(共34张PPT)
冀教版 九年级下
第三十章 二次函数
二次函数的应用
用二次函数解几何图形中的最值
30.4.3
【新考法·化动为定法】如图，在△ABC中，BC＝7 cm，AC＝24 cm，AB＝
25 cm，P点在BC上从B点运动到C点，速度为2 cm/s；Q点在CA上从C点运动到A点，速度为5 cm/s.若点P，Q分别从B，C同时运动：
1
解：∵在△ABC中，BC＝7 cm，
AC＝24 cm，AB＝25 cm，72＋242＝252，
∴BC2＋AC2＝AB2. ∴∠ACB＝90°.
设y s后，S△PCQ的面积为15 cm2，
根据题意可得BP＝2y cm，CQ＝5y cm，
∴CP＝BC－BP＝(7－2y)cm，
(1)经过多少秒后，S△PCQ的面积为15 cm2
(2)请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？
2
如图①放置两个全等的含有30°角的直角三角尺ABC与DEF(∠B＝∠E＝30°)，若将三角尺ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止)，移动过程中始终保持点B，F，C，E在同一条直线上，
(1)在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积．
解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.
∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°.
∴△AMQ为等边三角形．
∴AM＝AQ.
如图，过点M作MN⊥AQ，
垂足为N，则AN＝QN.
(2)计算x等于多少时，两个三角尺重叠部分的面积有最大值，最大值是多少？
【点方法】
用二次函数的性质求解几何图形面积的最值，通常先根据图形的特点，结合相关的几何性质，运用“面积法”建立函数关系式，再运用求二次函数最值的方法求解．
3
【2023·天津】如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26 m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40 m，有下列结论：①AB的长可以为6 m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192 m2；③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】
【答案】 C
4
【母题：教材P44例2】如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙、中间隔有一道篱笆的矩形菜园，墙长为18 m．设垂直于墙的边长为x m，菜园的面积为y m2.
解：依题意得，矩形的另一边长为(30－3x)m，
则y＝x(30－3x)＝－3x2＋30x，
即y与x的函数表达式为y＝－3x2＋30x.
(1)求y与x的函数表达式；
解：当y＝75时，－3x2＋30x＝75，
即x2－10x＋25＝0，解得x1＝x2＝5，
∴当x＝5时，菜园的面积为75 m2.
(2)当x为何值时，菜园的面积为75 m2；
(3)能围成的面积比75 m2更大的菜园吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法．如果不能，请说明理由．
则抛物线开口向下，当x＝5时，y有最大值75，
∴不能围成面积比75 m2更大的菜园，即最大面积为75 m2，此时垂直于墙的边长为5 m，平行于墙的一边长为30－3×5＝15(m)．
5
【2023·菏泽】 【情境题·生活应用】某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
解：设垂直于墙的边长为x米，
围成的矩形花园的面积为S平方米，
则平行于墙的边为(120－3x)米，
根据题意得S＝x(120－3x)＝－3x2＋120x＝
－3(x－20)2＋1 200，
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
∵－3＜0，∴当x＝20时，S取最大值1 200，
∴120－3x＝120－3×20＝60，
∴当垂直于墙的边长为20米，平行于墙的边长为60米时，花园面积最大，为1 200平方米；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
解：设购买牡丹m株，
则购买芍药1 200×2－m＝(2 400－m)株，
∵学校计划购买费用不超过5万元，
∴25m＋15(2 400－m)≤50 000，
解得m≤1 400，
∴最多可以购买1 400株牡丹．
6
有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为了美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．
现决定在等腰梯形AEHD和等腰梯形BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和等腰梯形CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/平方米、60元/平方米、40元/平方米，设三种花卉的种植总成本为y元．
(1)当x＝5时，求种植总成本；
(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120 平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
∴－2x2＋60x－(－2x2＋40x)≤120，解得x≤6，
∴0＜x≤6.
∵y＝－400x＋24 000，∴y随x的增大而减小．
∴当x＝6时，y最小，最小值为21 600，
∴三种花卉的最低种植总成本为21 600元．(共16张PPT)
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第三十章 二次函数
二次函数的应用
用二次函数解实际应用中的最值
30.4.4
【2023 无锡】 【情境题 商业应用】某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示．
1
(1)求y关于x的函数表达式；
解：设利润为w元，当22≤x≤30时，
w＝(x－20)(－x＋70)＝－x2＋90x－1 400＝
－(x－45)2＋625.
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值为400；
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？
当30＜x≤45时，w＝(x－20)(－2x＋100)＝
－2x2＋140x－2 000＝－2(x－35)2＋450，
当x＝35时，w取得最大值为450.
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
2
【母题：教材P44例3】为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.
(1)求y与x之间的函数表达式(不求自变量的取值范围)；
(2)受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到 2 160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？
解：设老张明年种植该作物的总利润为w元．
依题意得w＝[2 160－(4x＋200)＋120]·x＝
－4x2＋2 080x＝－4(x－260)2＋270 400.
∵－4＜0，∴当x＜260时，w随x的增大而增大．
由题意知x≤240，
∴当x＝240时，w最大，最大值为－4×(240－260)2＋270 400＝268 800.
答：当种植面积为240亩时总利润最大，最大利润是
268 800元．
【点方法】
在实际问题中求最值时，解题思路是列二次函数表达式，用配方法把函数表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式求函数的最值，或者利用函数的增减性求函数的最值．
3
公路上正在行驶的甲车，发现前方20 m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s(单位：m)、速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图像如图所示．
(1)当甲车减速至9 m/s时，它行驶的路程是多少？
解：∵乙车的速度为10 m/s，当t＝0时，
甲车的速度为16 m/s，
∴当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大；
当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小．
∴当v＝10时，两车之间的距离最小．
将v＝10代入v＝－t＋16，得t＝6.
(2)若乙车以10 m/s的速度匀速行驶，何时两车相距最近，最近距离是多少？(共33张PPT)
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第三十章 二次函数
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系
30.5.1
1
【2023 彬州】 已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝________．
9
2
【母题：教材P50观察与思考】抛物线y＝－3x2－x＋4与x轴的交点个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
【点拨】
【答案】
B
由题意知，－3x2－x＋4＝0，b2－4ac＝ (－1)2－4×(－3)×4＝49＞0，所以抛物线 y＝－3x2－x＋4与x轴有2个交点．
3
已知抛物线y＝x2＋ax＋b的对称轴是直线x＝1，与x轴两个交点间的距离为2，将此抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【点拨】
∵抛物线y＝x2＋ax＋b的对称轴是直线x＝1，与x轴两个交点间的距离为2，∴抛物线与x轴两个交点坐标为(0，0)，(2，0)，∴抛物线的表达式为
y＝(x－0)(x－2)＝x2－2x＝(x－1)2－1.
【答案】
C
抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的新抛物线的表达式为y′＝(x＋1)2－4，
令y′＝0，则(x＋1)2－4＝0，解得x＝1或x＝－3，
∴新抛物线与x轴两个交点间的距离为1－(－3)＝4.
4
【2022 泰安】 【新考法 表格信息法】抛物线
y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
x －2 －1 0 1
y 0 4 6 6
【点拨】
【答案】
C
5
若二次函数y＝2x2＋mx＋8的图像如图，则m的值是( )
A．－8 B．8
C．±8 D．6
【点拨】
【答案】
B
6
【2022·铜仁】如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若∠OAC＝∠OCB，则ac的值为( )
【点拨】
设A(x1，0)，B(x2，0)，由题知C(0，c)，
由∠OAC＝∠OCB易得△ABC为直角三角形且∠ACB＝90°，利用勾股定理可得AC2＝x12＋c2，BC2＝x22＋c2，AB2＝AC2＋BC2，∴x12＋2c2＋x22＝(x2－x1)2，从而可得c2＝－x1·x2.
【答案】
A
7
【点拨】
【答案】
D
【点拨】
根据函数的图像与坐标轴有三个交点，可得 (－2)2－4b＞0且b≠0，解得b＜1且b≠0.本题易忽略函数图像与y轴的交点不能在原点，即b≠0，否则函数图像与坐标轴只有两个交点．
8
b<1且b≠0
若函数y＝x2－2x＋b的图像与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是_________．
解：将点P(2，4)的坐标代入y＝x2＋mx＋m2－3得
4＝4＋2m＋m2－3，解得m1＝1，m2＝－3.
又∵m＞0，∴m＝1.
9
【2022·青岛】 已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图像经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
解：有2个交点．理由：∵m＝1，∴y＝x2＋x－2.
∵在x2＋x－2＝0中，b2－4ac＝12＋8＝9＞0，
∴二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图像与x轴有2个交点．
(2)判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图像与x轴交点的个数，并说明理由．
10
可以用如下方法求方程x2－2x－2＝0的实数根的范围：由函数y＝x2－2x－2的图像可知，当x＝0时，y<0，
当x＝－1时，y>0，所以方程有一个根在－1和0之间．
(1)参考上面的方法，求方程x2－2x－2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
解：由函数y＝x2－2x－2的图像可知，当x＝2时，y<0；当x＝3时，y>0，
所以方程的另一个根在2和3之间．
(2)若方程x2－2x＋c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
11
【2023·宁夏】 【新考法·以形助数法】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是(－1，0)，抛物线的对称轴是直线x＝1.
(1)直接写出点B的坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使PA＋PC的值最小．求点P的坐标和PA＋PC的最小值；
解：如图，连接BC，线段BC与直线x＝1的交点就是所求作的点P.
设直线CB的表达式为y＝kx＋b′，
解：补全图形如图：
由(1)，得抛物线的表达式为
y＝－x2＋2x＋3，
由(2)，得yBC＝－x＋3，故设M(t，－t2＋2t＋3)，
则Q(t，－t＋3)．(共26张PPT)
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第三十章 二次函数
二次函数与一元二次方程的关系
利用二次函数图像解一元二次方程
30.5.2
根据下面表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x的范围是( )
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1
C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
1
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2＋bx＋c －1 －0.5 1 3.5 7
【答案】 B
【点拨】
当x＝0.5时，y＝－0.5＜0；当x＝1时，y＝1＞0，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像在0.5＜x＜1时，与x轴有交点，所以方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x的范围为0.5＜x＜1.
A
2
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过(－3，0)与
(1，0)两点，关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0(m＞0)有两个整数根，其中一个根是3，则另一个根是( )
A．－5 B．－3
C．－1 D．3
3
【2023·衡阳】 【新考法·画示意图法】已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)．则下列结论正确的是( )
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
【答案】 B
【点拨】
关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝m的交点的横坐标，
关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝n的交点的横坐标．如图：
由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，故选B.
x1＝－1，x2＝2
4
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)．
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________；
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为_____________；
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为______________．
－1＜x＜2
x≤－1或x≥2
【点拨】
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标；(2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是抛物线在x轴上方部分的x的取值范围；(3)不等式 ax2＋bx＋c≤0的解集是抛物线在x轴上及x轴下方部分的x的取值范围．
5
一次函数y1＝mx＋n(m≠0)与二次函数
y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则不等式
ax2＋bx＋c＞mx＋n的解集为( )
A．－3＜x＜4
B．x＜－4
C．－4＜x＜3
D．x＞3或x＜－4
C
6
【2023·聊城】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图像如图所示，图像经过点(0，2)，其对称轴为直线
x＝－1.下列结论：①3a＋c＞0；
②若点(－4，y1)，(3，y2)均在二次函数图像上，则y1＞y2；
③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个相等的实数根；④满足ax2＋bx＋c＞2的x的取值范围为
－2＜x＜0.
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】
∵(－4，y1)关于直线x＝－1对称的点为(2，y1)， 2＜3，∴y1＞y2，故②正确；关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1的解可看作抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1的交点的横坐标，
由图像可知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1有两个交点，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根，故③错误；
【答案】 B
不等式ax2＋bx＋c＞2的解集可看作抛物线 y＝ax2＋bx＋c在直线y＝2上方部分的点的横坐标组成的集合，∵抛物线经过点(0，2)，(0，2)关于直线 x＝－1对称的点为(－2，2)，
∴x的取值范围为－2＜x＜0，故④正确．故选B.
7
8
已知关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)二次函数y＝x2＋x－m的部分图像如图所示，求一元二次方程x2＋x－m＝0的解．
9
已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值；
解：∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，
∴k2＋k－6＝0，解得k1＝－3，k2＝2.
又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点，
∴0－4×1×3k＝－12k＞0，即k＜0.∴k＝－3.
解：由(1)得抛物线的表达式为y＝x2－9.
∵点P在抛物线y＝x2－9上，且点P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2或－2.
当x＝2时，y＝－5；当x＝－2时，y＝－5.
∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5)．
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
10
(2)当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
【点拨】
(3)平行于x轴的直线l与函数y1的图像相交于点C，D(点C在点D的左边)，与函数y2的图像相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标．(共43张PPT)
二次函数的图像和性质
测素质
课题
集训课堂
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第三十章 二次函数
1
下列函数是二次函数的是( )
一、选择题(每题4分，共32分)
C
2
【母题：教材P35习题B组T1】将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )
A．y＝2(x＋2)2＋3
B．y＝2(x－2)2＋3
C．y＝2(x－2)2－3
D．y＝2(x＋2)2－3
B
3
已知抛物线与二次函数y＝－3x2的图像形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为(－1，3)，它对应的函数表达式为( )
A．y＝－3(x－1)2＋3
B．y＝3(x－1)2＋3
C．y＝3(x＋1)2＋3
D．y＝－3(x＋1)2＋3
【点拨】
设此抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，根据抛物线与二次函数y＝－3x2的图像形状相同，开口方向相同，可知a＝－3，再代入顶点坐标即可．
【答案】
D
4
【2022·广州】 【新考法·数形结合法】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－2，下列结论正确的是( )
A．a＜0
B．c＞0
C．当x＜－2时，y随x的增大而减小
D．当x＞－2时，y随x的增大而减小
【点拨】
根据图像可知a>0，c<0，当x<－2时，y随x的增大而减小，当x>－2时，y随x的增大而增大，故C正确．
【答案】
C
5
在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，则与该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为( )
A．y＝－x2－4x＋5
B．y＝x2＋4x＋5
C．y＝－x2＋4x－5
D．y＝－x2－4x－5
【点拨】
由y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1知，抛物线的顶点坐标是(2，1)，C(0，5)，∴与该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是(－2，9)．
∴所求抛物线的表达式为y＝－(x＋2)2＋9＝
－x2－4x＋5.
【答案】
A
6
在同一坐标系下，一次函数y＝mx＋n与二次函数
y＝mx2＋nx＋1的图像大致可能是( )
【点拨】
【答案】
B
7
【2023·泸州】已知二次函数y＝ax2－2ax＋3(其中x是自变量)，当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为( )
A．0＜a＜1
B．a＜－1或a＞3
C．－3＜a＜0或0＜a＜3
D．－1≤a＜0或0＜a＜3
【点拨】
当a＞0，b2－4ac＜0时，满足当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，
∴b2－4ac＝(－2a)2－4·a×3＜0，解得0＜a＜3；
当a＜0时，令x＝0，则y＝3，
∴二次函数的图像与y轴的交点坐标为(0，3)，
【答案】
D
8
③若函数y＝－x＋2m＋1的“m倍点”在 以点(－1，5)为圆心，2m为半径的圆内，则m为大于1的所有整数．上述说法正确的是( )
A．①
B．①②
C．①③
D．①②③
【点拨】
【答案】
C
9
【2023·包头】已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)，若点P(m，3)在该函数的图像上，且m≠0，则m的值为________．
二、填空题(每题4分，共20分)
2
10
④②①③
【点拨】
11
直线x＝1
【母题：教材P56复习题A组T4】下表中两个变量y与x的数据满足我们初中学过的二次函数关系：
则这个二次函数图像的对称轴为________．
x … －1 0 1 3 …
y … 0 3 4 0 …
12
【新考向·学科内综合】如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为________．
【点拨】
13
【2022·凉山州】已知实数a，b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
6
【点拨】
∵a－b2＝4，∴b2＝a－4≥0，∴a≥4.
原式＝a2－3(a－4)＋a－14＝a2－3a＋12＋a－14＝a2－2a－2＝a2－2a＋1－1－2＝(a－1)2－3.
∵1＞0，∴当a＞1时，原式的值随着a的增大而增大．
∴当a＝4时，原式取得最小值，最小值为6.
14
(12分) 【母题：教材P38习题B组T1(2)】已知抛物线
y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)， (－2，13)．
(1)求二次函数的表达式；
三、解答题(共48分)
(2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．
15
(12分) 【2023·本溪】 【情境题·商业应用】商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
销售单价x(元) … 50 60 70 …
月销量y(台) … 90 80 70 …
(1)求y与x之间的函数关系式．
解：∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，∴40≤x≤80.
设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意得，w＝(x－40)y＝(x－40)(－x＋140)＝
－x2＋180x－5 600＝－(x－90)2＋2 500，
∴当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2 400元．
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
16
(12分)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过该二次函数图像上的点A(－1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
解：把点A(－1，0)的坐标代入y＝(x＋2)2＋m，得m＝－1，
∴y＝(x＋2)2－1.
∴点C的坐标是(0，3)，抛物线的对称轴是直线x＝－2.
∵点B与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴B(－4，3)．
把点A(－1，0)，B(－4，3)的坐标分别代入y＝kx＋b，
解：∵点B和点C关于直线x＝－2对称，
∴直线AB与直线x＝－2的交点即为点P.
当x＝－2时，y＝－x－1＝－(－2)－1＝1，
∴点P的坐标是(－2，1)．
(2)在对称轴上求作一点P，使PA＋PC最小，并求点P的坐标．
【点规律】
当点A，C在直线l同侧时，要在直线l上找一点P使PA＋PC最小，可先找出点A(或点C)关于直线l的对称点，再将找出的对称点与点C(或点A)连接，连线与直线l的交点就是所求的点．
17
(1)判断函数y＝x2＋2x的图像上是否存在“等距点”？如果存在，求出“等距点”的坐标；如果不存在，说明理由；
解：存在“等距点”．
令x2＋2x＝x，解得x1＝0，x2＝－1.
令x2＋2x＝－x，解得x1＝0，x2＝－3.
∴函数y＝x2＋2x的图像上有三个“等距点”，分别为(0，0)、(－1，－1)、(－3，3)．
(3)若函数y＝－x2＋(2＋m)x＋2m＋2 (m≠－1)的图像上恰好存在2个“等距点”，试求出m的取值范围．
解：令x＝－x2＋(2＋m)x＋2m＋2，整理得，
x2－(1＋m)x－2m－2＝0.
∴b2－4ac＝(1＋m)2＋4(2m＋2)＝m2＋10m＋9.
∴当m<－9或m>－1时，b2－4ac>0.
此时函数图像在第一、三象限有2个“等距点”．(共43张PPT)
测素质
二次函数的应用
集训课堂
冀教版 九年级下
第三十章 二次函数
【2023·石家庄四十二中月考】据省统计局公布的数据，石家庄市2023年第一季度GDP总值约为
1.8千亿元人民币，若该市第三季度GDP总值为
y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是( )
1
一、选择题(每题5分，共30分)
A．y＝1.8(1＋2x)
B．y＝1.8(1－x)2
C．y＝1.8(1＋x)2
D．y＝1.8＋1.8(1＋x)
【答案】
C
2
某旅行社在“五一”期间接团去外地旅游，经计算，所获营业额y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式
y＝－x2＋100x＋28 400，要使所获营业额最大，则此旅行团应有( )
A．30人 B．40人
C．50人 D．55人
【点拨】
【答案】
C
y＝－x2＋100x＋28 400＝－(x2－100x＋502－502)＋28 400＝－(x－50)2＋30 900，∴当x＝50时，所获营业额最大．
3
已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2
B．50 cm2
C．100 cm2
D．无法确定
【点拨】
【答案】
B
4
【母题：教材P45习题A组T2】某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，每天能售出50件．若每件每涨价
1元，每天的销售量就减少10件，则销售该产品每天能获得的最大利润为( )
A．50元 B．80元
C．90元 D．100元
【点拨】
【答案】
C
设每件的售价为x元，每天获得的利润为w元，根据每件利润×销售量＝总利润，求出w关于x的二次函数表达式，再利用配方法求最大值．
· · ·
5
【2022·自贡】九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形(如图)这三种方案，最佳方案是( )
A．方案1
B．方案2
C．方案3
D．方案1和方案2
【点拨】
如图，方案1：设AD＝x米，则AB＝(8－2x)米，则菜园面积为x(8－2x)＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8(平方米)，当x＝2时，菜园面积最大，为8平方米；
【答案】
C
6
【点拨】
【答案】
C
7
【新考向·传承数学文化】苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加________m.
二、填空题(每题5分，共20分)
【点拨】
【点方法】
先建立适当的直角坐标系，再利用待定系数法求出抛物线的表达式，进而即可求出水面宽度．
8
【新背景·社会热点】 2023年5月28日，中国东方航空使用中国商飞全球首架交付的C919大型客机，执行MU9191航班，开启这一机型全球首次商业载客飞行，该航班标志着C919的“研发、制造、取证、投运”全面贯通．
18
【点拨】
9
【2022·成都】 【母题·教材P42做一做】距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h＝
－5t2＋mt＋n，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
0≤w≤5
设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差)，则当0≤t≤1时，w的取值范围是________；当2≤t≤3时，w的取值范围是________．
5≤w≤20
【点拨】
∴抛物线的表达式为h＝－5t2＋10t＋15.
∵h＝－5t2＋10t＋15＝－5(t－1)2＋20，
∴抛物线的顶点坐标为(1，20)．当t＝0时，h＝15.
∵20－15＝5，20－20＝0，∴当0≤t≤1时，w的取值范围是0≤w≤5.
当t＝2时，h＝15；当t＝3时，h＝0.
∵20－15＝5，20－0＝20，
∴当2≤t≤3时，w的取值范围是5≤w≤20.
7
10
如图，这是一传媒公司寓意为“大鹏展翅”的大门建筑截面图，它是两条关于线段AB的中垂线对称的抛物线的一部分，这两条抛物线的开口朝向左右，顶点是边长为4米的正方形中心，且分别过正方形的两个顶点．若入口水平宽BE为10.5米，则最高点F到地面的高度FE为________米．
【点拨】
将原图逆时针旋转90°，以正方形ABCD的中心为原点，平行于BE的直线为y轴建立直角坐标系，求出曲线CF所在抛物线的表达式，问题便迎刃而解．
11
(16分) 【2023·营口】某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1 440元购进这款洗衣液的数量与去年用1 200元购进这款洗衣液的数量相同，当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销，该超市决定
三、解答题(共50分)
降价销售，经市场调查发现，这款洗衣液每瓶的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这款消毒洗衣液
每瓶的售价不低于进价．
(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价为x元，每周的销售利润为w元，
根据题意得w＝(x－24)[600＋100(36－x)]＝
－100x2＋6 600x－100 800＝－100(x－33)2＋8 100，
∵－100＜0，
∴当x＝33时，w取最大值8 100.
∴当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8 100元．
12
(16分)【母题：教材P45习题A组T1】用19 m长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD长表示窗框的宽，
EF＝0.5 m(铝合金条的宽度忽略不计)．
(1)求窗框的透光面积S(m2)与窗框的宽x(m)之间的函数表达式．
(2)如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
(3)当窗框的透光面积不小于10 m2时，直接写出x的取值范围．
13
(18分)【2023·河北】嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．
某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长．
(1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
解：∵嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，
∴此时，点A的坐标范围是(5，1)～(7，1)．(共43张PPT)
测素质
二次函数与一元二次方程
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冀教版 九年级下
第三十章 二次函数
小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图像如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
D．x＝－1或x＝4
1
一、选择题(每题4分，共32分)
D
2
【母题：教材P52习题T1】抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
C
【新考法·画示意图法】若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过第四象限的点 (1，－1)，则关于x的方程
ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1、另一个小于1的实数根
D．没有实数根
3
【点拨】
根据题意画出草图，根据抛物线与x轴的交点位置判断即可．
【答案】
C
4
如图，抛物线y1＝(x－2)2－1与直线y2＝x－1交于A，B两点，则当y2≥y1时，x的取值范围为( )
A．x≤1或x≥4
B．x≤4
C．x≥1
D．1≤x≤4
【点拨】
【答案】
D
5
【2022·绍兴】已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的根是( )
A．0，4
B．1，5
C．1，－5
D．－1，5
【点拨】
根据抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2可求出m，然后解方程即可．
【答案】
D
6
【2022·威海】如图，二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图像经过点(2，0)，下列结论错误的是( )
A．b＞0
B．a＋b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2＋bx＝0(a≠0)的一个根
D．点(x1，y1)，(x2，y2)在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0
【点拨】
根据图像知当x＝1时，y＝a＋b>0.故B不符合题意；根据图像可知a<0，∴b>－a>0.故A不符合题意；根据图像可知x＝2是方程ax2＋bx＝0的一个根．故C不符合题意；根据图像可知当x1＞x2＞2时，y1
【答案】
D
7
【点拨】
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点A，D的横坐标分别为3和－1，
∴二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，对称轴为直线x＝1.
当x＝1时，y＝－4a，当x＝0时，y＝－3a.
【答案】
B
【2023·十堰】已知点A(x1，y1)在直线y＝3x＋19上，点B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线y＝x2＋4x－1上，
若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是( )
A．－12＜x1＋x2＋x3＜－9
B．－8＜x1＋x2＋x3＜－6
C．－9＜x1＋x2＋x3＜0
D．－6＜x1＋x2＋x3＜1
8
【点拨】
令3x＋19＝x2＋4x－1，整理得x2＋x－20＝0，解得x1＝－5，x2＝4，
∴直线y＝3x＋19与抛物线的交点的横坐标为－5，4，
∵y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5，
∴抛物线开口向上，顶点为(－2，－5)，
把y＝－5代入y＝3x＋19，解得x＝－8，
【答案】
A
若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则－8＜x1＜－5，x2＋x3＝－4，
∴－12＜x1＋x2＋x3＜－9.
故选A.
(3，0)，(－1，0)
9
抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标是_________________．
二、填空题(每题5分，共20分)
【点拨】
令y＝0，则x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3， 0)．
－310
【点拨】
11
【2023·南京一中月考】如图，一段抛物线：
y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3.过抛物线C1，C3顶点的直线与C1，C2，C3围成如图的阴影部分，那么该面积为________．
【点拨】
对于抛物线C1：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，当y＝0时，－x(x－3)＝0，∴x1＝0，x2＝3，∴点A1的坐标为(3，0).
由题意，将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2，将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，∴点A2的坐标为(6，0)，点A3的坐标为(9，0).
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)，
a＋b＋c＝0.下列四个结论：
①若抛物线经过点(－3，0)，则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2＋bx＋a＝0一定有根x＝－2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若0y2.
其中正确的是________．(填写序号)
①②④
12
【点拨】
13
(12分) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，根据图像解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
解：x1＝1，x2＝3.
三、解答题(共48分)
解：1＜x＜3.
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
x＞2.
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
解：由题图可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k有两个交点时，k<2.
故方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根时，k的取值范围为k<2.
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
14
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 12 5 0 －3 －4 －3 0 …
(12分) 【新考法 表格信息法】【母题：教材P56复习题A组T4】下面是一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x和函数y的对应值表：
解：根据图表看出抛物线与y轴的交点坐标为(0，－3)．
根据表中提供的信息解答下列各题：
(1)求抛物线与y轴的交点坐标；
(3)设抛物线与x轴两个交点分别为A，B，顶点为C，求△ABC的面积．
(2)直接写出不等式ax2＋bx＋c＋3>0的解集是________．
x<0或x>2
15
(12分) 【2023 包头】 【新背景 商业应用】随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．
设该产品2022年第x(x为整数)个月每台的销售价格为y(单位：元)，y与x的函数关系如图所示(图中ABC为一折线)．
(1)当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；
16
(12分) 二次函数y＝－x2＋(a－1)x＋a (a为常数)的图像的顶点在y轴右侧．
(1)写出该二次函数图像的顶点横坐标(用含a的代数式表示)；
解：∵y＝－x2＋(a－1)x＋a＝
－[x2－(a－1)x－a]＝－(x＋1)(x－a)，
∴p＝－1.
(2)该二次函数表达式可变形为y＝－(x－p)·(x－a)的形式，求p的值；
(3)若点A(m，n)在该二次函数的图像上，且n>0，过点
(m＋3，0)作y轴的平行线，与二次函数的图像的交点在x轴下方，求a的取值范围．
令y＝0，则－(x＋1)(x－a)＝0，∴x＝－1或x＝a.
∴C(－1，0)，D(a，0)．∴CD＝a＋1.
∵点A(m，n)在该二次函数图像上，且n>0，
∴点A在x轴上方．
∵过点(m＋3，0)作y轴的平行线，与二次函数图像的交点在x轴下方，∴CD≤3.
∴a＋1≤3，即a≤2.∴11.求二次函数表达式的方法
练素养
课题
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第三十章 二次函数
【2023·黑龙江】 【新考向·逆向思维法】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点．交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式；
1
解：存在，点P的坐标为(－2，3)或(3，－12)．
【点拨】
2
【2023·牡丹江】如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线对应的函数表达式，并直接写出顶点P的坐标；
(2)求△BCP的面积．
解：∵抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2＝
a(x－1)2＋2a2－a－3，
∴这条抛物线的对称轴为直线x＝1.
3
已知抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2(a≠0)．
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其表达式；
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴Q(3，y2)关于直线x＝1的对称点的坐标为(－1，y2)．
∴当a>0时，若y1当a＜0时，若y13.
(3)设点P(m，y1)，Q(3，y2)在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
4
如图，抛物线L：y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于
A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)，D为抛物线
L的顶点．
(1)求抛物线L的表达式．(共52张PPT)
2.二次函数的图像和性质的九种常见类型
练素养
课题
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第三十章 二次函数
1
【点拨】
【答案】
A
∴函数y＝x2－bx＋k－1的图像不过原点．
符合以上条件的只有A选项．故选A.
2
【2023·南京九中月考】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(2，0)，B(3n－4，y1)，C(5n＋6，y2)三点，对称轴是直线x＝1.关于x的方程ax2＋bx＋c＝x有两个相等的实数根．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若n＜－5，试比较y1与y2的大小；
(3)若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
【2022·雅安】抛物线的函数表达式为y＝(x－2)2－9，则下列结论中，正确的序号为( )
①当x＝2时，y取得最小值－9；②若点(3，y1)，
(4，y2)在其图象上，则y2＞y1；③将其图像向左平移 3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为y＝(x－5)2－5；④函数图像与x轴有两个交点，且两个交点之间的距离为6.
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3
【点拨】
∵抛物线的函数表达式为y＝(x－2)2－9，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向上，顶点坐标为(2，－9)．
∴当x＝2时，y取最小值－9，①正确．
∵当x＞2时，y随x的增大而增大，且2＜3＜4，∴y2＞y1，②正确．
【答案】
B
将函数图像向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为y＝(x＋1)2－5，③错误．
令(x－2)2－9＝0，解得x1＝－1，x2＝5，5－(－1)＝6，④正确．
4
【新考法·函数平移法】把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2.
(1)直接写出抛物线C2的函数表达式．
解：抛物线C2的函数表达式为y＝(x－3)2－3.
解：动点P(a，－6)不能在抛物线C2上．理由：
∵抛物线C2的函数表达式为y＝(x－3)2－3，
∴函数的最小值为－3.
∵－6＜－3，∴动点P(a，－6)不能在抛物线C2上．
(2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？请说明理由．
解：y1＞y2.理由：∵抛物线C2的函数表达式
为y＝(x－3)2－3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3.
∴当x＜3时，y随x的增大而减小．
∵点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，
且m＜n＜0＜3，∴y1＞y2.
(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【点方法】
比较抛物线上两点对应的函数值大小的方法：
①如果两点在对称轴的同侧，可以用二次函数的增减性比较大小；
②如果两点在对称轴的两侧，可以利用二次函数图像的对称性将对称轴两侧的函数值大小比较问题转化为同侧的函数值大小比较问题．
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(2)求四边形ACDB的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．
解：如图②，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO＝∠PBC时，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F.
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【2022·常德】如图，已知抛物线过点O(0，0)，
A(5，5)，且它的对称轴为直线x＝2.
(1)求此抛物线的表达式；
解：∵抛物线过点O(0，0)，
且它的对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4，0)．
设抛物线的表达式为y＝ax(x－4)，把点A(5，5)的坐标代入，得5a＝5，解得a＝1.
∴y＝x(x－4)＝x2－4x.
解：如图，∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B(2，m)(m＞0)．
设直线OA的表达式为y＝kx，
将点A(5，5)的坐标代入，
得5k＝5，解得k＝1.
∴直线OA的表达式为y＝x.
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
(3)在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当PA－PB的值最大时，求P的坐标以及PA－PB的最大值．
解：由题意得y＝－(x＋1)(x－3)，
∴y＝－x2＋2x＋3.
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【2022·贺州】 【新考法·条件探究题】如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，
B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式．
解：由(1)可得该抛物线的对称轴为直线x＝1.
令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)．
设P(1，m)．∵PB＝PC，∴PB2＝PC2.
∴(3－1)2＋m2＝12＋(m－3)2，解得m＝1.
∴P(1，1)．
(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标．
解：存在．假设存在点M满足条件，作PQ∥BC，
PQ交y轴于点Q，作MN∥BC交y轴于点N.
设直线BC的表达式为y＝kx＋n，将点B(3，0)、
点C(0，3)的坐标分别代入，
得直线BC的表达式为y＝－x＋3.
(3)在(2)的条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
8
(2)在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A′，连接MA′交y轴于点Q，连接AM，AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标．
解：存在．
点N的坐标为(6，6)或(－6，－6)或(－2，6)．
(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A，O，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
9
【2022·嘉兴】已知点A(a，b)，B(4，c)在直线
y＝kx＋3(k为常数，k≠0)上，若ab的最大值为9，则c的值为( )
【点拨】
【答案】
C
10
(1)求k的值；
解：∵点A(t，0)在x轴负半轴上，
∴OA＝－t.
∵四边形OABC为正方形，
∴OC＝BC＝OA＝－t，BC∥x轴，
(2)连接BP，CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S－2t2，求T的最大值．
已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1的顶点为A，点B的坐标为(3，5)．
(1)求抛物线过点B时顶点A的坐标．
11
解：∵抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1过点B(3，5)，
∴把点B(3，5)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，
整理得m2－4m＋3＝0，解得m1＝1，m2＝3.
当m＝1时，y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
顶点A的坐标为(1，1)；
当m＝3时，y＝x2－6x＋14＝(x－3)2＋5，
顶点A的坐标为(3，5)．
综上，顶点A的坐标为(1，1)或(3，5)．
解：∵y＝x2－2mx＋m2＋2m－1＝(x－m)2＋2m－1，
∴顶点A的坐标为(m，2m－1)．
∵点A的坐标记为(x，y)，
∴x＝m，y＝2m－1. ∴y＝2x－1，
即y与x的函数表达式为y＝2x－1.
(2)点A的坐标记为(x，y)，求y与x的函数表达式．
解：由(2)可知，
抛物线的顶点在直线y＝2x－1上运动，且形状不变．
由(1)知，当m＝1或3时，抛物线过点B(3，5)．
(3)如图，已知C点的坐标为(0，2)，当m取何值时，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1与线段BC只有一个交点？
把C(0，2)的坐标代入
y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，
得m2＋2m－1＝2，解得m＝1或
m＝－3.
∴当m＝1或m＝－3时，抛物线经过点C(0，2)．
如图，当m＝－3或m＝3时，
抛物线与线段BC只有一个交点(即线段CB的端点)；
当m＝1时，抛物线同时过点B，C，不合题意．
∴m的取值范围是－3≤m≤3且m≠1.(共42张PPT)
二次函数图像信息题的五种常见类型
练素养
课题
集训课堂
冀教版 九年级下
第三十章 二次函数
1
【点拨】
【答案】 B
2
①③④
④当a≤－1时，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是________(填写序号)．
【点拨】
由题意可得抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－m)＝ax2＋bx＋c，
令ax2＋bx＋c＝1，即a(x＋1)(x－m)＝1，
整理得ax2＋a(1－m)x－am－1＝0，[a(1－m)]2－4a(－am－1)＝a2(m＋1)2＋4a，
∵1＜m＜2，a≤－1，∴a2(m＋1)2＋4a＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确.
3
如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2＋bx＋c交于A，B两点，则y＝ax2＋(b－k)x＋c的图像可能是( )
【答案】 B
【点拨】
由题意得y＝y2－y1.由图像可知，在点A和点B之间，y＞0；在点A左侧或点B右侧，y＜0，故选项B符合题意．
4
【答案】 D
【点拨】
5
【2022·天津】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，0＜a＜c)经过点(1，0)，有下列结论：
①2a＋b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2＋bx＋(b＋c)＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】
【答案】 C
③∵a＋b＋c＝0，∴b＋c＝－a.
对于方程ax2＋bx＋(b＋c)＝0，
b2－4·a·(b＋c)＝b2＋4a2＞0，
∴方程ax2＋bx＋(b＋c)＝0有两个不相等的实数根，③正确．
6
【2023·随州】如图，已知开口向下的抛物线
y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点(6，0)，对称轴为直线x＝2.则下列结论正确的有( )
①abc＜0；
②a－b＋c＞0；
【点拨】
【答案】 B
∵对称轴为直线x＝2，x1＜2＜x2且x1＋x2＞4， ∴点P(x1，y1)到对称轴的距离小于点Q(x2，y2)到对称轴的距离，∴y1＞y2，故④错误．
故选B.
7
3
⑤若A(x1，y1)和B(x2，y2)均在该函数图像上，
且x1＞x2＞1，则y1＞y2.其中正确结论的个数共有________个．
【点拨】
8
【新考向·数学建模法】二次函数y＝ax2＋bx＋a(a<0)的图像与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B在二次函数y＝ax2＋bx＋a(a<0)的图像上．
(1)求点B的坐标(用含a的代数式表示)．
解：令x＝0，∴y＝a·02＋b·0＋a＝a.
∴点A的坐标为(0，a)．
∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为(4，a)．
解：∵点A的坐标为(0，a)，点B的坐标为(4，a)，
点A，B都在二次函数y＝ax2＋bx＋a(a<0)的图像上，
∴A，B关于二次函数图像的对称轴对称．
∴对称轴为直线x＝2.
(2)求二次函数图像的对称轴．
(3)已知点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋2，y3)在二次函数 y＝ax2＋bx＋a(a<0)的图像上．若0解：y3＞y2＞y1.
理由：∵对称轴是直线x＝2，0∴点(m－1，y1)，(m，y2)在直线x＝2的左侧，
点(m＋2，y3)在直线x＝2的右侧．
∵0∴2<2－(m－1)<3，1<2－m<2，0∵a<0，∴y3>y2>y1.
9
【2022·永州】 已知关于x的函数y＝ax2＋bx＋c.
(1)若a＝1，函数的图像经过点(1，－4)和点(2，1)，求该函数的表达式和最小值；
解：根据题意，得y＝x2－2x＋m＋1，而函数的图像与x轴有交点，所以b2－4ac＝ (－2)2－4(m＋1)≥0，
所以m≤0.
(2)若a＝1，b＝－2，c＝m＋1时，函数的图像与x轴有交点，求m的取值范围．
(3)阅读下列材料：
设a＞0，函数图像与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数a，b，c应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：
①因为函数的图像与x轴有两个不同的交点，所以
b2－4ac＞0；
②因为A，B两点在原点左侧，所以x＝0对应图像上的点在x轴上方，即c＞0；
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题．
若函数y＝ax2－2x＋3的图像在直线x＝1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．