2023-2024学年河南省南阳市西峡第二高级中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省南阳市西峡第二高级中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列中，，，则的通项为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
3.在线性回归方程中，为回归系数，下列关于的说法中不正确的是( )
A. 为回归直线的斜率
B. ，表示随增加，值增加，，表示随增加，值减少
C. 是唯一确定的值
D. 回归系数的统计意义是当每增加或减少一个单位，平均改变个单位
4.某企业生产某种产品，其广告层面的投入为单位：百万元，该企业产生的利润为单位：百万元，经统计得到如下表格中的数据：经计算广告投入与利润满足线性回归方程：，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，给出个表达式：，，，，其中能作为数列：，，，，，，，，的通项公式的是( )
A. B. C. D.
6.已知数列为等差数列，，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了对变量与的线性相关性进行检验，由样本点，，，求得两个变量的样本相关系数为，那么下面说法中错误的有( )
A. 若所有样本点都在直线上，则
B. 若所有样本点都在直线上，则
C. 若越大，则变量与的线性相关性越强
D. 若越小，则变量与的线性相关性越强
10.已知无穷等差数列的前项和为，，，则( )
A. 数列单调递减 B. 数列没有最小项
C. 数列单调递减 D. 数列有最大项
11.下列说法正确的是( )
A. 甲袋中有个红球，个白球和个黑球，乙袋中有个红球，个白球和个黑球．先从甲袋中随机取出个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出个球．设事件表示由从甲袋中取出的球是红球，事件表示从乙袋中取出的球是红球，则事件与事件相互独立
B. 某班有名学生，一次数学考试的成绩服从正态分布，，已知，则该班学生此次数学考试的成绩在分以上的有人
C. 已知事件与相互独立，当时，若，则
D. 指数曲线进行线性变换后得到的经验回归方程为，则函数的最小值为
12.如图，已知点是椭圆上第一象限内的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，圆心在轴上的动圆始终与射线，相切，切点分别为，，则下列判断正确的是( )
A.
B.
C. 面积的最大值为
D. 当点坐标为时，则直线的斜率是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.椭圆的焦距等于，则的值为______．
14.若数列为，，，，，则是这个数列的第______项
15.已知数列满足，，则 ______．
16.已知数列、都是等差数列，，分别是它们的前项和，并且，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等差数列中，，求的通项公式．
18.本小题分
在等差数列中，，，其前项和为．
求出时的最大值；
求
19.本小题分
年重庆半程马拉松将于月日在巴南举行，为了了解广大市民对于马拉松运动是否喜爱、随机抽取了名市民作问卷调查，结果如下表：
喜爱 不喜爱 合计
男性
女性
合计
在随机抽取的名市民中，抽到女性的概率是．
完成列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱马拉松项目与性别有关联？
现采用分层抽样的方法从接受问卷调查且喜爱马拉松的居民中随机抽取人认定为该比赛的志愿者，若从这名志愿者中随机抽取人进行初级裁判培训，求抽到的人中至少有名女士的概率．
附表及公式：
20.本小题分
随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站年月促销费用万元和产品销量万件的具体数据：
月份
促销费用
产品销量
根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型与的关系，请用相关系数加以说明系数精确到；
建立关于的线性回归方程系数精确到；如果该公司计划在月份实现产品销量超万件，预测至少需要投入费用多少万元结果精确到．
参考数据：，，，，，其中、分别为第个月的促销费用和产品销量，，，，，．
参考公式：样本相关系数，
对于一组数据、、、，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
21.本小题分
无穷数列满足：且．
求证：为等差数列；
若为数列中的最小项，求的取值范围．
22.本小题分
如图，已知点是焦点为的抛物线：上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．
Ⅰ求抛物线方程；
Ⅱ证明：直线的斜率为定值并求出此定值；
Ⅲ令焦点到直线的距离，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：等差数列中，设首项为，公差为，
所以，，
故，整理得，解得．
故．
故选：．
直接利用等差数列的性质，建立方程组，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：等差数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以，故，
因为，所以．
故，
故，
故选：．
根据二项分布的均值和方差公式求解，再求解，根据对立事件的概率和为求解即可．
本题考查了二项分布的均值和方差公式相关知识，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于：将回归直线方程对比为一次函数，是回归直线的斜率，A正确．
对于：由一次函数的性质可知，表示随增加，值增加，，表示随增加，值减少，B正确．
对于：是由总体的一个样本利用一定的方法得到的，选择不同的样本或不同的计算方法得到的是不同的，C错误．
对于：根据一次函数的性质可知当每增加或减少一个单位，平均改变个单位，D正确．
故选：．
根据回归直线方程的特点判断即可．
本题主要考查回归直线的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由表中数据可得，，，
广告投入与利润满足线性回归方程：，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合线性回归方程的性质，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，为奇数时，；为偶数时，为，满足条件；
，满足条件；
，满足条件；
，时，；时，，以此类推，不满足条件；
故选：．
分别验证每个通项公式是否满足条件即可得到结论．
本题主要考查数列通项公式的判断，比较基础．
6.【答案】
【解析】解：设等差数列数列的公差为，，，
，，
解得，．
．
设数列的前项和为．
令，解得．
则数列的前项和．
故选：．
设等差数列数列的公差为，，，可得，，解出可得设数列的前项和为令，解得进而得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，，
，且，
，
在回归直线，
，解得，
由，得，与比较可得，，，
．
故选：．
根据已知条件求得，代入线性回归方程求解，结合已知得答案．
本题考查线性回归方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：数列是单调递减数列，
则，
当为偶数时，，即，
由于为递增数列，则数列的最小值，
，
即，
当为奇数时，，即，
由于为递减数列，则数列的最大值，
，
，
综上所述实数的取值范围是
故选：．
根据函数为递减数列可得，分类讨论，根据数列的函数特征即可求出．
本题考查了数列的函数特征，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：当所有样本点都在直线上时，样本点数据完全负相关，其相关系数，所以、都错误；
相关系数值越大，则变量与的线性相关性越强，C正确；
相关系数值越小，则变量与的线性相关性越弱，D错误．
综上知，以上错误的说法是．
故选：．
根据相关系数的定义与性质，判断选项是否正确即可．
本题考查了相关系数的定义与性质的应用问题，也考查了统计知识的应用问题，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：数列的前项和为，，
由于，故数列为单调递减数列，
且数列为无穷等差数列，故数列没有最小项，
则，符合二次函数的特点和性质，数列的性质是先增后减，
故数列有最大项，没有最小项．
故选：．
直接利用等差数列的性质求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式和数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
11.【答案】
【解析】解：因为，，，
，所以事件与事件不相互独立，故A错误．
对于，因为数学考试的成绩服从正态分布，
所以正态曲线关于直线对称，
因为，所以，
所以该班学生此次数学考试的成绩在分以上的有人，故B正确；
对于，因为事件与相互独立，且，
则，即，
由对立事件的概率公式得，故C正确．
对于，将两边同时取对数，
得，
由于指数曲线进行线性变换后得到的经验回归方程为，
则，，，即，则，
当且仅当时，等号成立，故D正确．
故选：．
A.根据是否等于，判断；根据正态分布的对称性，求，再求人数；由条件可知，即可求解；将指数曲线，两边取对数，得到回归直线方程，可得，，求得，后，再根据基本不等式求最小值．
本题考查概率的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由椭圆方程可知，
所以左、右焦点为，，
对于，如下图，连接，，，，
，又圆心在轴上，所以，
动圆始终与射线，相切，切点分别为，，所以，且，，所以，切线长，
所以由图可得：，则，故A正确；
对于，因为，所以，当且仅当时等号成立，
又是椭圆上第一象限内的动点，所以，故，由于，故，故B不正确；
对于，取椭圆的上顶点为，连接，，
由椭圆可知，，所以，故，
由于是椭圆上第一象限内的动点，所以，则，
所以面积，
故面积没有最大值，故C不正确；
对于，连接，设与轴的交点为，如下图：
设，，由题可得直线为的平分线，
所以由角平分线定理可得：，即，整理得，
因为当点坐标为时，，
所以，则，所以直线的斜率，故D正确．
故选：．
根据椭圆的定义及圆外一点切线长性质可判断，结合基本不等式可判断，利用椭圆焦点三角形的角度与面积关系可判断，根据角平分线定理可求解直线与轴交点坐标，从而可求直线的斜率来判断．
本题主要考查椭圆的性质，椭圆与圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
13.【答案】或
【解析】解：椭圆的焦距，
当时，椭圆的，
，解之得；
当时，椭圆的，
，解之得
综上所述，得或
故答案为：或
由题意，得到椭圆的，再根据椭圆焦点位置进行讨论，分别建立关于、的方程组，即可求出实数的值．
本题给出含有字母参数的椭圆方程，在已知焦距的情况下求参数的值，着重考查了椭圆的标准方程和基本概念，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：易发现该数列指数呈现等差关系，
设数列，，，，，为数列，
则数列是以为首项为公差的等差数列，
其通项公式为，令，解得；
故答案为：．
该数列的指数是等差数列，运用等差数列通项公式求出对应的项数即可．
本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：数列满足，，
可知，，，，，，，
累加可得，
．
故答案为：．
利用递推关系式，结合累加法求解即可．
本题考查数列递推关系式的应用，数列项的求法，累加法的应用，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：
．
故答案：．
：由此能求出其具体结果．
本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理应用．
17.【答案】解：等差数列中，
，解得：，
，解得：，
故公差，
故通项公式．
【解析】根据等差数列的性质得到公差，从而求出通项公式．
本题主要考查等差数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：根据题意，设等差数列的首项为，公差为，
，，
，
，解得，
，
令，，因为
的最大值为．
，，
，
由，得，
，，
数列中，前项小于，第项等于，以后各项均为正数，
当时，，
当时，，
综上，．
【解析】求出等差数列的首项和公差，可再求出，解不等式即得；
由确定哪些项小于，哪些项大于，根据绝对值的性质分类可求和．
本题考查数列的求和，涉及等差数列的性质，属于中档题．
19.【答案】解：计算抽到的女性人数为，根据题意填写列联表如下；
喜爱 不喜爱 合计
男性
女性
合计
计算，
根据小概率值的独立性检验，不能认为喜爱马拉松项目与性别有关联．
用分层抽样法从接受问卷调查且喜爱马拉松的居民中随机抽取人，男性有人，
女性有人，从这人中随机抽取人，抽到的人中至少有名女士的概率为
．
【解析】计算抽到的女性人数，填写列联表，计算，对照附表得出结论．
用分层抽样法计算抽取的男性、女性人数，再计算所求的概率值．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．
20.【答案】解：根据数据绘制散点图如下，
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，
所以可用线性回归模型拟合与的关系；
计算，
，
相关系数，
由相关系数的值接近于，说明变量与的线性相关性很强；
计算，
，
关于的回归方程为；
令，解得；
即实现产品销量超万件，预测至少需要投入促销费用万元．
【解析】本题考查了统计知识与数据处理能力的应用问题，是中档题．
根据数据绘制散点图，从散点图看出这些点是否大致分布在一条直线附近即可；计算、，求出相关系数，看它的绝对值是否接近于即可；
计算回归系数，写出关于的回归方程，利用方程求出对应的取值范围即可．
21.【答案】证明：由已知可得：，
，
是公差为的等差数列；
解：由可得，
，
结合图象易知函数在，时取到最小值，
由为数列中的最小项，
有，
解得：，
的取值范围是：．
【解析】本题考查数列与函数的综合应用，熟练掌握等差数列的性质和数列的函数特性是解题关键．
通过计算的值即可得到解答；
由的结论可得：，再根据的增减性可以得到解答．
22.【答案】解：Ⅰ将点代入抛物线方程可得：，抛物线：；
Ⅱ设：，与抛物线方程联立可得：，，
用代可得：，因此，，即．
Ⅲ由Ⅰ可知，，，，
因此，到直线的距离．
，
，
令，由，，在上单调递增，则，
，
当且仅当时取等号．
最大值为．
【解析】Ⅰ将点代入抛物线方程可求，可求抛物线方程；
Ⅱ设：，与抛物线联立可求得点的坐标，进而可得的坐标，可得直线的斜率为定值；
Ⅲ把直线方程表示出来，从而可表示，再将表示出来，利用换元法，求分式函数的最值即可．
本题考查抛物线与直线的综合关系，属于难题．
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