-x+a(2lna- x) = ex-2ax- ax + 2alna(x> 0)，e
2
F (x) = ex-2a+ ax ≥ 0，因此F(x)在 (0,+∞)上单调递增，e
由于 0< x1< lna< x2，
可得F x1 由于 f x1 = f x2 ，∴ f x2 < f 2lna- x1 ，
∵ x2,2lna- x1> lna,f(x)在 (lna,+∞)上单调递增，
∴ x2< 2lna- x1，
∴ x1+x2< 2lna，
∴ x1x2< x1+x2．
【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数证明不等式恒成立问题，考
查推理能力与计算能力，属于难题．
x2 y
2 xx yy
19. 1已知结论：椭圆 + = 1上一点P x ,y 处切线方程为 11 1 + = 1.试用此结论解答下列问题.如
a2 b2 a2 b2
x2
图，已知椭圆C： + y2= 1的右焦点为F，原点为O，椭圆的动弦AB过焦点F且不垂直于坐标轴，弦AB
5
的中点为N，椭圆C在点A，B处的两切线的交点为M.
(1)试判断：O，M，N三点是否共线若三点共线，请给出证明；若三点不共线，请说明理由；
·12·
( ) |AB| |FM |2 求 的最小值.
|FN |
【答案】(1)O，M，N三点共线，证明见解析
(2) 5
【分析】(1)根据条件，设出直线AB方程，联立椭圆方程，表示出N点坐标，再利用已知的结论，写出椭圆在
A，B点的切线方程，联立方程组，得M点坐标，再判断O，M，N是否共线.
(2)分别求出 AB ， FM ， FN 的长度，再化简，利用不等式求最小值.
【详解】(1)椭圆的右焦点为F 2,0 ，
根据题意，可设直线AB的方程为：y= k x- 2 k≠ 0 ，
y= k x- 2
联立方程组 x2 + 2= ，消去 y，整理得： 5k
2+1 x2-20k2x+ 20k2-5= 0.
5 y 1
2 2
设A x1,y B 20k1 ， x2,y2 ，则：x1+x2= ，x x = 20k -5 .
5k2+ 1 21 5k2+1
所以 y1+y2= k x +x -4k 1 2 - 4k= .
5k2+1
2
所以AB N 10k的中点 的坐标为 , -2k k -2k 1，所以2+ 2+ ON= =- .5k 1 5k 1 10k2 5k
x x
由给出的结论可知，椭圆在A点的切线方程为： 1 + y
5 1
y= 1，
x x
在B点的切线方程为： 2 + y
5 2
y= 1.
x x
15 + y1y= 1 5 y2-y1 x1-x联立方程组： 2 x ，解得M点的坐标为： , ，2x + y x y -x y x y -x2y= 1 1 2 2 1 1 2 2y1 5
= x1-x所以 k 2 1OM =- .
5 y2-y1 5k
因为 kOM= kON，所以O，M，N三点共线.
(2)
20k2 2
2
x -x 2= x +x 2-4x x = -4× 20k
2-5 20 k +1
因为： 1 2 1 2 1 2 =
5k2+1 5k2+1 5k2+1 2
2 5 1+ k2 2 5 1+ k2
所以： AB = 1+ k2 x1-x 22 = 1+ k × =
5k2+1 5k2+1
5 y -y 5k
= 2 1 =
x2-xx 1
5 x2-x1 5
又因为 M - = = ，x1y2 x2y1 x1k x2-2 - x2k x1-2 -2 x1-x2 2
k =- 1 = y又 MOM ，则 y =-
1 x =- 1 × 5 =- 1 5 1，所以M ,- ，
5k x M M M 5k 5k 2 2k 2 2k
5 2 2 2所以 FM = - 2 + - 1 - 0 = k +1 .2 2k 2 k
2 2
又 FN = 1+ k2 10k - 2 = 2 1+ k .5k2+1 5k2+1
2 5 1+ k2 k2+1
AB · FM 2+ ·= 5k 1 2 k
2
所以： = 5 · 1+ k
FN 2 1+ k2 2 k
5k2+1
·13·
= 5 · k 1 5 + ≥ × 2 k 1 = 5，2 k 2 k
|k| = 1当且仅当 即 |k| = 1时，等号成立.
|k|
AB · FM
所以 的最小值为 5.
FN
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，
则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．
在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
·14·