2023-2024学年河南省安阳市滑县一中高一（上）第十四次月考数学试卷（1月份）（含解析）

2023-2024学年河南省安阳市滑县一中高一（上）第十四次月考数学试卷（1月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.幂函数在上单调递增，则函数的图象过定点( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.若两个正实数，满足，且不等式恒成立．则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，若，，，则( )
A. B. C. D.
8.函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减记满足条件的所有的值的和为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，值为的是( )
A. B. C. D.
10.设，且，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数是奇函数，下列选项正确的是( )
A.
B. 函数在上的值域为
C. 、，且，恒有
D. 若，恒有充分不必要条件为
12.已知函数的最小值为，是自然对数的底数，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.函数的定义域为______．
14.半径为，圆心角为的弧长为______．
15.已知函数，则不等式的解集是______．
16.中，若，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合，．
用列举法表示集合；
若是的必要条件，求实数的值．
18.本小题分
已知，．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数．
若为偶函数，求的值；
若在上有最小值，求的值．
20.本小题分
某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔单位：分钟满足，经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：其中．
求，并说明的实际意义；
若该路公交车每分钟的净收益元，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．
21.本小题分
已知函数．
求最小正周期；
将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的单调递增区间；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知为偶函数，为奇函数，且满足．
求、；
若方程有解，求实数的取值范围；
若，且方程有三个解，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题知，又，
所以，
所以，即．
故选：．
根据并集定义分析可得．
本题主要考查并集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
由得，由得，，而，，结合充分、必要条件的定义，即可得到结论．
【解答】
解：，
，，
而，，
可得“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：因为为幂函数且在上单调递增，
所以，解得，
所以，
又因为指数函数恒过定点，
所以恒过定点．
故选：．
由函数为幂函数且在上单调递增，可得，再由指数函数过定点，即可得函数所过的定点．
本题主要考查了幂函数的定义，考查幂函数的定义和性质，幂函数的单调性以及指数幂的运算，是一道基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
则，
故选：．
由题意，利用诱导公式求得的值，再利用二倍角的余弦公式，求得的值．
本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于函数，有，
解得，故函数的定义域为，排除选项，
令可得，解得，即函数只有两个零点，排除选项．
故选：．
求出函数的定义域以及零点个数，可得出合适的选项．
本题主要考查了函数性质在函数图象判断中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
解得舍去，
所以，当且仅当时，取等号，
所以的最小值为，
则不等式恒成立，即为，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：．
不等式恒成立，即为，根据基本不等式求出的最小值，从而可得出答案．
本题考查不等式的恒成立问题，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：定义在上的函数满足，
函数关于对称，
，
，
又，在上单调递增，
，
即．
故选：．
由题意可知函数关于对称，则，，结合函数单调性即可求解．
本题主要考查抽象函数及其应用，函数值大小的比较，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：函数，
由题意知，，，，
两式相减可求得，，，即，，
因为在上单调递减，
所以，
所以，且，，
解得，所以，，，
时，，此时，符合题意；
时，，此时，不满足在上单调递减，不符合题意；
时，，此时，符合题意；
所以符合条件的值之和为．
故选：．
由题意列方程组求出的值，再利用函数的单调性确定的值，从而求得符合条件值之和．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，正确；
对于，，正确；
对于，，错误；
对于，，正确．
故选：．
利用诱导公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值即可逐一求解．
本题考查了诱导公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要主要考查了不等式的性质，以及基本不等式的应用，属于中档题．
对于，结合不等式的性质即可求解，对于，结合指数函数的单调性即可求解，对于，结合基本不等式公式即可求解．
【解答】
解：对于，，且，，解得，故A正确，
对于，，即，，故B错误，
对于，，且，，当且仅当时，等号成立，，故C正确，
对于，，且，
，当且仅当，时等号成立，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：函数是奇函数，其定义域为，
，解得，故A正确；
，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
、，且，恒有，故C正确；
，，
函数在上的值域为，故B正确；
，恒有，在上单调递增，
，恒成立，即，恒成立，
，解得，
又，
，恒有充分不必要条件为，故D正确，
故选：．
依题意，由，解得的值，可判断的正误；
分析的单调性，可判断的正误，进一步求得函数在上的值域，可判断的正误；
利用的结论，，恒成立可转化为，恒成立，解之可得的取值范围，进而可判断的正误．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查等价转化思想与逻辑推理能力、运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
由条件，可得当时，，对于，当时，为上的减函数，则，代入解不等式得解；对于，当时，由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，判断的单调性，求出最小值即可判断．
本题考查了利用单调性和对勾函数的性质求函数的最值，考查了转化思想，属于中档题．
【解答】
解：因为的最小值为，
当时，，即，
故当时，的值域为的子集，即，
对于，当时，为上的减函数，
又，则，即，故A正确，C错误；
当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
对于，当时，对勾函数在上单调递增，
则函数在上单调递减，由知，故B错误；
对于，当时，对勾函数在上单调递减，
则函数在上单调递增，
又，则，即，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：要使函数有意义，则，得，即且，
即函数的定义域为．
故答案为：．
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
14.【答案】
【解析】解：半径为，圆心角为的弧长为．
故答案为：．
根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．
本题主要考查弧长公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
由题可得为偶函数，且在上单调递增，后利用可得答案．
【解答】
解：因为的定义域为，且，所以是偶函数．
又当时，单调递增．
因为是偶函数，所以在单调递减，
又因为，
所以．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：因为，即，
所以，
则，
，
即，
所以，又因为，，
所以，，，
因为
，
因为，所以，
则，
所以，
即的取值范围是，
故答案为：
根据，利用两角和差的正余弦公式可得，可得，，，再利用二倍角公式，诱导公式和辅助角公式可得，再根据的取值范围，结合正弦函数的性质，即可求得结果．
本题考查两角和的正余弦公式的应用，涉及二倍角公式，诱导公式的应用，转化思想，正弦函数性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：．
是的必要条件，，
，
，
．
【解析】本题考查了集合的表示以及必要条件的应用，考查了学生的运算理解能力，属于基础题．
解出方程即可求解．
由已知可得，即可求解．
18.【答案】解：因为，
所以两边平方，可得，可得，
又，
所以，可得，，
可得，
所以由可得，，
可得；
因为，，
所以．
【解析】将已知等式两边平方可得，可求范围，进而利用平方差公式可求，联立方程可求得，的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求得的值；
利用二倍角公式可求，的值，进而利用两角差的正弦公式即可求解．
本题考查了平方差公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：，则，
函数为偶函数，
，解得；
函数图象的对称轴为，开口向上，
当，即时，函数在上单调递增，
又在上有最小值，
则，解得不合题意，舍取或；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
又在上有最小值，
，解得不合题意，舍去；
当，即时，函数在上单调递减，
又在上有最小值，
，解得或不合题意，舍去，
综上所述，或．
【解析】求出的解析式，根据偶函数的性质关于轴对称，即对称轴，即可得出答案；
由题意得函数图象的对称轴为，开口向上，分类讨论，，，利用单调性，即可得出答案．
本题考查二次函数的图象与性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：，
实际意义为：发车时间间隔为分钟时，载客量为；
，当时，，
即，，当且仅当，即时等号成立，
所以，当时，取得最大值，
当时，，
则当时，取得最大值，
综上，当发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元．
【解析】把代入分段函数的解析式即可；
先求出关于的函数解析式，再利用基本不等式即可求出结果．
本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．
21.【答案】解：因为
，
所以函数的最小正周期为．
将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象，
再将的函数图象向右平移个单位，最后得到函数的图象，
则，
由，，解得，，
所以函数的单调递增区间为．
当时，，
则，所以，在区间上的值域为．
由，得，
由在上恒成立，得，解得，
实数的取值范围为．
【解析】利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
由三角函数的变换规则求出的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
由的取值范围求出的取值范围，从而求出函数的值域，依题意可得，解得即可．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，不等式恒成立求参数范围问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：根据题意，
是偶函数，是奇函数，
且，
，，
，即；
由解得，
解得；
方程有解，
则有解，
令，当且仅当时取等号，
在有解，
即，
当时，不成立，
当时，，
当且仅当时取等号，
故的取值范围为；
，
令，则，
函数的图象，如图所示为：
方程有三个解，
有两个根，且，或者，，或者，
当，，有，
，解得满足题意，
则，解得，
则，存在两个值满足，
当时，
记，
，
解得，
故的取值范围为．
【解析】由已知得到，然后和已知等式列方程组求解；
将方程有解转化为有解，利用基本不等式求的最值即可；
求出的值域，并画出的图象，令，将方程有三个解转化为有两个根，，研究方程的根的取值范围可得答案．
本题考查函数的零点与方程的根的关系，及函数的性质，考查学生的运算能力，属于难题．
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