5.3 等比数列 学案（含答案）

《数列》5.3 等比数列
一、考点分布
1. 等比数列的概念（B）
2. 等比数列的通项公式与前n项和的公式（C）
二、复习目标要求
1. 理解等比数列的概念；
2. 掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式
3. 能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题；
4. 了解等比数列与指数函数的关系.
三、重点与难点
1. 熟练运用等比数列的通项公式求解问题是复习重点；
2. 判断或证明数列的等比关系是复习的难点.
四、复习过程
1. 知识梳理
等差数列 等比数列
定义 或 注意；
通项公式 （离散型指数函数）
前n项和公式 注意q含字母讨论
简单性质 若, 则.
2. 基础练习
（1）在等比数列中，已知，则__________.
提示：-8 方法一：基本量法列出方程组；方法二：求和公式
（2）在等比数列中，已知，，成等差数列，则公比=_________.
提示：由题意，得，故.
又,所以.
说明：等比数列通项公式与和之间的联系，注意
（3）已知数列是等比数列,且,,，则
9 ．
（4）设，则等于
（A） （B） （C） （D）
3. 典型例题
例1.（1） 若等比数列{an}的公比q＜0，前n项和为Sn，则S2a3与S3a2的大小关系是
(A) S2a3＞S3a2 (B) S2a3＜S3a2 (C) S2a3= S3a2 (D)不确定
（2）已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋3(n∈N*)，则{an}的通项公式为_______．
例2.若数列
（Ⅰ）若{an}是等比数列，试求数列{bn}的前n项和Sn的公式；
（Ⅱ）当{bn}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？
解：（1）因为{an}是等比数列a1=1,a2=a.∴a≠0，an=an－1. 又，
,
即是以a为首项, a2为公比的等比数列.
（II）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：
设{bn}的公比为q，则
又a1=1,a2=a, a1, a3, a5,…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列；
而a2, a4, a6, …, a2n , …是以a为首项，q为公比的等比数列，
即{an}为：1，a, q, aq , q2, aq2, ….
当q=a2时，{an}是等比数列；当q≠a2时，{an}不是等比数列.
例3. 数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，
求 （I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（II）的值.
解：（Ⅰ）由
（Ⅱ）由（I）可知a3，a3，…，a2n-1，是首项为公比为（）2的等比数列，
所以
例4. （备选）设数列{an}的首项a1=a≠，且,
记，n＝＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
4. 规律总结：
①深刻理解等比数列的定义，紧扣“从第二项起”和“比是同一常数”，特别注意
②判断或证明等比数列的两种思路：
利用定义，证明为常数;
利用等比中项，证明对成立.
③方程思想：在五个两种，运用待定系数法“知三求二”；
函数思想与分类讨论：当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时为递增数列;
当a1＜0，q＞1或a1＞0，0＜q＜1时为递减数列；
当q＜0时为摆动数列；
当q=1时为常数列.
④掌握等比数列的有关性质:
若 是公比为等比数列，则等还成等比数列，公比分别是，其中为非零常数.
若,则.
5. 课外作业：海淀总复习检测P46 5.3等比数列
每课作业
1．选择题
（1）等比数列的各项都是正数，若,,则它的前5项和是 ( )
(A)179 (B)211 (C)243 (D)275
(2)设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1·a2·a3·…·a30=230，那么a3·a6·a9·…·a30等于( )
(A)210 (B)220 (C)216 (D)215
(3) 给定正数p,q,a,b,c，其中pq，若p,a,q成等比数列，p,b,c,q成等差数列, 则一元二次程bx2－2ax+c=0（ ）
(A)无实数根 (B)有两个相等的实数根
(C)有两个同号的相异的实数根 (D)有两个异号的相异的实数根
2．填空题
(4)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是__________.
(5)在和之间插入个正数,使这个正数成等比数列,则插入的个正数之积为_________.
(6)一张报纸，其厚度为，面积为.现将报纸对折(即沿对边中点点连线折叠)7次,报纸的厚度为_______,报纸的面积为 .
3．解答题
（7）在数列中，已知，求数列前项的和.
(8)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求此三个数.
(9)数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；
（II）求的通项公式．
参考答案
（1） B （2）B （3）A
（4）设Rt△ABC中，C=，则A与B互余且A为最小内角.又由已知得sin2B=sinA，即cos2A=sinA，1－sin2A=sinA，解之得sinA=或sinA=（舍）.故最小内角是.
（5）(5) (6)
（7）解:由由已知得 所以数列前项的和为
（8）解：设三个数分别为 a-d,a,a+d 则 （a－d）＋a＋(a＋d)=3a＝6 a=2
三个数分别为 2－d,2,2＋d ∵它们互不相等 ∴分以下两种情况：
当(2－d)2=2(2＋d)时， d=6 三个数分别为-4,2,8
当(2＋d)2=2(2－d)时， d=-6 三个数分别为8,2,-4
因此，三个数分别为-4,2,8 或8,2,-4
(9)（I），，，
因为，，成等比数列，
所以，
解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于
，
，
，
所以．
又，，故．
当时，上式也成立，
所以．