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2024年春期人教版数学九年级下册第一次月考试题
一、单选题(共7题；共14分)
1．（2分）反比例函数 的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
2．（2分） 如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2分）已知的面积为16，点D，E分别为AB，AC边上的中点，则四边形DBCE的面积为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
4．（2分）下列各式中，和成反比关系的是（ ）
A． B． C．：： D．
5．（2分）已知△ABC∽△A1B1C1，且AB=3， AC=5，A1C1=15，则A1B1=（ ）
A．9 B．1 C．6 D．3
6．（2分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）在反比例函数y＝ 的图象上，则y1﹣y2的值为（ ）
A．负数 B．0 C．正数 D．无法确定
7．（2分）如图，在△ABC中，BC＝16，点D是△ABC内的一点，BD平分∠ABC，且DB＝DC＝10，连接AD，∠ADB＝90°，则AD的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
二、填空题(共6题；共8分)
8．（2分）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端已知小艺的眼睛离地面高度为米，同时量得小艺与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆的高度为 米
9．（1分）如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC.D是AC的中点，AE、BD交于点F，则 的值为 .
10．（1分）若反比例函数 的图象分布在第二、第四象限，则 的取值范围是 ．
11．（1分）如果3x＝2y（x，y均不为0），那么x：y＝ .
12．（2分）如图，已知矩形对角线和相交于点O，点E是边上一动点，与相交于点F，连结．
（1）（1分）若点E为的中点，则= ；
（2）（1分）若点F为的中点，则= ．
13．（1分）在平面直角坐标系中，O为原点，点 ，点B在y轴的正半轴上， ．矩形 的顶点D，E，C分别在 上， ．将矩形 沿x轴向右平移，当矩形 与 重叠部分的面积为 时，则矩形 向右平移的距离为 ．
三、计算题(共2题；共12分)
14．（8分）根据下列条件，求x：y的值．
（1）（4分）
（2）（4分）(x+y)：y=4：5．
15．（4分）已知 ，求 ．
四、解答题(共3题；共18分)
16．（6分）如图，在 中， 垂足为 ，且 .求证： .
17．（6分）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，且AD=2DC，E是AB边上一点，ED与BC的延长线相交于点F，且BC=CF，G是EF的中点，连接CG，若CG=2，求AB的长．
18．（6分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3.在线段AB上是否存在一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的点P有几个？
五、作图题(共1题；共9分)
19．（9分）如图，点 在反比例函数 的图象在第二象限内的分支上， 轴于点 ， 是原点，且 的面积为 ．试解答下列问题：
（1）（3分）比例系数 ；
（2）（3分）在给定直角坐标系中，画出这个函数图象的另一个分支；
（3）（3分）当 时，写出 的取值范围．
六、综合题(共3题；共42分)
20．（12分）已知y与x成反比例，且当x＝2时，y＝﹣3．
（1）（6分）求y关于x的函数解析式；
（2）（6分）直接写出：当x为何值时，y＞﹣3？
21．（12分）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，点 的横坐标为4.
（1）（6分）求反比例函数的表达式；
（2）（6分）过点 作 轴的垂线，与反比例函数图象交于点 ，将直线 向上平移 个单位长度后与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，与反比例函数图象交于点 .若 ，求 的值.
22．（18分）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．
（1）（6分）已知M（p，2p）在反比例函数y＝的图象上，且[M]＝3，求反比例函数的解析式；
（2）（6分）已知点A是直线y＝x+2上的点，且[A]＝4，求点A的坐标；
（3）（6分）若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2-4a+2020，求t的取值范围．
七、实践探究题(共1题；共18分)
23．（18分）如图
（1）（6分）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
（2）（6分）【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
（3）（6分）【类比迁移】如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】∵ <0
∴函数的图象在第二、四象限内.
故答案为：A.
【分析】k>0，反比例函数图象过一、三象限；k<0，反比例函数图象过第二、四象限.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例求出，再根据DE=4计算求解即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意作图如下，
∵点D，E分别为AB，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，
∵△ADE∽△ABC，DE∶BC=1∶2，
∴△ADE面积∶△ABC面积=1∶4，
∵△ABC面积=16，∴△ADE面积=4，
∴四边形DBCE的面积为=△ABC面积-△ADE面积=12，
故答案为： A．
【分析】根据中位线的性质可得DE=BC，再证明△ADE∽△ABC，DE∶BC=1∶2，可得△ADE面积=4，最后利用割补法可得答案。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A：，是反比关系，符合题意；
B：，是正比关系，不符合题意；
C：，是正比关系，不符合题意；
D：，是正比关系，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据反比关系的定义即可求出答案.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ △ABC∽△A1B1C1，
∴，
∴，
∴ A1B1=9.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质得出，代入数值进行计算，即可求解.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝ 中，k＝m2+1＞0，
∴此函数图象的两个分支分别为与一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小.
∵﹣2＜﹣1，
∴y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0.
故答案为：C.
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再根据反函数图象的两个分支分别为与一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减即可得出结论.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，延长AD交BC于点E，过点D作DF⊥BC交BC于点F，
∵∠BAD＝∠BDE＝90°，BD＝BD，∠ABD＝∠EBD，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AB＝BE，
∵DF⊥BC，BD＝CD，
∴BF＝FC＝ BC，
∴BF＝8，
又BD＝10，
∴由勾股定理得DF＝ 6，
∵∠BDE＝∠BFD＝90°，∠DBE＝∠FBD，
∴△BDE∽△BFD，
∴ ，
∴BE＝ ，
∴AB＝ ，
∴AD＝ ＝ ，
故答案为：D．
【分析】根据题意，由全等三角形的判定定理证明△ABD≌△EBD，即可得到AB=BE，继而证明△BDE∽△BFD，根据勾股定理求出AD的长度即可。
8．【答案】8
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得：∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∵AB=1.6米，OB=2米，OD=10米，
∴，
解得：CD=8，
故答案为：.
【分析】证明△AOB∽△COD，，根据相似三角形的性质得到，代入数据计算即可．
9．【答案】
【解析】【解答】解：过E点作 交BD于点H，如图：
∵ ，
∴ ，
∵BE＝3EC，
∴ ，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为 ： .
【分析】过E点作EH∥AC 交BD于点H，利用平行线分线段成比例定理，可得到EH与CD的比值；利用线段中点的定义可得到AD=CD，再由EH∥AD，可得对应线段成比例，可求出AF与EF的比值.
10．【答案】m＜0
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象分布在第二、四象限，
∴m＜0．
故答案为：m＜0．
【分析】根据反比例函数图象与其系数的关系可得：反比例函数 的图象分布在第二、四象限，m＜0．求解即可。
11．【答案】2:3
【解析】【解答】解：∵3x＝2y，
∴x：y＝2:3，
故答案为：2:3.
【分析】内项之积等于外项之积，根据比例的性质，即可得到结论.
12．【答案】（1）
（2）2
【解析】【解答】(1)解：∵为矩形对角线交点，
∴．
∵点为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴；
(2)如图，过作交于点，
∴，
∴点为中点．
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为（1）；（2）2．
【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质可得；
（2）先利用“ASA”证明，可得OG=BE，再结合，可得，最后求出即可。
13．【答案】2
【解析】【解答】∵ ，
∴OA=6，
在Rt△AOB中， ，
∴ ，
∴B（0， ），
∴直线AB的解析式为： ，
当x=2时，y= ，
∴E（2， ），即DE= ，
∵四边形CODE是矩形，
∴OC=DE= ，
设矩形 沿x轴向右平移后得到矩形 ， 交AB于点G，
∴ ∥OB，
∴△ ∽△AOB，
∴∠ =∠AOB=30°，
∴∠ =∠ =30°，
∴ ，
∵平移后的矩形 与 重叠部分的面积为 ，
∴五边形 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 向右平移的距离 = ，
故答案为：2.
【分析】先求出点B的坐标（0， ），得到直线AB的解析式为： ，根据点D的坐标求出OC的长度，利用矩形 与 重叠部分的面积为 列出关系式求出 ，再利用一次函数关系式求出 =4，即可得到平移的距离.
14．【答案】（1）解：∵
∴3y=4x，即x：y=.
（2）解：∵ (x+y)：y=4：5，
∴5（x+y）=4y，
∴5x=-y，即x：y=.
【解析】【分析】根据比例的性质将等式变形，继而求解.
15．【答案】解：设 ，则 ，
∴ .
故答案为：3
【解析】【分析】设 ，则 ，再将a、b、c的值代入计算即可。
16．【答案】解：∵ ，
∴∠AHC=90°，
∵ ，即： ，
又∵∠A=∠A，
∴ ，
∴∠ACB=∠AHC=90°.
【解析】【分析】由AC2=AH·AB可得，证明△ACH∽△ABC，进而根据相似三角形对应角相等即可得出答案.
17．【答案】解：∵BC=CF，G是EF的中点，
∴CG是△BEF的中位线，
∴CG= BE，CG∥BE，
∵CG=2，
∴BE=4，
∵CG∥AB，
∴△AED∽△CGD，
∴ ，
∵AD=2CD，
∴ ，
∴AE=2CG=4，
∴AB=AE+BE=4+4=8
【解析】【分析】根据中位线定理得：BE=2CG=4，再由平行相似证明△AED∽△CGD，列比例式可求得AE的长，相加可得AB的长．
18．【答案】解：存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有3个，理由如下，
设AP=x，
∵AP=7，AD=2，BC=3，
∵BP=7-x，
①当△PAD∽△PBC时，
∴，
∴，
∴
即AP=；
②当△PAD∽△CBP时，
∴，
∴，
∴x=1或x=6，
即AP=1或AP=6，
综上所述，这样的P点共有3个。
【解析】【分析】①当△PAD∽△PBC时，②当△PAD∽△CBP时，根据相似三角形的性质得出等式，将数值代入即可求得AP值.
19．【答案】（1）-2
（2）解：如图所示：
（3）解：利用图象可得出：
当 时：
【解析】【解答】（1）由于△AOB的面积为1，则|k|=2，又函数图象位于第二象限，k<0，
则k=-2，
故答案为：-2；
【分析】（1）根据反比例函数比例系数K的几何意义，S△ABO=，即可列出方程，求解并根据图象位于第二象限即可得出k的值；
（2）根据反比例函数的对称性及方格纸的特点即可画出反比例函数的另一支；
（3）根据方格纸的特点及反比例函数的图象及性质即可直接得出 ；当 时，函数值 的取值范围 .
20．【答案】（1）解：∵y与x成反比例，
∴y= （k≠0），
∵当x=2时，y=-3，
∴k=2×（-3）=-6，
∴反比例函数解析式为y= ；
（2）解：∵k=-6＜0，
∴函数的图象在二，四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴当x＜0或x＞2时，y＞-3．
【解析】【分析】（1）根据题意设出反比例函数解析式，再利用待定系数法把当x=2时，y=-3代入求出k的值，进而得到y与x的函数关系式；（2）根据反比例函数的性质即可求得．
21．【答案】（1） 点 的横坐标为4.
当 时， .
点 .
将点 坐标代入 .
.
.
（2）设直线 表达式为： .
根据题意得： 、 ，
.
点 是 的中点.
利用中点坐标公式点 .
点 在反比例函数上.
.
.
【解析】【分析】（1）将点A的横坐标代入直线解析式中可得y的值，进而得到点A的坐标，然后将其代入反比例函数解析式中求解即可；
（2）设直线DF的解析式为y=x+b，根据题意可得D（0，b），B（，+b），根据DE=DF可表示出点F的坐标，然后将其代入反比例函数解析式中求解即可.
22．【答案】（1）解：由题意|p|+|2p|＝3，
∴p＝±1，
∴M（1，2）或（-1，-2），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）解：设点A（m，m+2）
由题意可得：|m|+|m+2|＝4，
当m≤-2时，-m-m-2＝4，
∴m＝-3，
∴点A（-3，-1）；
当-2＜m＜0时，-m+m+2＝4，
∴方程无解；
当m≥0时，m+m+2＝4，
∴m＝1，
∴点A坐标（1，3）；
（3）解：由题意方程组只有一组实数解，
消去y得ax2+（b-1）x+1＝0，
由题意Δ＝0，
∴（b-1）2-4a＝0，
∴4a＝（b-1）2，
∴原方程可以化为（b-1）2x2+4（b-1）x+4＝0，
∴x1＝x2＝，
∴C（，），
∵2≤[C]≤4，
∴1≤≤2或-2≤≤-1，
解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，
∵点C在第一象限，
∴-1≤b≤0，
∵t＝2b2-4a+2020，
∴t＝2b2-4a+2020＝2b2-（b-1）2+2020＝b2+2b+2019＝（b+1）2+2018，
∵-1≤b≤0
∴2018≤t≤2019．
【解析】【分析】（1）根据新定义运算法则得|p|＋|2p|＝3，求解可得p的值，从而得出点M的坐标，进而根据反比例函数图象上任意一点的横坐标坐标的乘积都等于k可求出k的值，从而求出反比例函数的解析式；
（2）设点A（m，m＋2），根据新定义运算法则得|m|＋|m＋2|＝4，进而分①当m≤-2时，②当-2＜m＜0时，③当m≥0时三种情况，根据绝对值的性质化简，再求解即可；
（3）联立两函数解析式消去y得ax2+（b-1）x+1＝0，由题意Δ＝0，据此建立方程用含b的式子表示出A，进而代入方程求解用含b的式子表示出方程的两根，可得点C的坐标，结合2≤[C]≤4得出关于b的不等式组，求解得出b的取值范围，用含b的式子表示出t，再将所得式子配成顶点式，结合b的取值范围，即可求解．
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的长为3．
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得∠C=∠ADE=90°，再由同角的余角相等证∠AED=∠DFC，从而可得解.
(2)首先由HL证得Rt△ADE≌Rt△DCF，得DE=CF，再由SAS证△DCF≌△DCH，得∠DFC=∠H，然后由平行线的性质得∠ADF=∠DFC，从而得出结论.
(3)延长BC至点G，使CG=DE=8，连接DG，由SAS证得△ADE≌△DCG ，得∠DGC=∠AED=60°，AE=DG，接着证明△DFG是等边三角形，得FG=DF=11，即可求解.
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■
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错误
[
--
][
√
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×
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8.答：
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11.答：
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