2024年浙江省强基联盟高考数学联考试卷（3月份）（含解析）

2024年浙江省强基联盟高考数学联考试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.现有一项需要用时两天的活动，每天要从人中安排人参加，若其中甲、乙人在这两天都没有参加，则不同的安排方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知，，则( )
A. B.
C. D.
5.若，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且，若，则函数( )
A. 以为周期 B. 最大值是
C. 在区间上单调递减 D. 既不是奇函数也不是偶函数
8.设点，，是抛物线上个不同的点，且，若抛物线上存在点，使得线段总被直线平分，则点的横坐标是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有两组样本数据：，，，；，，，其中，则这两组样本数据的( )
A. 样本平均数相同 B. 样本中位数相同 C. 样本方差相同 D. 样本极差相同
10.已知的内角，，的对边分别是，，( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，成等比数列，则
D. 若，，成等差数列，则
11.已知正方体的棱长为，过棱，，的中点作正方体的截面，则( )
A. 截面多边形的周长为
B. 截面多边形的面积为
C. 截面多边形存在外接圆
D. 截面所在平面与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数 ______．
13.点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是______．
14.用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，若，，则 ______；若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求函数的单调递增区间．
16.本小题分
小强和小基两位同学组成“联盟队”参加两轮猜灯谜活动每轮活动由小强、小基各猜一个灯谜，他们猜对与否互不影响若两人都猜对，则得分；若仅一人猜对，则得分；若两人都没猜对，则得分已知小强每轮猜对的概率是，小基每轮猜对的概率是，各轮结果互不影响．
Ⅰ求“联盟队”猜对个灯谜的概率；
Ⅱ求“联盟队”两轮得分之和的分布列和数学期望．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点．
Ⅰ证明：．
Ⅱ点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积．
18.本小题分
已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为直线：上的动点．
Ⅰ求椭圆的离心率．
Ⅱ若，求点的坐标．
Ⅲ若直线和直线分别交椭圆于，两点，请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，记函数的导数为，求的值．
Ⅱ当，时，证明：．
Ⅲ当时，令，的图象在，处切线的斜率相同，记的最小值为，求的最小值．
注：是自然对数的底数
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由中的不等式变形得：，
解得：，
即，
，
．
故选：．
分别求出与中不等式的解集确定出与，求出两集合的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：
故选：．
利用复数的四则运算法则即可得出结论．
本题考查了复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：每天要从人中安排人参加，若其中甲、乙人在这两天都没有参加，
则从人中安排人参加，共种，且用时两天的活动，故不同的安排方式有种．
故选：．
根据排列组合的知识计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，故D正确．
故选：．
根据对数的运算法则计算即可．
本题考查对数的运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于，设，
故，由于该函数在桑单调递减，且，其中，不妨设，满足，则函数在单调递增，在单调递减，且，
显然有，且有，
所以，即在上恒成立，另一方面由于，所以，故恒成立．
故选：．
根据函数的求导和函数的单调性，进一步利用不等式的性质判断充分条件和必要条件．
本题考查的知识要点：不等式的性质，函数的求导和函数的单调性的关系，充分条件和必要条件的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为．
又展开式的第项为，
令，则，所以的系数是，
令，则，所以的系数是，
故的系数为．
故选：．
先将原式化为，再由二项式定理即可求出结果．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：令，，；
令，，；
令，，；
所以，
所以，
所以，
所以．
所以函数的周期为，故A错误；
函数的最大值为，故B错误；
当时，，
此时函数单调递增，故C错误；
因为函数既不是奇函数，也不是偶函数，故D正确．
故选：．
用赋值法求出函数的解析式，再根据解析式逐一判断即可．
本题考查了用赋值法求抽象函数的解析式、考查了正弦型函数的性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，，，
则直线方程为：，
化为，
由得，，
化为：，
与直线方程相加得到：，即直线过点，
关于点的对称点即为点在抛物线上，
代入抛物线方程得，又，
，
解得，因此只有A正确．
故选：．
设，，，利用点斜式可得直线方程，结合，利用数量积化简，进而得出直线过点，求出关于点的对称点，代入抛物线，进而得出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及性质、垂直与数量积的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，对于数据，，，，
假设，
设其平均数为、中位数为、方差为、极差为，
则，，
，
，
又由，
设其平均数为、中位数为、方差为、极差为，
则数据，，，的平均数为，
中位数，
，
方差，
故这两组样本数据的方差相同、极差也相同，平均数和中位数不同．
故选：．
根据题意，求出两组数据的平均数、方差、中位数和极差，依次分析选项即可得答案．
本题考查数据平均数、方差、中位数和极差的性质，注意方差、极差的计算公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，即，则有，
由正弦定理可得，即，
则有，又由，则，A正确；
对于，若，
有正弦定理，有，
变形可得：，
则，则，B错误；
对于，若，，成等比数列，则，
则，
必有，C正确；
对于，若，，成等差数列，则，
由正弦定理，，即，
则有，
则有，即，
变形可得，
则有，变形可得，
由于，，
故，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：．
根据题意，由三角函数恒等变形结合正弦、余弦定理分析选项，综合可得答案．
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，涉及三角函数的恒等变形，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：正方体的棱长为，过棱，，的中点作正方体的截面，
连，延长交直线，的延长线于点，，
连交于，连交于，
连，得到截面五边形，
由，为中点，，，，
因此周长为，故A正确．
，，，，
，
截面多边形的面积为，故B正确；
与是公有一个项点的全等三角形，两个三角形的外心不重合，
这个五边形没有外接圆，故C错误；
，，，
，，，
根据二面角的定义得是截面与底面所成角，
，，
根据余弦定理得，，故D错误．
故选：．
根据题意画出正方体，将题中截面画出，根据边长关系能求出截面多边形的周长和面积；判断截面多边形各边长垂直平分线是否交于一点，即可判断出多边形是否存在外接圆；根据二面角定义和余弦定理求出截面所在平面所成角．
本题考查截面多边形及其外接圆、正方体结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：由于向量，，若，则，解得．
故答案为：．
直接利用向量垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：点关于直线的对称点为，即，
又在圆内，
则，即，
故，
解得．
故答案为：．
求出点关于直线对称的点，再根据对称点在圆内，建立关于的不等式，解出即可．
本题主要考查点与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：若，，则，
即为，
可得数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
即；
若，则，
即，由，
可得，即数列递增．
又，可得，
即，
可得，
由，得到，
则．
故答案为：；．
对于第一空，由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得所求；对于第二空，首先判断数列递增，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质和的定义，可得所求．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和数列的单调性，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：Ⅰ因为，
所以；
Ⅱ，
令，，
解得，
所求的单调增区间为．
【解析】把直接代入函数解析式即可求解；
Ⅱ先求出已知函数解析式，然后结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数单调性的应用，属于基础题．
16.【答案】解：记事：两轮猜谜中，小强猜中第个，事件：两轮猜谜中，小基猜中第个，，
Ⅰ“联盟队”猜对个灯谜的概率；
Ⅱ“联盟队”两轮得分之和，，，，，，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
【解析】Ⅰ利用独立事件的概率乘法公式求解；
Ⅱ由题意可知，，，，，，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布列，再利用期望公式求出即可．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ证明：由，，由平面平面，
平面平面，
面，
平面，．
Ⅱ取中点，连，，
，，面
作于，连，
，面，
是与面所成的角，
设，，，
，，，
或，，，
四棱锥的体积为或．
【解析】Ⅰ由，，由平面平面，面，．
Ⅱ取中点，连，，，，面，作于，连，，面，是与面所成的角，由此能求出结果．
本题考查线面垂直的判定与性质、四棱锥的体积公式、线面角等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、化归与转化的思想，落实直观想象、数学运算核心素养，是中档题．
18.【答案】解：Ⅰ由椭圆的方程知：，，
椭圆的离心率．
Ⅱ设，直线交轴于点，，，
因为，
所以，即，所以，
所以或．
Ⅲ设，，则直线的方程为，
由，得，
所以，
所以，，
即．
直线的方程为，
由，得，
所以，所以，，
即，
所以，故直线的方程为，
即，
整理得，
即直线方程为：，
恒过定点为．
【解析】Ⅰ根据离心率的定义求出即可；
Ⅱ根据直角三角形的射影定理，即可求出点的坐标；
Ⅲ写出直线的方程，与椭圆联立，消元，利用韦达定理求出点的坐标，同理求出点的坐标，进而求出直线的方程，整理化简该方程即可求出结果．
本题考查椭圆的性质，直线和椭圆的位置关系，属难题．
19.【答案】解：Ⅰ当时，，
，分
Ⅱ证明：当，时，，，
令，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，，
，，
在上单调递增，
，得证．分
Ⅲ当，，
，
当时，，当时，，
在上单调递增，在，上单调递减，
由题意，得到，
，
由得到，记，
则，
，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增．
，
当时，，
为增函数，
分
【解析】Ⅰ由导数的运算求出导数为，从而可得的值；
Ⅱ对求导，利用导数判断函数的单调性，从而可证明不等式成立；
Ⅲ对求导，利用导数可得的单调性，由题意，，从而可得，利用基本不等式可得，利用换元法将进行转化，利用导数求其最小值，再利用导数可得的最小值．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，导数的运算，考查运算求解能力，属于难题．
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