2023-2024学年江苏省南通市海门区东洲国际学校九年级（下）3月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南通市海门区东洲国际学校九年级（下）3月月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
2.计算的结果
( )
A. B. C. D.
3.计算：( )
A. B. C. D.
4.在函数中，自变量 的 取值范围是
( )
A. B. C. D.
5.下列数据的方差最大的是( )
A. ，，，， B. ，，，，
C. ，，，， D. ，，，，
6.如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为
( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
以下结论正确的是
( )
A. 抛物线的开口向下
B. 当时，随增大而增大
C. 方程 的 根为和
D. 当时，的取值范围是
8.如图，在矩形中，，，点与原点重合，点在轴的正半轴上点在轴的负半轴上，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，直线与相交于点，则的坐标为
( )
A. B. C. D.
9.如图，平行四边形 的 顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标为
( )
A. B. C. D.
10.如图所示，正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，且内接于正方形，连接，已知正方形与正方形面积之比为，若，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.计算的结果是 ．
12.分解因式： ．
13.已知是关于的方程的解，则的值为 ．
14.某等腰三角形的一边长为，另外两边长是关于的方程的两根，则 ；
15.在一个不透明的口袋中装有个红球，若干个白球，这些球除颜色不同外其它都相同，若从中随机摸出一个球，它是红球的概率为，则白球的个数为 ．
16.黄金分割具有严格的比例性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感．如图，连接正五边形的各条对角线围成一个新的五边形图中有很多顶角为的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为若，则 ．
17.如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后所得点坐标是 ．
18.如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则最小值是 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：；
化简：．
20.本小题分
某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合作施工天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天．
这项工程的规定时间是多少天
为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天
21.本小题分
目前微信、支付宝、共享单车、和网购给我们的生活带来很多便利，初二数学小组在校内对你最认可的四大新生事物进行调查，随机调查了人，每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种并将调查结果绘制成如下不完整的统计图
根据图中信息求出__________；_______________；
请把图中的条形统计图补充完整；
根据抽样调查结果，请估算全名学生中，大约有多少人最认可微信和支付宝这两样新生事物？
22.本小题分
某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管与支架所在直线相交于点，且；支架与水平线垂直．，，，另一支架与水平线夹角，求的长度结果精确到；温馨提示：，，
23.本小题分
如图，在中，，于点，于点，，与交于点，连接．
求证：≌；
线段与有何数量关系？并说明理由．
若，求的长．
24.本小题分
如图，已知点、，直线与轴交于点；
在直线上取一点，若为直角三角形，则满足条件的点有____个；
将直线绕点旋转一定角度后，能否使得直线上只存在个这样的点的位置，使得为直角三角形？若能，请求出旋转后的直线的函数关系式；若不能，请说明理由；
将直线绕点旋转一定角度后，能否使得直线上只存在个这样的点的位置，使得为直角三角形？若能，请直接写出旋转后的直线中的的取值范围；
25.本小题分
在正方形中，点是边上一点，点是边上一点，连接，相交于点，且．
如图，请判断线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
如图，延长到点，连接，且．
请直接写，，之间的数量关系为__；
连接，，当， 的 面积是时，请直接写出的长为__；
点在线段上，连接，，当，，时，请直接写出的长为__．
26.本小题分
勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的原本中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：
如图，分别以的三边为边长，向外作正方形、、．
连接、，求证：≌；
过点作的垂线，交于点，交于点．
试说明四边形与正方形的面积相等；
请直接写出图中与正方形的面积相等的四边形．
由第题可得：正方形的面积正方形的面积______的面积；即在中，______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】本题考查有理数的减法，绝对值，解题关键在于掌握运算法则．先计算减法，然后计算绝对值即可．
【详解】解：
，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】直接利用幂的乘方运算规则进行计算即可
【详解】解：，
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】根据分式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解：根据题意得：；
解得，故 D正确．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】先计算出各组数据的平均数，再根据方差公式计算出各方差即可得出答案．
【详解】解：这组数据的平均数为，
方差为；
B.这组数据的平均数为，
方差为；
C.这组数据的平均数为，
方差为；
D.这组数据的平均数为，
方差为；
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的 性质求出，最后根据邻补角性质求解即可．
【详解】解：，
，
四边形内接于，
，
，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．
【详解】解：将代入抛物线的解析式得；
解得：，
所以抛物线的解析式为：，
A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线，在时，随增大而增大，故选项错误，不符合题意；
C、方程的根为和，故选项正确，符合题意；
D、当时，的取值范围是或，故选项错误，不符合题意；
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据旋转的性质得到，，由矩形的性质得出，在中，求出和，再在中，求出，从而求出，然后根据在第二象限，写出坐标．
【详解】解：矩形是将矩形绕点逆时针旋转得到，
设直线与相交于点，和相交于点，
，，
是矩形，
，
，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
点，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点的坐标．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
点的纵坐标为，
点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，
点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，
点的坐标为：；
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】设，，则，根据正方形与正方形面积之比为，得到，求出，作交于点，作交于点，证明出，设，则然后利用相似三角形的性质得到，然后解方程求解即可．
【详解】由题意可得，
设，，则，
，
，
正方形与正方形面积之比为，
，即，
整理得，
，
解得或舍去，
，
，
如图所示，作交于点，作交于点，

由题意可得，，
，
四边形，是矩形，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
整理得，
，
解得或舍去，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】【详解】原式．
考点：二次根式的计算．
12.【答案】
【解析】【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式，
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】根据一元一次方程解的定义，将代入得到，解得．
【详解】解：是关于的方程的解，
，即，解得，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分当腰长为时，当底边长为时，两种情况分别求出腰长或底边长，再根据构成三角形的条件进行验证即可得到答案．
【详解】解：当腰长为时，则是方程的一个根，
，
解得，
原方程为，
解方程得或，
底边长为，
，
此时不能构成三角形，不符合题意；
当底边长为时，则方程有两个相等的实数根，
，
解得，
原方程为，
解方程得，
腰长为，
，
此时能构成三角形，符合题意；
综上所述，；
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】设该盒中白球的个数为个，根据意得，解此方程即可求得答案．
【详解】解：设该盒中白球的个数为个，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
所以该盒中白球的个数为个，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】由正五边形得到为“黄金三角形”，利用黄金三角形的定义可得的长，即可得的长．
【详解】为正五边形，
，，
，，，
，
，，，
，，
为“黄金三角形”，
，即，
解得：，
，
故答案为：
17.【答案】
【解析】【分析】第一次关于轴对称，点的坐标变为；第二次关于轴对称，点的坐标变为；第三次关于轴对称，点的坐标变为；第四次关于轴对称，点的坐标变为，即四次一个周期，由此即可求出第次点的坐标．
【详解】解：点第一次关于轴对称后在第四象限，
点第二次关于轴对称后在第三象限，
点第三次关于轴对称后在第二象限，
点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，
每四次对称为一个循环组依次循环，
，
经过第次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为，
故答案为：．
18.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质、坐标与图形、勾股定理、垂线段最短等知识，解题关键是将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．连接，，根据切线的性质定理可得，要使最小，只需最小即可，根据垂线段最短，当轴时，取最小值，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，，

根据切线的性质定理，得．
要使最小，只需最小，
则根据垂线段最短，当轴于时，取最小值，
此时点的坐标是，，
在中，，
，
则最小值是．
故答案为：．
19.【答案】
；

【解析】【分析】原式分别根据算术平方根的性质、绝对值的代数意义、非零数的零次幂的运算法则对各项进行化简后再进行加减运算即可；
原式运用完全平方公式和单项式乘以多项式把括号展开后再合并同类项即可得到结果．
20.【答案】设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工，依题意，得：．
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：这项工程的规定时间是天．
由可知：甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工，
天，
答：甲乙两队合作完成该工程需要天．

【解析】【分析】设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工，依题意列方程即可解答；求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列方程即可．
21.【答案】解：被调查的总人数人，
支付宝的人数所占百分比，即，
故答案为：、；
网购人数为人，
补全图形如下：

支付宝对应的百分比为：
答：大约有人最认可“微信”和支付宝这一新生事物．

【解析】【分析】由共享单车人数及其百分比求得总人数，用支付宝人数除以总人数可得其百分比的值；
总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，即可补全条形统计图；
总人数乘以样本中微信人数和支付宝人数所占百分比可得答案．
22.【答案】设，
，
，
，
，
，
，
解得：，

【解析】【分析】设，根据含度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
23.【答案】解：，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，，
，
在和中，
≌；
，
证明：由可知：，
，，
，
；
≌，
，
在中，，
，，
，
．

【解析】【分析】先判定出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明≌即可；
根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得证；
根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据代入数据即可得解．
24.【答案】解：当时，即，
，
点的横坐标为，
把代入直线，得，
；
当时，即，
，
点的横坐标为，
把代入直线，得，
；
当时，设，
则，即，
解得，
或，
符合题意的点一共有个，
故答案为：；
解：能，
以为直径作，过作的切线，，连接，过点作于，
则，
、，
中点，即，，
对于直线，当时，，
解得，
，
，
，
，，
，
，即，
解得，，
，
，
设直线解析式为，
把、坐标代入，得
解得
直线解析式为；
同理直线解析式为；
直线上只存在个这样的点的位置，使得为直角三角形，这样的直线为或；
解：当直线与中相离时，直线上只存在个这样的点的位置，使得为直角三角形，
的取值范围为或．

【解析】【分析】分，，三种情况讨论即可；
以为直径作，过作的切线，，连接，过点作于，证明，可求出点的坐标，然后利用待定系数法求直线解析式，同理求直线解析式即可；
当直线与中相离时，直线上只存在个这样的点的位置，使得为直角三角形，即可求解．
25.【答案】证明：结论为：，且，
四边形正方形，
，，即，
在和中，
≌，
，，
，
线段与的数量关系和位置关系为：，且；
证明，，之间的数量关系为；
过作于，
，
，
，
由知，，
在和中，
≌，
，，
，
，
故答案为：；
解：连接，，过作于，
，
，
，
由知，
，
，
点为中点，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
，
在中，由勾股定理，
，
，
，，
，
，
，
，即，
，
解得，舍去，
，
故答案为：；
连结，延长与过作的垂线交于，分两种情况：
当点在上方，
，，
在中，由勾股定理得，
又，
，
，
，
，
，
在中由勾股定理，
，
，
又，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
当点在下方时，连结，
，
，
；
在中由勾股定理，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
的长为或．
故答案为：或．

【解析】【分析】结论为：，且，由四边形正方形，可得，，即，可证≌，，，可求即可；
，，之间的数量关系为；过作于，先证，再证≌，可得，，可证；
连接，，过作于，由，利用，求出，再由，可求点为中点，设，则，，由勾股定理得，，由勾股定理求，，，可证，，可求，利用面积，即可求出；
连结，延长与过作的垂线交于，分两种情况，当点在上方，由勾股定理得，可求由，可求；由勾股定理，由三角函数可求，求出，可证为等边三角形，再求，当点在下方时，连结，求出，可得，可证为等边三角形，可求，再证即可．
26.【答案】解：
证明：四边形、四边形是正方形，
，，，
，
在和中，
≌；
证明：，，
，
，
同理：，
又≌，
四边形与正方形的面积相等．
解：四边形与正方形的面积相等，理由如下：
连接，过作于，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
≌；
，
四边形是矩形，
，
，
四边形与正方形的面积相等；
解：由得：四边形与正方形的面积相等，四边形与正方形的面积相等，
正方形的面积正方形的面积正方形的面积；
即在中，；
故答案为：正方形，．

【解析】【分析】由正方形的性质得出，，，得出，即可得出≌；
证，得出，同理：，由≌，即可得出四边形与正方形的面积相等；
中，由勾股定理得出，得出正方形的面积正方形的面积正方形的面积，由得四边形与正方形的面积相等，即可得出答案；
由即可得出答案．
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