2023-2024学年苏科版七年级数学下册第9章《整式乘法与因式分解》单元综合测试卷（含解析）

2023-2024学年七年级数学下册单元综合测试卷
第9章《整式乘法与因式分解》
考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．计算-5a2.a3的结果是（ ）
A．-4a5 B．-4a6 C．-5a5 D．-5a6
2．下列各式不能用平方差公式直接计算的是（ ）
A．（-x+y）（x-y）B．（x-y）（-x-y）C．（x+2）（x-2）D．（-2x-y）（2x-y）
3．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若等式成立，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若长方形的一边长为，另一边比它长，则这个长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．若，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．分解因式：．
8．多项式与的公因式是．
9．，则．
10．已知，计算的值为．
11．定义一种新运算：，则．
12．若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为．
13．若要使成为一个两数差的完全平方式，则m的值应为．
14．如果单项式与的差是一个单项式，则这两个单项式的积是．
15．如图，某小区要在长方形操场上铺设塑胶地垫（地垫无缝拼接，不可剪裁），现有正方形地垫A，B和长方形地垫C若干张已知操场长、宽分别为和，则需要用到B地垫的张数为张．
16．现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取时，则各个因式的值是：，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取时，请你写出用上述方法产生的密码．
三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．分解因式：
（1）；（2）．
18．计算：
（1）；（2）．
19．19．先化简，再求值：，其中．
20．计算（用简便方法）：
（1）；（2）．
21．小轩计算时，将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果是．
（1）求的值；
（2）请计算出这道题的正确结果．
22．某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部分计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像．

（1）请用含，的代数式表示绿化面积；
（2）当，时，求绿化面积．
23．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得：，则，
∴，解得：，．
∴另一个因式为，m的值为－21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）二次三项式有一个因式是，求p的值；
（2）已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；
（3）已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值．
24．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法分解因式：；
（2）用十字相乘法分解因式：；
（3）结合本题知识，分解因式：．
25．小明同学在学习多项式乘以多项式时发现：的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：，即一次项为．认真领会小明同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算所得多项式的一次项系数为________．
（2）所得多项式的二次项系数为________．
（3）若计算所得多项式的一次项系数为0，则_________．
（4）若，则________．
26．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
即：．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）因式分解：；
（2）已知，，是的三边长，且满足，求的最长边的取值范围；
（3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
27．观察以下各等式，并完成问题．
；①；
；②；
；……
（1）请根据观察结果，写出空格中相应的式子：①______，②______；
（2）小明发现当时，形如，，的二次多项式的值都为0，他把这样的式子叫作“二次原点式”，并记为．（其中m为常数，且）请写出“二次原点式”的一个性质：；
（3）在（2）的条件下，小明还发现当与时，的值相等，其他二次原点式也有类似结论．他把能使二次原点式的值相等的两个数a与b（）叫作该二次原点式的一组“和谐数对”．如1与是的一组“和谐数对”．请探究a，b与m的关系，并证明你的结论。
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．C
【分析】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．根据运算法则计算即可．
【详解】解：-5a2.a3=-5a5．故选C．
2．A
【分析】本题考查了平方差公式．熟练掌握（a+b）（a-b）=a2-b2是解题的关键。
根据平方差公式的形式进行判断作答即可。
【详解】解：A中，不能用平方差公式直接计算，故符合要求；
B中，能用平方差公式直接计算，故不符合要求；
C中，能用平方差公式直接计算，故不符合要求；
D中，能用平方差公式直接计算，故不符合要求；
故选：A．
3．D
【分析】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．利用因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A、，从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意
D、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
4．C
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，将等式左侧运算，利用对应项的系数相同即可求出的值，正确使用多项式的乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，
∵，
∴，
故选：．
5．A
【分析】本题考查了整式乘法的运用，熟练掌握长方形的面积公式以及整式乘法的运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得，长方形的另一边长为：，
所以长方形的面积为：
，故A正确．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查有理数的大小比较，平方差公式，积的乘方，零指数幂，将各数进行计算求得正确的结果是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
，故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解；
，
故答案为：．
8．
【分析】把每个多项式先因式分解，然后选出公有的因式即可．
【详解】解：，
，
多项式与的公因式是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，公因式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键．
9．
【解析】略
10．
【分析】本题考查了多项式乘以多项式运算和整体代入求值，解题的关键是求出．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
11．/
【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，根据，可以将所求式子变形，然后化简即可，解题的关键是明确题意，利用新定义解答．
【详解】解：∵，
∴
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．利用多项式乘多项式的法则化简后，使一次项的系数为0，进行求解即可．
【详解】解：∵
，
∵乘积不含一次项，
∴，
∴；
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握是解题的关键．
由题意知，，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
解得，，
故答案为：．
14．/
【分析】根据与的差是一个单项式，可得两者为同类项，进而得出两个单项式分别为，，进一步计算即可．
【详解】解：∵单项式与的差是一个单项式，
∴与是同类项，
∴两个单项式分别为，，
∴这两个单项式的积是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了合并同类项，单项式的乘法，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
15．48
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，解答本题的关键在于熟练掌握多项式乘以多项式运算法则，用边长表示出操场的面积即可求解．
【详解】解：操场长和宽分别为和，
∴操场的面积为，
∴需要96张A型地垫，48张B型地垫，136张C型地垫，
即，需要用到B型地垫的张数为48张．
故答案为：48．
16．
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，正确进行因式分解是解题的关键．
把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可解答．
【详解】解：，
当时，，
所以把它们从小到大排列得到．
用上述方法产生的密码是：．
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）；（2）
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．
（1）用平方差公式分解即可；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解．
【详解】（1）
（2）
18．（1）；（2）
【分析】本题考查了整式混合运算的计算法则以及平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式．
（1）利用平方差公式和整式乘法得运算法则，即可求解；
（2）根据平方差公式和完全平方公式，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）
19．，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式，单项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再推出，即可利用整体代入法求出答案．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴原式
20．（1）1；（2）20000
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式的逆运用：
（1）先整理为平方差公式，得，再化简，即可作答．
（2）先提取公因数2，得，再运用完全平方公式的逆运用，进行化简计算，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．（1）；（2）
【详解】解：（1）因为，
所以，
所以，，解得．
（2）由（1），得．
22．（1）；（2）
【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，列代数式，代数式求值；
（1）根据阴影部分面积等于大长方形的面积减去小正方形的面积即可求解；
（2）将字母的值代入，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
；
（2）解：当，时，．
23．（1）p的值为6；（2）另一个因式是，；（3）
【分析】本题主要考查了整式的乘法；
（1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可；
（2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可；
（3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可．
【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为，
则，
即，
∴，
解得，
答：p的值为6；
（2）设关于x的多项式的另一个因式是，
则，
即，
∴，
解得，
∴关于x的多项式的另一个因式是，；
（3）设关于x的多项式的另一个因式为，
则，
即，
∴，
∴，
即．
24．（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
25．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】考查了规律型：数字的变化类，本题重点掌握多项式乘多项式的法则，掌握积的特点是解本题的关键．我们可知多项式乘多项式就是把一个多项式每一项去乘另一个多项式，在把所得积相加，根据题干提示，我们可以根据题目要求可以选择性求出一次项和二次项以及多项的系数．
（1）中求一次项系数，含有一次项的有，这三个中依次选出其中一个在与另外两项中的常数相乘最终积相加即可或者展开所有的式子得出一次项系数．
（2）中求二次项系数，含有未知数的为：、、，选出其中两个在与另一个括号的常数相乘，最后所得的积相加或者展开所有的式子得出一次项系数；
（3）先根据（1）所求方法求出一次项系数，最后用表示，列出等式，求出；
（4）根据前三问的规律可以计算出第四问的值．
【详解】（1）解：由题意得：
一次项系数为：；
（2）由题干材料知：
二次项系数为：；
（3）一次项系数为：
解得；
（4）通过题干以及前三问知：故答案为：．
26．（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查因式分解应用，三角形三边关系，平方得非负性．
（1）根据题意进行求解即可；
（2）利用完全平方公式将所给式子变形，再根据三角形三边关系即可求解；
（3）将式子变形利用平方非负性即可计算出，，三边长，再计算周长即可．
【详解】（1）解：根据题意列式：
∴，
即：；
（2）解：∵，∴，即：，
∴，
∵，，是的三边长，∴，即：，
∵是的最长边，∴；
（3）解：∵，
∴，
即：，
∴，
∴的周长为：．
27．（1），
（2）最小值为
（3），理由见解析
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了完全平方公式以及因式分解的相关知识点，掌握公式的形式以及因式分解的各种方法是解题关键．
（1）将各式配凑成完全平方即可求解；
（2）结合（1）可得，即可得出答案；
（3）根据二次原点式“和谐数对”的定义可知，移项进行因式分解即可求解．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：有（1）可得：，
∴“二次原点式”有最小值，
故答案为：最小值为；
（3）解：，理由如下：
∵a与b是二次原点式的一组“和谐数对”，∴，
即：，
∵，∴，
即：．