(共18张PPT)
第10招
巧用一次函数解决方案设计与选择问题
冀教版 八年级下
类型 1 合理决策问题
分 类 训 练
1 某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经市场调研发现，如果本月初出售，可获利10%，然后将本利再投资其他商品，到下月初又可获利10%；如果下月初出售可获利25%，但要支付仓储费8 000元．设商场投入资金x元，请你根据商场的资金情况，向商场提出合理化建议，说明何时出售获利较多．
【解】设如果商场本月初出售，下月初可获利y1元，则y1＝10%x＋(1＋10%)x·10%＝0.1x＋0.11x＝0.21x.
设如果商场下月初出售，可获利y2元，
则y2＝25%x－8 000＝0.25x－8 000.
当y1＝y2时，0.21x＝0.25x－8 000，解得x＝200 000.
所以若商场投入资金为20万元，两种出售方式获利相同；若商场投入资金少于20万元，本月初出售获利较多；若商场投入资金多于20万元，下月初出售获利较多．
2 某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
计费方式 月使用 费/元 主叫限定 时间/min 主叫超时费/ (元/min) 被叫
A 78 200 0.25 免费
B 108 500 0.19 免费
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为t min，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额y1(元)，y2(元)关于t的函数表达式；
(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
【解】选择方式B计费．理由如下：
当每月主叫时间为350min时，
y1＝0.25×350＋28＝115.5，y2＝108.
∵115.5＞108，∴选择方式B计费．
(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
【解】当0≤t<320时，方式A更省钱；
当t＝320时，方式A和B的付费金额相同；
当t>320时，方式B更省钱．
类型 2 方案选择问题
(1)求篮球、足球的单价分别为多少元．
(2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m(m≤ 45)个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式.
【解】由题意得w＝80m＋100(60－m)＝－20m＋6 000，
即w与m的函数关系式为w＝－20m＋6 000.
(3)在(2)的条件下学校计划总费用不多于5 200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用为多少？
【解】由题意可得－20m＋6 000≤5 200，
解得m≥40，∴40≤m≤45.由(2)得w＝－20m＋6 000，
∵－20<0，∴w随m的增大而减小，
∴当m＝45时，w取得最小值，
此时60－m＝15，w＝5 100.
答：当购买足球45个，篮球15个时，费用最少，最少费用为5 100元．
4 [2023·扬州]近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20个，乙种头盔30个，共花费2 920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
类型 3 购物优惠问题
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40个，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每个降价6元出售，如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少个甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
又∵m为整数，∴当m＝14时，w取得最小值，
即购买14个甲种头盔时，总费用最小，
最小费用为14×4＋1 920＝1 976(元)．
答：购买14个甲种头盔时，总费用最小，最小费用为
1 976元．(共25张PPT)
第12招
构造中位线的五种常用方法
冀教版 八年级下
例
典 例 剖 析
【解题秘方】
图中不存在中点，但结论与三角形中位线定理很类似，因此应设法寻找中点，再构造三角形的中位线．
方法 1 连接两点构造三角形的中位线
分 类 训 练
1 [2023·广西]如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为________．
【点拨】
2 如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．
方法 2 已知角平分线及垂直构造中位线
3 如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC的中点，求DE的长.
【解】如图，延长BD交AC于点F.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°＝∠ADF.
方法 3 倍长法构造三角形的中位线
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°.∴∠FBN＝180°－∠BFN－∠BNF＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.
又∵∠ABC＝∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN.
方法 4 已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
6 [2023·武汉外国语学校月考]如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N分别为边AD，BC的中点，EF⊥MN交AB于点E，交CD于点F.求证：∠AEF＝∠DFE.
【证明】如图所示，设MN与EF相交于点O，NM的延长线与BA的延长线交于点P，与CD的延长线交于点Q，连接BD，取BD的中点G，连接MG，NG.
∵MG∥AB，∴∠GMN＝∠BPN.
∵NG∥CD，∴∠GNM＝∠NQC.∴∠BPN＝∠NQC.
∵EF⊥MN，
∴∠EOP＝90°，∠FOQ＝90°.
∴∠BPN＋∠AEF＝90°，∠NQC＋∠DFE＝90°.
∴∠AEF＝∠DFE.
【点方法】
本题考查了三角形中位线定理及平行线的性质，巧妙构造三角形的中位线是解此题的关键．
方法 5 已知一边中点，推理得出另一边中点，再取第三
边中点构造三角形的中位线
【证明】如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥ AD，交BN的延长线于点E.
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．
又∵H为NC的中点，
∴DH∥BN，HN＝HC.
又∵PD∥EH，
∴四边形PDHE是平行四边形．∴HE＝PD.(共29张PPT)
第13招
矩形的性质和判定的五种应用
冀教版 八年级下
例
典 例 剖 析
如图，直线EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则阴影部分的面积为________．
3
【解题秘方】
利用矩形的对称性将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．
应用 1 利用矩形的性质判定菱形
分 类 训 练
1 如图，在矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形．
(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由.
【解】当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形．理由：∵BE平分∠ABD，∠ABE＝30°，∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°.∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴EB＝ED. 由(1)知四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．
2 [2023·宁波七中三模]如图，在 ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，AF，CE.
应用 2 利用矩形的性质和判定解面积问题
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC.∴AE∥FC.
∵BE＝DF，
∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)连接AC，若AC＝EF，CF＝4，AF＝3，求四边形AECF的面积．
【解】由(1)知四边形AECF是平行四边形．
∵AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形．
∵CF＝4，AF＝3，
∴四边形AECF的面积为AF×CF＝3×4＝12.
3 [2022·泰州]如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
应用 3 矩形的性质和判定在四边形中的应用
(1)求证：AF与DE互相平分．
【证明】∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线，
∴D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．
∴DF，EF也为△ABC的中位线．
∴DF∥AE，EF∥AD.
∴四边形ADFE是平行四边形．
∴AF与DE互相平分．
(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
4 如图①，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一点(不与点B，C重合)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分别为点E，F，D.
(1)求证：BD＝PE＋PF.
应用 4 利用矩形的性质和判定解和差问题
【证明】如图，作BH⊥FP交FP的延长线于点H.
∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，
∴∠HFD＝90°，∠FDB＝90°，
∠H＝90°，
∴四边形BDFH是矩形．
∴BD＝HF.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEB＝90°＝∠PFC.∴∠EPB＝∠FPC.
又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.
∵PH⊥BH，∴∠PHB＝90°.∴∠PEB＝∠PHB.
又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB(AAS)．∴PE＝PH.
∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE，即BD＝PE＋PF.
(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．
【解】不成立．理由如下：
作BH⊥PF交PF的延长线于点H.
与(1)同理可得PE＝PH，BD＝HF.
∴PE＝PH＝HF＋PF＝BD＋PF.即BD＝PE－PF.
∴(1)中的关系在(2)不成立．
【点方法】
先作辅助线构造矩形BDFH得出BD＝HF，再证△PEB≌△PHB得出PE＝PH，从而得出BD，PE，PF之间的关系．
5 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动，
当移动时间为4秒时，AC·EF
等于( )
应用 5 利用矩形的性质探究动点问题
【点拨】
【答案】D
6 已知点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P是EC上的一动点，且PQ⊥ BC于点Q，PR⊥BD于点R.
(2)如图②，当点P为线段EC的延长线上任意一点时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
【点方法】
本题根据三角形的面积之间的数量关系证明PR与PQ之间的数量关系．(共31张PPT)
第14招
利用矩形的性质巧解折叠问题
冀教版 八年级下
例
典 例 剖 析
如图，纸片ABCD为平行四边形．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上的点E处，折痕为AF. 已知 AB＝10，AD＝8，DE＝6.
(1)求证： ABCD是矩形；
【解题秘方】
根据折叠变换的对称性可知AE＝AB，在△ADE中，利用勾股定理的逆定理证明∠D＝90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明 ABCD是矩形即可；
证明：由折叠的性质得AE＝AB＝10.
∴AE2＝102＝100.
又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100，
∴AD2＋DE2＝AE2.
∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°.
∴ ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
(2)求BF的长；
【解题秘方】
设BF＝x，在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可；
解：由题意易知EF＝BF，CD＝AB＝10，BC＝AD＝8，
EC＝CD－DE＝4.
设BF＝x，则EF＝BF＝x，FC＝BC－BF＝8－x.
由(1)可知 ABCD是矩形，
∴∠C＝90°.
在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2.
解得x＝5，故BF＝5.
(3)求折痕AF的长．
【解题秘方】
在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．
题型 1 利用矩形的性质巧求折叠中线段的长
分 类 训 练
1 [2022·丽水]如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF.
(1)求证：△PDE≌△CDF；
【证明】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD.
由折叠的性质，得AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，
∠B＝∠PDF＝90°，
∴∠P＝∠C，PD＝CD，∠PDF＝∠ADC.
(2)若CD＝4 cm，EF＝5 cm，求BC的长．
【解】如图，过点E作EG⊥BC于点G，
则∠EGF＝90°，易得四边形ABGE，四边形EGCD是矩形，∴AE＝BG，EG＝CD＝4 cm，
DE＝CG.由折叠的性质，得AE＝PE.
由(1)知△PDE≌△CDF，∴PE＝CF.
∴AE＝PE＝BG＝CF，
2 [2023·汕头金信中学模拟]如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，将△ADF和△CBE分别沿直线AF，CE折叠，使点D，B分别落在对角线AC上的点H，G处．
题型 2 利用矩形的性质巧求折叠中重叠的面积
(1)求证：△ADF≌△CBE；
(2)若DA＝3，DC＝4，求△ACF的面积．
3 如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与CD的交点为点O，连接DE.求证：
题型 3 利用矩形的性质巧证折叠中的平行线
(1)△ADE≌△CED；
【证明】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD.
由折叠的性质，得BC＝CE，AB＝AE，
∴AD＝CE，AE＝CD.
又∵DE＝ED，∴△ADE≌△CED(SSS)．
(2)DE∥AC.
【证明】由(1)知△ADE≌△CED，∴∠DEA＝∠EDC.
由折叠的性质，得∠OAC＝∠CAB.
易知AB∥CD，∴∠OCA＝∠CAB，∴∠OAC＝∠OCA.
又∵∠AOC＝∠DOE，
∴∠OAC＋∠OCA＝∠DEA＋∠EDC，
∴2∠OAC＝2∠DEA，即∠OAC＝∠DEA.∴DE∥AC.
4 如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N，连接CN.
题型 4 利用矩形的性质巧求折叠中线段的比
(1)求证：CM＝CN；
【证明】由折叠的性质，得∠DNM＝∠ENM，
∵∠ENA＝∠DNC，∴∠DNM－∠DNC＝∠ENM－∠ENA，即∠ANM＝∠CNM.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.
∴∠ANM＝∠CMN.∴∠CMN＝∠CNM，即CM＝CN.
【点思路】
根据折叠的性质得∠ANM＝∠CNM，再由AD∥BC得到∠ANM＝∠CMN，最后根据等角对等边得到CM＝CN；
【点思路】
5 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.
题型 5 利用矩形的性质巧求折叠中线段的和
(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；
(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥ AB′于点G，PH⊥DC于点H，试求PG＋PH的值．
【解】如图，延长HP交AB于点M.
易知四边形AMHD是矩形，
∴HM＝AD.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，CD＝AB＝8，CD∥AB.∴∠2＝∠3.(共29张PPT)
第15招
菱形的性质和判定的四种应用
冀教版 八年级下
例
典 例 剖 析
如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC＝6 cm.求此菱形的周长和面积．
【解题秘方】
要求菱形的周长，需先求菱形的边长，而边长可通过菱形的一条对角线分菱形所得的两个等边三角形求出．要求菱形的面积，可以先求菱形的另一条对角线长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求出．
. .
应用 1 利用菱形的判定判断图形的形状
分 类 训 练
1 [2023·衡水五中模拟]如图，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)若∠AFC＝2∠D，求证：四边形AFCE是菱形．
又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．
同理可证四边形CDEF是平行四边形，
∴∠CFE＝∠D.
∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFE＝∠CFE＝∠D.
又∵∠AEF＝∠CFE，∴∠AFE＝∠AEF.
∴AF＝AE，即四边形AFCE是菱形．
2 [2023·兰州]如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.
(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
【解】四边形OCDE是菱形．理由如下：
∵CD∥OE，∴∠FDC＝∠FOE.
∵CE是线段OD的垂直平分线，
∴FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO.
(2)当CD＝4时，求EG的长．
3 [2023·石家庄外国语学校模拟]如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF.
(2)连接AF，CE，当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
【解】当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC.
∴∠ADB＝∠CBD.∴∠ABD＝∠ADB，即AB＝AD.
∴平行四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD.∴AC⊥EF.
∵DE＝BF，∴DE＋OD＝BF＋OB，即OE＝OF.
又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形．
∵AC⊥EF，∴平行四边形AFCE是菱形．
4 [2022·青海]如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE.求证：
应用 2 利用菱形的性质证角相等
(1)△DCE≌△BCE；
【证明】∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE.
又∵CE＝CE，∴△DCE≌△BCE(SAS)．
(2)∠AFD＝∠EBC.
【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AF.
∴∠CDF＝∠AFD.
由(1)知△DCE≌△BCE，∴∠CDF＝∠EBC.
∴∠AFD＝∠EBC.
5 如图，已知 ABCD，O为BD的中点，点E在边AD上，连接EO并延长交BC于点F，连接BE，DF.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
应用 3 利用菱形的性质求线段长
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠ODE＝∠OBF，∠OED＝∠OFB.
∵O为BD的中点，∴OD＝OB.
∴△ODE≌△OBF(AAS)．∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．
【解】如图，过点B作BM⊥AD交DA的延长线于点M，
则∠M＝90°.
6 [2022·滨州]如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F.
应用 4 利用菱形的性质求面积
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求证：AE＝EF.
【证明】连接EC.
∵四边形ABCD是菱形，点E在对角线BD上，∠ABC＝60°，∴EO垂直平分线段AC，∠BCD＝120°.
∴EA＝EC，∠DCA＝60°.
∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°.
∵∠AEF＝120°，
∴∠EAC＋∠EFC＝360°－∠AEF－∠ACF＝360°－120°－120°＝120°.
又∵∠ACF＝∠ECA＋∠ECF＝120°，∠EAC＝∠ECA，
∴∠EFC＝∠ECF.
∴EC＝EF.∴AE＝EF.(共28张PPT)
第16招
正方形的性质和判定的四种应用
冀教版 八年级下
应用 1 利用正方形的性质和判定解面积问题
分 类 训 练
1 [2023·湘潭]七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形、1个
正方形和1个平行四边形组成，则图
中阴影部分的面积为________dm2.
2
【点拨】
2 [2023·秦皇岛十中模拟]如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，对角线AC和BD相交于点O，且BO＝DO，过点B作BE∥AD，交AC于点E，连接DE.
(1)求证：△AOD≌△EOB；
(2)判断四边形ABED的形状，并说明理由；
【解】四边形ABED是矩形．理由如下：
∵△AOD≌△EOB，∴BE＝AD.
∵BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形．
∵∠BAD＝90°，∴四边形ABED是矩形．
(3)若BC＝DC，BC＝5，CE＝1，求四边形ABED的面积．
【解】∵BC＝CD且BO＝DO，
∴CO⊥BD，即∠BOC＝90°.
∴四边形ABED是正方形．∴BO＝EO.
设BO＝EO＝x，则OC＝x＋1，
在Rt△BOC中，由勾股定理得BO2＋CO2＝BC2，
3 在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.
应用 2 利用正方形的性质解决线段的和差倍分问题
(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
【解】仍有BM＋DN＝MN成立．证明如下：
过点A作AE⊥AN，交CB的延长线于点E,
易证△ABE≌△ADN，∴DN＝BE，AE＝AN.
∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝90°－∠MAN＝45°.
∴∠EAM＝∠NAM.
又∵AM＝AM，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.
∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴BM＋DN＝MN .
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
【解】猜想：DN－BM＝MN.理由如下： 如图，在DN上截取DE＝BM，连接AE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD.
又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.
∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.
∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°.
∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.
又∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.
∴MN＝EN.
∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN.
∴DN－BM＝MN.
4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.
应用 3 利用正方形的性质和判定探究形成正方形的条件
(1)求证：CE＝AD.
【证明】∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE＝AD.
(2)当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明理由．
【解】四边形BECD是菱形．
理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.
∵CE＝AD，∴BD＝CE.
又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.
∴四边形BECD是菱形．
(3)若点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．
【解】当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.
∴AC＝BC.∵点D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.由(2)知，四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形．即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
5 问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．
应用 4 正方形的性质和判定的综合运用
特例感知：
(1)当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①，针对小红发现的结论，请给出证明．
【解】如图①.延长FG，交AC于H.
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴BC＝CD，FG＝BG，CD∥AE，FG∥AE，
∠ACB＝45°，∠CGH＝90°.∴∠CHG＝
45°，CD∥FG. ∴∠ACB＝∠CHG，
∠CDP＝∠HFP，∠DCP＝∠FHP. ∴CG＝GH.∴CG＋BG＝GH＋FG. ∴BC＝FH.∴CD＝FH.∴△CDP≌△HFP (ASA)．∴DP＝FP.∴点P是DF的中点．
(2)小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由．
【解】△APE是等腰直角三角形，理由
如下：如图②，延长EP，交AD的延长
线于点M，设DF和EG的延长线交于点Q，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠BEG＝45°，AD＝AB，
BE＝EF，AD∥BC∥EF，∠BAC＝45°.
∴∠M＝45°，∠M＝∠GEF，∠MDQ＝∠EFQ.
∴∠M＝∠BEG.∴AM＝AE.
∴AM－AD＝AE－AB.∴DM＝BE.
∴DM＝EF.∴△DQM≌△FQE(ASA)．∴DQ＝FQ.
∴点Q和点P重合，即EG的延长线与DF的交点恰好也是DF中点P.
∵∠BAC＝45°，∠BEG＝45°，
∴∠APE＝90°，AP＝EP. ∴△APE是等腰直角三角形．
规律探究：
(3)如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由．
【解】△APE的形状不发生改变，仍然是
等腰直角三角形．理由如下：如图③，
延长EP至Q，使PQ＝PE，连接DQ，AQ，
延长DA和FE，交于点N，
又∵DP＝PF，∠DPQ＝∠EPF，
∴△PDQ≌△PFE(SAS)．
∴DQ＝EF，∠PQD＝∠PEF.∴DQ∥EF.
∴∠N＋∠ADQ＝180°.
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAN＝∠DAB＝90°，∠BEN＝∠BEF＝90°， AB＝AD，BE＝EF.
∴∠N＋∠ABE＝360°－∠BAN－∠BEN＝360°－90°－90°＝180°，DQ＝BE.∴∠ABE＝∠ADQ.
∴△ADQ≌△ABE(SAS)．∴AE＝AQ，∠DAQ＝∠BAE.
∴∠BAE＋∠BAQ＝∠DAQ＋∠BAQ＝∠BAD＝90°.
∴∠QAE＝90°.(共28张PPT)
第17招
特殊四边形的性质在动点问题中的巧用
冀教版 八年级下
例
典 例 剖 析
如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACH的平分线于点F，连接AE，AF.
【解题秘方】
求点O运动到何处时四边形AECF是矩形，可以先把矩形当作已知条件，求出O点与AC的位置关系，然后添加条件，经过说理，证明四边形AECF是矩形．这是条件探索题的一般思路．
(1)证明：EO＝FO.
证明：∵MN∥BC，
∴∠CEO＝∠ECB，∠CFO＝∠FCH.
∵CE，CF分别是∠BCA，∠ACH的平分线，
∴∠ECO＝∠ECB，∠FCO＝∠FCH.
∴∠CEO＝∠ECO，∠CFO＝∠FCO.
∴EO＝OC，FO＝OC. ∴EO＝FO.
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明理由．
解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由如下：由(1)知OE＝OF.
∵点O是AC的中点，∴AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵OE＝OC，∴AC＝EF.∴四边形AECF是矩形．
技巧 1 巧用平行四边形的性质解动点问题
分 类 训 练
1 如图，在 ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合，且E点在F点的左侧)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样
的数量关系和位置关系，并说明
理由．
【解】AE＝CF，AE∥CF.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，
∴∠AED＝∠CFB. ∴AE∥CF.
【点方法】
证△ABE≌△CDF得到AE＝CF，即得到数量关系，证∠AED＝∠CFB得到AE∥CF，即得到位置关系．
2 已知等边三角形ABC的边长为12，D为射线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF＝60°，连接BF.
(1)如图，当点D在BC边上时，求证：
△ACD≌△ABF；
技巧 2 巧用菱形的性质解动点问题
(2)在点D移动的过程中，当BF＝3时，求BD的长度．
【解】∵等边三角形ABC的边长为12，
∴BC＝12.∵△ACD≌△ABF，∴CD＝BF＝3.
当点D在线段BC上时，
此时BD＝BC－CD＝12－3＝9；
当点D在线段BC的延长线上时，
此时BD＝BC＋CD＝12＋3＝15.
综上所述，BD的长度为9或15.
3 如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形
OCFD边上的动点，则PG的最小
值是( )
技巧 3 巧用矩形的性质解动点问题
【点拨】
【答案】A
先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值，过D点作DM⊥AC于点M，过G点作GP⊥AC于点P，则GP∥MD，利用平行四边形的面积求DM的长，再利用三角形的中位线定理可求PG的长，进而可求解．
4 如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.连接AF，CE.
(1)试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．
【解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC.
∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO.
∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.
∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．∴AF＝CF.
设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm.
在Rt△ABF中，AB＝4 cm，
由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴AF＝5 cm.
(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【解】显然当P点在AF上，Q点在CD上时，以A，C，P，Q四点为顶点不可能构成平行四边形；同理当P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，连接AP，CQ.若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC＝QA.
【点方法】
本题考查了矩形的性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质，是一道综合性较强的题目．注意建立方程求解．
5 在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E在对角线AC上，连接EB，点F在直线AD上(点F与点D不重合)，且EF＝EB.
技巧 4 巧用正方形的性质解动点问题
(1)如图(a)，当点E在线段AO上(不与端点重合)时，
①求证：∠F＝∠ABE；
【证明】如图(a)，连接DE.∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°.
∵点E在对角线AC上，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°.
又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)．
∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE.
∵EF＝BE，∴DE＝EF.∴∠F＝∠ADE.∴∠F＝∠ABE.
②用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明．
(2)如图(b)，当点E在线段OC上(不与端点重合)时，补全图形，并直接写出线段AB，AE，AF的数量关系．
【点拨】
如图(c)，过点E作MN⊥AD于点N，交BC于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝
AD，∠DAC＝45°.(共36张PPT)
第18招
特殊平行四边形的性质和判定的综合应用
冀教版 八年级下
例
典 例 剖 析
如图，正方形ABCD的边长为6.菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.
【解题秘方】
特殊平行四边形的性质和判定的综合应用，就是从四边形边、角、对角线的特征进行判断和应用．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC的延长线于M，连接GE，构造全等三角形．
(1)当DG＝2时，求证：菱形EFGH为正方形；
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.
∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝EH.
∵DG＝AH＝2，∴Rt△DGH≌Rt△AHE.
∴∠DHG＝∠AEH.
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°.
∴∠GHE＝90°.∴菱形EFGH为正方形．
(2)设DG＝x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．
解：过F作FM⊥DC，交DC的延长线于M，连接GE，
如图所示，则∠M＝90°.
∵CD∥AB，
∴∠AEG＝∠MGE.
∵GF∥HE，∴∠HEG＝∠FGE.
∴∠AEH＝∠FGM.
类型 1 利用矩形的性质和判定巧求折叠中线段的长
分 类 训 练
1 如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A、点B落在点M处，点C、点D落在点N处，
恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形
EFGH.若EH＝3 cm，EF＝4 cm，
求AD的长．
【点方法】
此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN＝MF，进而证明HD＝MF，从而将AD转化为直角三角形EFH的斜边HF，进而得解，体现了转化思想．
2 折纸是我国传统的民间艺术，精美的折纸背后离不开数学原理，这吸引了无数数学教育工作者以折痕为研究对象，关注折法和折叠过程中所得平面图形的性质．如图，矩形纸片ABCD中，AB>AD.
类型 2 特殊平行四边形中的操作型问题
(1)折叠矩形纸片ABCD，使点C落在线段AB上，折痕为BM.若AB＝2AD，直接写出点M的位置．
【解】点M在CD的中点位置.
【点拨】
折叠矩形纸片ABCD，使点C落在线段AB上，折痕为BM.如图，由折叠的性质知，CB＝C′B，CM＝C′M.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AB＝DC.
∵AB＝2AD，∴AB＝2BC＝2BC′.
∴AC′＝BC′.
∴点C′为AB的中点．
(2)现要折出30°角，小明采用下面的方法．
步骤一：对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
步骤二：再一次折叠纸片，________________________
____________________________．
请在横线上将步骤二补充完整，并证明所折出的角为30°.
使点C落在线段EF上，
折痕为BM，则∠CBM＝30°
证明如下：如图，BM与EF交于点P，连接CP.
∵对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，
∴EF∥AB∥DC，点E，F分别是AD，BC的中点．
∴PF∥CM.
∴点P为BM的中点，即BP＝PM.
∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCM＝90°，
∠ABC＝90°. ∴PC＝PB＝PM.
3 [2023·永州]如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5.
类型 3 特殊平行四边形中的探究型问题
(1)△AOB是直角三角形吗？请说明理由．
(2)求证：四边形ABCD是菱形．
【证明】由(1)可知，∠AOB＝90°.
∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形．
4 如图，在正方形ABCD中，G是BC边上任意一点(不与B，C重合)，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.
(1)求证：AF－BF＝EF.
【证明】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAF＋∠DAE＝90°.
∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEG＝90°.
∴∠DAE＋∠ADE＝90°.∴∠ADE＝∠BAF.
又∵BF∥DE，∴∠BFA＝∠DEG＝90°＝∠AED.
∴△ABF≌△DAE(AAS)．∴AF＝DE，AE＝BF.
∴AF－BF＝AF－AE＝EF.
(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形？如果可能，请指出此时点G的位置；如果不可能，请说明理由．
【解】不可能．理由如下：如图，
连接AC，若要使四边形BFDE是
平行四边形，已知DE∥BF，则
当DE＝BF时，四边形BFDE为
平行四边形．
由(1)可知DE＝AF，∴BF＝AF，此时∠BAF＝45°.
又易知∠BAC＝45°，
∴点G与点C重合．
与题中点G不与点C重合矛盾，
∴四边形BFDE不可能是平行四边形．
5 阅读材料，然后回答问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF为△ABC的
“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角
形时，其“友好矩形”只有一个．
类型 4 特殊平行四边形中的阅读理解型问题
(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
【解】如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
(2)如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
【解】如图①，共有两个“友好矩形”，
分别为矩形BCAD，矩形ABEF.
易知，矩形BCAD，矩形ABEF的面积都
等于△ABC面积的2倍，
∴△ABC的两个“友好矩形”的面积相等．
(3)若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．
【解】如图②，共有3个“友好矩形”，分别为矩形BCDE，矩形CAFG和矩形ABHK，其中矩形ABHK的周长最小．
证明如下：
易知这三个矩形面积相等，
设它们的面积为S.
【点方法】
理解该题中的新定义．能根据新定义正确画出符合要求的图形，掌握三角形和矩形的面积公式，能够运用作差法比较大小．
6 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝5，OC＝4.在AB上取一点D，沿CD折叠，点B恰好落在AO上的点E处．
(1)点B的坐标为________．
(5，4)
类型 5 特殊平行四边形中的存在性问题
【点拨】
∵BC＝OA＝5，BA＝OC＝4，
∴点B的坐标为(5，4)．
(2)求点D的坐标．
(3)若点P是平面内一点，是否存在点P，使得以C，E，A，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】存在点P，使得以C，E，A，P为顶点的四边形是
平行四边形．点P的坐标为(2，4)，(－2，4)，(8，－4)．(共26张PPT)
第19招
建模思想应用的常见类型归类
冀教版 八年级下
例
典 例 剖 析
【解题秘方】
建模思想就是把实际问题转化为数学问题．其关键是要清楚它是什么数学问题，再用这种数学问题来解实际问题．
类型 1 建立方程模型求线段长
分 类 训 练
1 [2023·滨州]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为________．
【点拨】
2 将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图所示方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG.
类型 2 建立方程模型求几何图形面积
(1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
∴△DAB≌△DEB(SAS)．∴∠ABD＝∠EBD.
∵AB∥CD，DF∥BE，
∴四边形DHBG是平行四边形，∠HDB＝∠EBD.
∴∠HDB＝∠HBD.∴DH＝BH.∴ DHBG是菱形．
(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形DHBG的面积．
【解】设DH＝BH＝x，则AH＝8－x，
在Rt△ADH中，AD2＋AH2＝DH2，
即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即BH＝5.
∴菱形DHBG的面积为BH·AD＝5×4＝20.
【点方法】
建立方程模型，将DH，HB的长设为x，由勾股定理列方程求得HB的长，进而再求面积．
类型 3 建立函数模型解图像信息的应用
巡逻车、货车离A地的距离y(千米)与货车出发时间x(小时)之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题：
(1)A，B两地之间的距离是________千米，a＝________．
60
1
(2)求线段FG的函数表达式．
(3)货车出发多少小时两车相距15千米？(直接写出答案即可)
【点拨】
4 在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
类型 4 建立特殊四边形的模型探寻条件
小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.
结合小敏的思路作答：
(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由．
参考小敏思考问题的方法，解决下列问题：
(2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.
ⅰ.当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？写出结论并证明．
ⅱ.当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？直接写出结论．
【解】当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
【点拨】
由(1)可知EF∥AC，且四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴EF⊥BD.
∵G，F分别是CD，BC的中点，∴FG∥BD.
∴EF⊥FG，即∠EFG＝90°.∴ EFGH是矩形.
