2024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题
一、单选题
1. 设集合A= x,y |x+ y= 2 ，B= x,y |y= x2 ，则A∩B= ( )
A. 1,1 B. -2,4 C. 1,1 , -2,4 D.
2. 已知 a+ bi(a,b∈R) 1- i是 的共轭复数，则 a+ b=
1+ i
A. -1 B. - 1 C. 1 D. 1
2 2
3. 设向量 a= (1,1),b= (-1,3),c = (2,1) (a ，且 - λb)⊥ c ，则 λ等于 ( )
A. 3 B. 2 C. -2 D. -3
4. 已知点A为曲线 y= x+ 4 x> 0 上的动点，B为圆 x- 2 2+y2= 1上的动点，则 AB 的最小值是
x
( )
A. 3 B. 4 C. 3 2 D. 4 2
5. 2+ x 10的展开式各项的系数中最大的是 ( )
A. x2的系数 B. x3的系数 C. x4的系数 D. x5的系数
6. 某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的
是 ( )
A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生
C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生
7. π已知三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠ABC= ,SB= 4,AB= 2,BC= 3 SA BC π， 和 所成的角为 ，则该
2 3
三棱锥外接球的表面积是 ( )
A. 12π B. 16π C. 24π D. 32π
8. 已知定义在 [0,1]上的函数 f(x)满足：
① f(0) = f(1) = 0；
②对所有 x,y∈ [0,1]，且 x≠ y，有 f(x) - f(y) < 1 x- y .
2
若对所有 x,y∈ [0,1]， f(x) - f(y) < k，则 k的最小值为
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
2 4 2π 8
二、多选题
9. 我国于 2015年 10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群
体中随机抽取了容量为 200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各 100人；男性 120人，女性 80人，绘制
的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选
择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是 ( )
·1·
A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B.是否倾向选择生育二胎与性别无关
C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同
D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数
10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经
过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F1,
F C: x
2
2
2分别为双曲线 - y = 1的左，右焦点，过C右支上一点A x0,y0 x0> 3 作双曲线的切线交 x轴于3
点M，交 y轴于点N，则 ( )
A.平面上点B 4,1 , AF2 + AB 的最小值为 37- 2 3
B.直线MN的方程为 xx0-3yy0= 3
C.过点F1作F1H⊥AM，垂足为H，则 OH = 2(O为坐标原点)
D.四边形AF1NF2面积的最小值为 4
11.数列 an 满足 a = 1 a -6 3n+1 n +6(n= 1,2,3 )，则 ( )4
A.当 a1= 3时， an 为递减数列，且存在M∈R，使 an>M恒成立
B.当 a1= 5时， an 为递增数列，且存在M≤ 6，使 anC.当 a1= 7时， an 为递减数列，且存在M≥ 6，使 an>M恒成立
D.当 a1= 9时， an 递增数列，且存在M∈R，使 an三、填空题
12.已知 cos a+ π - sinα= 4 3 11π，则 sin6 5 α+ 6 = ．
13.设随机试验每次成功的概率为 p，现进行 3次独立重复试验．在至少成功 1次的条件下，3次试验全部成功
4
的概率为 ，则 p= ．
13
14.若函数 f x = ex+cosx+ a- 1 x存在最小值，则 a的取值范围是 ．
四、解答题
15.在△ABC中，∠A= 90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF=AC．
(1)若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；
(2)若∠ABC= 45°，且BD= 3CD，求 cos∠CFB．
·2·
16.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形.SA⊥底面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与
平面ABCD成 45°角.
(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；
(2) EF= 1若 BC，求二面角B-SC-D的余弦值.
2
17.A，B两组各有 7位病人，他们服用某种药物后的康复时间 (单位：天)记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16；
B组：12，13，15，16，17，14，a．
假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选 1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为
乙．
(1)如果 a= 25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(2)当 a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等
18. 1已知抛物线 y= ax2(a> 0)与双曲线 y= 交于点T，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P，
x
Q．
(1)证明：△PQT存在两条中线互相垂直；
(2)求△PQT的面积．
19. x+ 7已知函数 f x = + 关于点 -1,1 中心对称．x a
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)讨论 g x = x f x 2在区间 0,+∞ 上的单调性；
(3)设 a1= 1,an+1= f an ，证明：2n-2 2lnan-ln7 < 1．
·3·2024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题
一、单选题
1. 设集合A= x,y |x+ y= 2 ，B= x,y |y= x2 ，则A∩B= ( )
A. 1,1 B. -2,4 C. 1,1 , -2,4 D.
【答案】C
【分析】由题意可知A∩B实质是求交点，进而联立组成方程组求解即可.
【详解】解：集合A与集合B均为点集，A∩B实质是求 x+ y= 2与 y= x2的交点，
x+ y= 2所以联立组成方程组得 y= ，x2
x= 1 x=-2解得 ，或 y= 1 y= ，4
从而集合A∩B= 1,1 , -2,4 ，
故选：C.
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2. 已知 a+ bi(a,b∈R) 1- i是 + 的共轭复数，则 a+ b=1 i
A. -1 B. - 1 C. 1 D. 1
2 2
【答案】D
1- i
【解析】首先计算 + ，然后利用共轭复数的特征计算 a,b的值.1 i
2
1- i (1- i) -2i
【详解】 = = =-i，
1+ i (1+ i) (1- i) 2
∴ a+ bi=- (-i) = i，
∴ a= 0,b= 1,∴ a+ b= 1.
故选:D.
【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.
3. 设向量 a = (1,1),b= (-1,3),c = (2,1) (a ，且 - λb)⊥ c ，则 λ等于 ( )
A. 3 B. 2 C. -2 D. -3
【答案】A
【分析】由向量线性关系及垂直的坐标表示列方程求参即可.
【详解】由题意得 a- λb= (1+ λ,1- 3λ) ，又 (a- λb)⊥ c ，
所以 (a - λb) c = 2(1+ λ) + 1- 3λ= 0，可得 λ= 3.
故选：A
4. 已知点A为曲线 y= x+ 4 x> 0 上的动点，B为圆 x- 2 2+y2= 1上的动点，则 AB 的最小值是
x
( )
A. 3 B. 4 C. 3 2 D. 4 2
【答案】A
【分析】数形结合分析可得，当A 2,4 时能够取得 |AB|的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即可.
【详解】圆 x- 2 2+y2= 1的圆心为 2,0 ，半径为 1，
·1·
由对勾函数的性质,可知 y= x+ 4 ≥ 4，当且仅当 x= 2时取等号，
x
结合图象可知当A点运动到 2,4 时能使点A到圆心的距离最小，最小值为 4，
从而 AB 的最小值为 4- 1= 3.
故选：A
5. 2+ x 10的展开式各项的系数中最大的是 ( )
A. x2的系数 B. x3的系数 C. x4的系数 D. x5的系数
【答案】B
【分析】利用二项式通项的性质和组合数的性质计算出符合条件的 k值即可.
【详解】通项公式为T =Ck 2k x10-kk+1 10 ，
因为Ck 2k≥Ck-1 2k-1 2Ck≥Ck-110 10 10 10 ，
2× 10× 9× × 11- k 10× 9× × 12- k 2 11- k
所以 ! ≥ ≥ 1 k 3k- 22 ≤ 0 k≤
22
k k- 1 ! k 3
同理Ck k10 2 ≥Ck+1 2k+1 Ck≥ 2Ck+110 10 10 ，
10× 9× × 11- k 2× 10× 9× × 10- k 2 10- k
所以 ! ≥ + ≤ 1 3k- 19 k+ 1 ≥ 0 k≥k k+ 1 ! k 1
19
，
3
所以 k= 7，
所以展开式各项的系数中最大的是第八项，为T=C7 27 x3，即 x38 10 的系数最大.
故选：B
6. 某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的
是 ( )
A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生
C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生
【答案】C
【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.
【详解】根据已知条件设理科女生有 x1人，理科男生有 x2人，
文科女生有 y1人，文科男生有 y2人；
根据题意可知 x1+x2> y1+y2，x2+y2< x1+y1，
根据异向不等式可减的性质有 x1+x2 - x2+y2 > y1+y2 - x1+y1 ，
即有 x1> y2，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证.
故选：C.
7. π π已知三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠ABC= ,SB= 4,AB= 2,BC= 3，SA和BC所成的角为 ，则该
2 3
·2·
三棱锥外接球的表面积是 ( )
A. 12π B. 16π C. 24π D. 32π
【答案】B
【分析】将三棱锥S-ABC放入长方体ABCD-EFGH中，并建立适当的空间直角坐标系，由已知表示出
各个点的坐标，进一步结合 OA = OS =R，列出方程组求出R即可进一步求解.
【详解】将三棱锥S-ABC放入长方体ABCD-EFGH中，S在棱EH上面，
并以A为原点，AB,AD,AE所在直线分别为 x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
由题意∠SAB=∠ABC= π ,SB= 4,AB= 2,BC= 3，
2
所以SA= 16- 4= 2 3，
因为SA和BC π所成的角为 ，AD BC，
3
AE= 2 3sin π所以 = 3,ES= 2 3cos π = 3，
3 3
而底面三角形外接圆圆心为AC中点O1，设球心O到平面ABC的距离为 h，
则A 0,0,0 ,B 3 3 2,0,0 ,C 2, 3,0 ,S 0, 3,3 ,O1 1, ,0 ,O 1, ,h ，2 2
所以OA= -1,- 3 ,-h ,OS= -1, 3 ,3- h2 2 ，
则由 OA = OS =R R2= 3 + 1+ h2= 3 + 1+ 3- h 2，4 4
3
解得 h= ,R2= 4，从而S= 4πR2= 16π，
2
即该三棱锥外接球的表面积是 16π.
故选：B.
8. 已知定义在 [0,1]上的函数 f(x)满足：
① f(0) = f(1) = 0；
②对所有 x,y∈ [0,1]，且 x≠ y，有 f(x) - f(y) < 1 x- y .
2
若对所有 x,y∈ [0,1]， f(x) - f(y) < k，则 k的最小值为
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
2 4 2π 8
【答案】B
【详解】试题分析：不妨令 0≤ x< y≤ 1，则 f x - f y 1 < x- y
2
法一：2 f x - f y = f x - f 0 + f x - f y - f y - f 1
≤ f x - f 0 + f x - f y + f y - f 1
< 1 x- 0 + 1 x- y + 1 1 1 1 1 y- 1 = x+ y- x + y- 1 = ，
2 2 2 2 2 2 2
·3·
即得 f x - f y 1 < ，
4
ux ,0≤ x≤ 1
另一方面，当 u∈ 0, 1 2时，f x ={ ，符合题意，2 -u 1- x 1 , < x≤ 1
2
u→ 1 f 1 - f 0 = u → 1当 时， ，2 2 2 4
故 k≤ 1
4
x- y≤ 1法二：当 时， f x - f y 1 < x- y ≤ 1 ，
2 2 4
当 x- y> 1 时， f x - f y = f x - f 0 - f y - f 1
2
≤ f x - f 1 + f y - f 0
< 1 x- 1 1 1 1 1 1 1 + y- 0 = 1- x + y= + y- x < ，
2 2 2 2 2 2 4
k≤ 1故
4
【解析】1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.
二、多选题
9. 我国于 2015年 10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群
体中随机抽取了容量为 200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各 100人；男性 120人，女性 80人，绘制
的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选
择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是 ( )
A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B.是否倾向选择生育二胎与性别无关
C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同
D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数
【答案】AB
【分析】根据题中数据结合比例图逐项分析判断.
【详解】由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：
在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为 40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为 80%，
所以是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；
在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为 60%，女性倾向选择生育二胎的比例为 60%，
所以是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；
在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为 60%，人数为 120× 60%= 72人，
女性倾向选择生育二胎的比例为 60%，人数为 80× 60%= 48人，
所以倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不相同，故C错误；
·4·
在D中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为 100× 1- 80% = 20人，
城镇户籍人数为 100× 1- 40% = 60人，
所以倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D错误.
故选：AB.
10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经
过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F1,
x2F分别为双曲线C: - y22 = 1的左，右焦点，过C右支上一点A x0,y0 x0> 3 作双曲线的切线交 x轴于3
点M，交 y轴于点N，则 ( )
A.平面上点B 4,1 , AF2 + AB 的最小值为 37- 2 3
B.直线MN的方程为 xx0-3yy0= 3
C.过点F1作F1H⊥AM，垂足为H，则 OH = 2(O为坐标原点)
D.四边形AF1NF2面积的最小值为 4
【答案】ABD
【分析】对A，利用双曲线定义将 AF2 转化为 AF1 - 2a可得解；对B，设出直线MN的方程为 y- y0=
k x- x0 与双曲线联立，根据Δ= 0化简运算得解；对C，由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F1AF2，延
长F1H与AF2的延长线交于点E，则AH垂直平分F1E，即 AF1 = AE ，H为F1E的中点，进而得 OH =
1
F2E 得解；对D，求出N点坐标，根据SAFNF=S△AFF+S△NFF，结合基本不等式可求解.2 1 2 1 2 1 2
【详解】对于A，由双曲线定义得 AF1 - AF2 = 2a= 2 3，且F1 -2,0 ，
则 AF2 + AB = AF1 + AB - 2 3≥ BF1 - 2 3= 4- -2 2+1- 2 3= 37- 2 3，
所以 AF2 + AB 的最小值为 37- 2 3.故A正确；
对于B，设直线MN的方程为 y- y0= k x- x0 ，k≠± 3 ，3
y- y0= k x- x0 联立方程组 2 2 2 2 2 2 x2- 2= ，消去 y整理得， 1- 3k x + 6k x0-6ky0 x- 3k x3y 3 0+6kx0y0-3y0-3= 0，
∴ xΔ= 0，化简整理得 9y2k20 -6x0y0k+ x20= 0，解得 k= 0 ，3y0
- = x可得直线MN的方程为 y y 00 x- x0 ，即 x0x- 3y0y= 3，故B正确；3y0
对于C，由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F1AF2，延长F1H与AF2的延长线交于点E，
则AH垂直平分F1E，即 AF1 = AE ，H为F1E的中点，
又O是F1F
1 1 1
2中点，所以 OH = F2E = AE - AF2 = AF1 - AF2 = a= 3，故C错误；2 2 2
对于D，由直线MN的方程为 x0x- 3y0y= 3，令 x= 0 1，得 y=- ，则N 0,- 1y0 y0 ，
S 1 1 1AFNF=S△AFF+S△NFF= × F1F2 × y0 + ≥ × 4× 2 y 10 = 4，1 2 1 2 1 2 2 y0 2 y0
1
当且仅当 y0 = ，即 y0=±1时等号成立，
y0
所以四边形AF1NF2面积的最小值为 4，故D项正确.
故选：ABD.
·5·
.
【点睛】关键点睛：C项中，结合已知给出的双曲线的光学性质，即可推出AH垂直平分F1E， OH =
1
F2E .2
11. 1数列 an 满足 an+1= an-6 3+6(n= 1,2,3 )，则 ( )4
A.当 a1= 3时， an 为递减数列，且存在M∈R，使 an>M恒成立
B.当 a1= 5时， an 为递增数列，且存在M≤ 6，使 anC.当 a1= 7时， an 为递减数列，且存在M≥ 6，使 an>M恒成立
D.当 a1= 9时， an 递增数列，且存在M∈R，使 an【答案】BC
【分析】首先由数学归纳法求出数列的通项，再令 a1= 3,5,7,9时代入通项中，求出具体通项公式，最后结合
指数函数的性质逐一判断即可.
1
【详解】由题意可知 an+1-6= a -6 3，4 n
1 3 1 3 1 1 3 3 2∴ a2-6= a 1 11-6 ,a3-6= a2-6 = a1-6 = × × a -6
3，
4 4 4 4 4 43
1
1 3n-1 1 n-1 n-1归纳猜想：an-6= 2 n-2 a1-6 = n-1 a1-6 3 =
2
a -6 3 ，
41+3+3 + +3 1-3 23
n-1 1
4 1-3
3 3n-1A：当 a1= 3时，an-6=-2× ，则 an 为递减数列，无边界，故A错误；2
3n-1
B：当 a1= 5时，an-6=-2× 1 ，则 an 为递增数列，有边界，2
由指数函数的单调性可知，当 n→∞时，an→ 6，故存在M≤ 6，使 an3n-1
C 1：当 a1= 7时，an-6= 2× ，则 an 为递减数列，有边界，2
由指数函数的单调性可知，当 n→∞时，an→ 6，故存在M≥ 6，使 an>M恒成立，故C正确；
3n-1
D：当 a1= 9 3时，an-6= 2× ，则 an 为递增数列，无边界，故D错误；2
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：(1)当所给递推数列较为复杂时，(不为用常见的累加累乘等)可考虑先写出几项，然后
用数学归纳法求出通项公式.
(2)判断数列是否存在边界或数列不等式恒成立问题可结合指数函数的单调性判断.
三、填空题
12. cos a+ π - sinα= 4 3已知 ，则 sin α+ 11π = ．6 5 6
【答案】- 4
5
·6·
cos α+ π - sinα= 3 cosα- 3 sinα=- 3sin α- π = 4 3【分析】由题意可得 ，结合诱导公式可得6 2 2 6 5
结果.
cos α+ π - sinα= 3 cosα- 3 sinα=- 3sin α- π = 4 3【详解】由 ，6 2 2 6 5
∴ sin α- π =- 46 5
而 sin α+ 11π = sin α- π + 2π = sin α- π =- 4．6 6 6 5
4
故答案为-
5
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型.
13.设随机试验每次成功的概率为 p，现进行 3次独立重复试验．在至少成功 1次的条件下，3次试验全部成功
4
的概率为 ，则 p= ．
13
2
【答案】
3
【分析】利用条件概率直接求解.
4
【详解】在至少成功 1次的条件下，3次试验全部成功的概率为 ，
13
p3 = 4 p= 2则 ，解得 或-2(舍去).
1- 1- p 3 13 3
2
故答案为：
3
14.若函数 f x = ex+cosx+ a- 1 x存在最小值，则 a的取值范围是 ．
【答案】 -∞,1
【分析】从 a= 1，a> 1，及 a< 1进行分析求解.
【详解】注意到，当 a= 1时，f x = ex+cosx，
由于 ex> 0，-1≤ cosx≤ 1，显然 f x min→-1，没有最小值；
当 a> 1时，ex+cosx>-1且无限接近-1，y= a- 1 x为增函数，
则 x→-∞，ex+cosx+ a- 1 x→-∞，
x→+∞，ex+cosx+ a- 1 x→+∞，
此时没有最小值；
当 a< 1时，y= a- 1 x为减函数，则 x→-∞，ex+cosx+ a- 1 x→+∞，
x→+∞，由于 y= ex增长变化速度远大于 y= a- 1 x减少速度，
此时 ex+cosx+ a- 1 x→+∞，由于函数定义域为R,函数连续不断，所以 f x = ex+cosx+ a- 1 x存在
最小值．
故答案为： -∞,1
四、解答题
15.在△ABC中，∠A= 90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF=AC．
(1)若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；
(2)若∠ABC= 45°，且BD= 3CD，求 cos∠CFB．
【答案】(1)∠ABC= 60°
(2) 5 17
51
·7·
【分析】(1) 1 1由两三角形的面积相等可得 AB AC= CD DF，再由DF=AC可得CD=AB，从而结合
2 2
已知可得BC= 2AB，进而可求得∠ABC；
(2) AB= k AC= k,CB= 2k,BD= 3 2设 ，则 k,DF= k，然后在△BDF,△CDF中分别利用勾股定理求
4
出CF,BF，再在△CBF中利用余弦定理可求得结果.
【详解】(1)如图所示
在△ABC中，∠A= 90°，点D在BC边上．
在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF=AC，
所以S△ABC=
1 AB AC，S = 1 CD DF，
2 △CDF 2
且△CDF的面积等于△ABC的面积，
由于DF=AC，
所以CD=AB，
因为D为BC的中点，
故BC= 2AB，
所以 cos∠ABC= AB = AB = 1 ，
BC 2AB 2
因为∠ABC为锐角，
所以∠ABC= 60°．
(2)如图所示：
设AB= k，由于∠A= 90°，∠ABC= 45°，BD= 3DC,DF=AC，
所以AC= k,CB= 2k,BD= 3 2 k,DF= k，
4
由于DF⊥BC，所以CF 2=CD2+DF 2，则CF= 3 2 k．
4
且BF 2=BD2+DF 2 34，解得BF= k，
4
9 k2+ 17k2-2k2
△CBF CF
2+BF 2-BC2 5 17
在 中，利用余弦定理得 cos∠CFB= = 8 8 =
2CF BF 2× 3 24 k
34 k 514
·8·
16.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形.SA⊥底面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与
平面ABCD成 45°角.
(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；
(2)若EF= 1 BC，求二面角B-SC-D的余弦值.
2
【答案】(1)证明见解析；
(2) - 3 .
3
【分析】(1)要证EF为异面直线AD与SC的公垂线，即证AD⊥EF，EF⊥SC，通过线面垂直即可证明；
(2)以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BSC
和平面SCD的法向量，计算求解即可.
【详解】(1)连接AC，BD交于点G，连接EG，FG，
因为四边形ABCD为矩形，且E，F分别为AD，SC的中点，
所以GE CD，且GF SA，
又SA⊥底面ABCD，所以GF⊥底面ABCD，
又AD 平面ABCD，所以GF⊥AD，
又AD⊥GE，GE∩GF=G，GF,GE 面GEF，
所以AD⊥平面GEF，EF 面GEF，所以AD⊥EF，
因为EF与平面ABCD成 45°角，所以∠FEG= 45°，所以GF=GE，
由SA= 2FG,AB= 2GE，所以SA=AB，
取SB的中点H，连接AH，FH，由F，H分别为SC，SB的中点，
1 1
知FH BC，FH= BC，又AE BC，AE= BC，
2 2
所以FH AE，FH=AE，所以四边形AEFH为平行四边形，
又SA=AB，所以AH⊥SB，又BC⊥平面SAB，AH 平面SAB，所以BC⊥AH，
又BC∩SB=B，BC,SB 面SBC，所以AH⊥平面SBC，而AH EF，
所以EF⊥平面SBC，又SC 平面SBC，
所以EF⊥SC，所以EF为异面直线AD与SC的公垂线；
(2)若EF= 1 BC 2，设BC= 2，则EF= 1，则GE=GF= ，所以SA=AB= 2，
2 2
·9·
以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B 2,0,0 ，D 0,2,0 ，S 0,0, 2 ，C 2,2,0 ，
从而SC = 2,2,- 2 ，BC = 0,2,0 ，CD= - 2,0,0 ，
= , , n1 S C = 0设平面BSC的法向量为 n1 x1 y1 z1 ，则 ，n1 BC = 0
2x即 1+2y1- 2z1= 0 = = ，令 z1 1，可得n1= 1,0,1 ，2y 1 0
设平面SCD的法向量为 n2= ,
n SC = 0
x2 y2,z2 ，则
2 ，
n2 CD= 0
2x2+2y2- 2z即 2= 0 - 2x2= ，令 z2= 2，可得n2= 0,1, 2 ，0
n n
cosn ,n = 1 2 = 2 = 3所以 1 2 ，
n1 n2 2 3 3
由图可知二面角B-SC-D的平面角为钝角，
所以二面角B-SC-D的余弦值为- 3 .
3
17.A，B两组各有 7位病人，他们服用某种药物后的康复时间 (单位：天)记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16；
B组：12，13，15，16，17，14，a．
假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选 1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为
乙．
(1)如果 a= 25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(2)当 a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等
【答案】(1) 10
49
(2)a= 11或 18
【分析】(1)列举出符合条件的方法，利用古典概率计算即可；
(2)利用方差的意义求出即可.
【详解】(1)从两组中随机选取一人，共有 49种方法；其中甲的康复时间比乙的康复时间长的方法如下：
13,12 , 14,12 , 14,13 , 15,12 , 15,13 , 15,14 , 16,12 , 16,13 , 16,15 , 16,14 ，
共有 10 10种方法，所以概率为 .
49
(2)把B组数据调整为：12，13，14，15，16，17，a，或 a ，12，13，14，15，16，17，
根据方差的意义为反应样本波动性的大小可知，a= 11或 18.
18.已知抛物线 y= ax2(a> 0) 1与双曲线 y= 交于点T，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P，
x
·10·
Q．
(1)证明：△PQT存在两条中线互相垂直；
(2)求△PQT的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 27 .
4
【分析】(1)设出切点P,Q的坐标，利用导数的几何意义求出公切线方程，进而求出三边的中点坐标即可推
理得证.
(2)利用 (1)的结论，结合三角形重心定理求出面积.
【详解】(1)设P(xP,ax2P),Q x 1Q, ，由 y= ax2 1 1、y= ，求导得 y = 2ax、y =- ，xQ x x2
则抛物线 y= ax2(a> 0)在点P处切线方程为 y- ax2P= 2axP(x- xP)，
y= 1 Q y- 1 1双曲线 在点 处切线方程为 =- (x- x )，
x x 2 QQ xQ
2axP=-
1
x2
由直线PQ是两条曲线的公切线，得 Q 2 ，解得 xP= 4xQ，且-ax
2= 2 ，
-ax2
P
P= xx QQ
令 xQ=-
1 2 2 1
，则 xP=- ，P - ,4t ,Q - ,-2t ，且 a= t3,t> 0，2t t t 2t
y= ax2 1 1
由 = 1 ，解得 x= ,y= t，即点T ,ty t t ，x
则边PQ中点M - 5 ,t ，边PT的中点K - 1 , 5t QT 1 t，边 的中点L ,- ，4t 2t 2 4t 2
显然直线MT:y= t，直线KQ:x=- 1 ，则直线MT⊥KQ，
2t
所以△PQT存在两条中线互相垂直.
(2) 9t由 (1)知， KQ = ,MT = 9 ，令△PQT的重心为H，
2 4t
所以△PQT 1 2 2 9t 9 27的面积S△PQT= 2SKQT= 2 KQ TH = KQ MT = = .2 3 3 2 4t 4
【点睛】结论点睛：函数 y= f(x)是区间D上的可导函数，则曲线 y= f(x)在点 (x0,f(x0)) (x0∈D)处的切线
方程为：y- f(x0) = f (x0) (x- x0).
19. x+ 7已知函数 f x = + 关于点 -1,1 中心对称．x a
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)讨论 g x = x f x 2在区间 0,+∞ 上的单调性；
(3)设 a1= 1,an+1= f an ，证明：2n-2 2lnan-ln7 < 1．
【答案】(1)f x = x+ 7
x+ 1
(2)答案见解析
·11·
(3)证明见解析
【分析】(1)由中心对称函数的性质得出即可；
(2)利用导数分析其单调性即可；
2
(3) a 1将要证明的不等式利用对数运算变形为 ln n < - ，再用数学归纳法结合 (2)证明即可.7 2n 2
x+ 7
【详解】(1)因为函数 f x = + 关于点 -1,1 中心对称，x a
所以 f -1- x + f -1+ x = 2 -1- x+ 7 -1+ x+ 7 ，即 +
a- 1- x -1+ + = 2，x a
取 x= 2 4 8，可得 - + + = 2，解得 a= 1或 a= 7(舍去)，a 3 a 1
x+ 7
所以 a= 1，f x = + .x 1
(2)因为 g x = x f x 2，x> 0，
x+ 7
2 x+ 7
= + × x+ 7 × - 6 =
x- 2 2+3
所以 g x 2x
x+ 1 2 x+ 1 x+ 1 2
，
x+ 1 3
因为 x+ 7> 0, x+ 1 3> 0, x- 2 2+3≥ 3，所以 g x > 0恒成立，
所以 g x = x f x 2在区间 0,+∞ 上单调递增.
2
(3)证明：要证 2n-2 2lnan-ln7 < 1，即证 aln n7 < 12n- ，2
2
当n= 1时， aln 1 < 1 ln 1- = ln7< lne2= 2，成立，7 21 2 7
a2 2 2
即证 ln n+1 < 1 a a，即证 ln n+1 < 1 ln n7 2n-1 7 2 7 ，
2
由题意得 an> a0，则即证 ln n+1 <7
a
ln n
7 ，
a +7
因为 a n1= 1,an+1= f an = ，an+1
- = an+7
a - 7 1- 7
an+1 7 + - =
n 7
an 1 an+
，
1
由 an> 0，即 an- 7与 an+1- 7异号，
a a
当 an> 7，0< a 7 n 7 nn+1< 7，即证 ln < ln ，即证 < ，
a2n+1 7 a
2
n+1 7
7+ a 2
即证 ana
2
n+1> 7 7，即证 a nn + > 7 7，1 an
由 (2)可知，当 an> 7,g an > g 7 = 7 7成立.
a2 a2
当 an+1> 7,0< a < 7 7 7n ，即证 ln n+1 < ln ，即证 n+1 < ，7 an 7 an
7+ a 2
即证 a 2 nnan+1< 7 7，即证 an 1+ an < 7 7，
由 (2)可知，当 0< an< 7,g an < g 7 = 7 7成立.
综上，得证.
【点睛】关键点点睛：(1)若函数 f x 满足 f m- x + f m+ x = 2n，则对称中心为 m,n ；
(2)判断符合函数的单调性时，常用导数判断；
(3)证明数列不等式，可用数学归纳法证明，分别取当 n= 1时的特例和 n> 1的一般情况证明.
·12·
