湘教版八下第一章 直角三角形单元测试卷（含解析）

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湘教版八下第一章直角三角形单元测试卷
时间100分钟 满分120分
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．、2、 C．3、4、5 D．5、6、7
2．如图，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，那么可以直接判定△ADC≌△ABC的定理是（ ）
A．AAS B．SAS C．SSS D．HL
3．直角三角形的两边长分别为3和5，则另一边长为（ ）
A．4 B． C．4或 D．4或
4．图是甲、乙、丙三位同学在内作的尺规作图痕迹，则其中一定能得到的是（ ）

A．只有甲 B．只有甲和乙 C．只有乙 D．甲、乙、丙都可以
5．以三角形的三边为边分别向外作正方形，正方形的面积分别是5，3，8，则此三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
6．下列线段不能组成直角三角形的是( )．
A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a=1，b=，c=
C．a=，b=1，c= D．a=2，b=3，c=
7．如图，于，于，若，，则下列结论：①；②平分；③中，正确的是（　　）
A．①③ B．①②③ C．①② D．②③
8．如图所示，，为平分线上一点，交于点，于点，若，则的长为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
9．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，交BC于点D，，则BC的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
11．如图，直线，交于点O，射线平分，若，则等于 （ ）

A． B． C． D．
12．如图，在中，，，D为边上一动点，连接．以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，点F是边上的定点，连接，当取最小值时，若，则为（ ）（用含的式子表示）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，已知PC＝5，则点P到OA的距离是 .
14．已知点，，，则点与点之间的距离为 ．
15．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线4D交BC于点D．BC＝9，BD＝6，点E在AB上，连接DE．则DE的最小值为 ．
16．直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，AD是∠BAC的角平分线，则BD= ．
17．若，则由，，组成的三角形是 三角形．
18．如图，在平行四边形中，，，则与之间的距离为 ．
19．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是 ．
20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若△ABC的面积为15，DE＝3，AB＝6，则AC的长是
三、解答题（共60分）
21．（8分）如图，已知，， ，求证：．
22．（8分）如图，于点，于点，．是上一点，于点，于点．求证：．
23．（8分）如图所示，ΔABC为等边三角形，O是∠B、∠C两角平分线的交点， EO⊥BO，FO⊥CO，求证：ΔAEF的周长等于边BC的长.
24．（8分）已知的三边长分别为，求证：是直角三角形．
25．（8分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．
26．（10分）如图，△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD平分线上一点，EB=EC过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．
（1）请你在不添加辅助线的情况下找出一对你认为全等的三角形，并加以证明；
（2）若AB=3，AC=5，求AF的长．
27．（10分）在平面直角坐标系中，已知，，且，满足．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)如图，点D为x轴正半轴上一动点，点F为线段上一动点，，，判断、、三者的数量关系，并予以证明；
(3)以为腰，为顶角顶点作等腰，若，求的长．
第一章直角三角形单元测试卷参考答案
1．C[提示：A.22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B. ，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
C.32+42＝52，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
D.52+62≠72，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选C．]
2．D[提示：∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，
∴∠CDA=∠CBA=90°，
在直角△CDA与直角△CBA中，
∴（HL）
故选：D．]
3．C[提示：当长度为5的边为直角边时，则第三边；
当长度为5的边为斜边时，则第三边．
故第三边长为：或4．
故选：C．]
4．B[提示：甲图是角平分线的尺规作图的方法，可以得出；
乙图是先通过尺规取相同的弧，得到对应线段相等，再通过作平行线以及平行线的性质可以推出；
丙图画的是中线，不是角平分线，不能推出.
甲和乙可以推出.
故选：B.]
5．B[提示：解：如图，

∵，，，
而，
∴，
∴是直角三角形．
故选：B．]
6．D[提示：A、∵62＋82＝102，∴能组成直角三角形，故本选项错误；
B、∵12＋（）2＝（）2，∴能组成直角三角形，故本选项错误；
C、∵（）2＋12＝（）2，∴能组成直角三角形，故本选项错误；
D、∵22＋（）2≠32，∴不能组成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．]
7．C[提示：∵于，于，
∴
∵，，
∴
∴，故①正确；
∴平分，故②正确；
在中，，故③错误；
故选：C．]
8．D[提示：如图，作于点，

是∠AOB平分线上一点，，，，
，，
，
，
，则
，
，
，，
，
，则
故选：D．]
9．D[提示：八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．]
10．B[提示：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°，又∠B=30°，
∴BD=2AD=6，
∵∠BAC=120°，∠DAC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴CD=AD=3，
∴BC=BD+CD=9，
故选 B．]
11．D[提示；∵，
又∵平分，
∴，
∴，
故选：D．]
12．D[提示：如图，取的中点H，连接，交于，作直线，交于，
∵，，
∴，，，
∵等腰直角三角形，，
∴，
设，
取的中点，连接，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在直线上运动，且，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，，
当，，三点共线时，
，此时最短，
∵，
∴，
∴，
故选D．]
13．5[提示：过P作PD⊥OA于D，如图，
即点P到OA的距离为DP的长度，
∵OP平分∠AOB，
∴OP为的角平分线，
又∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，PC=5，
∴DP=PC=5，
故答案为：5．]
14．[提示：AC10，
故答案为：10．]
15．3[提示：根据点到直线上的距离垂线段最短，当时，最小，
∠BAC的平分线AD交BC于点D
当时，
的最小值为3
故答案为：]
16．[提示：∵直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=
作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴CD=DE，AE=AC=8
∴BE=2
设BD=x，得到DE=6-x，
在Rt△BDE中BD2=DE2+BE2
即x2=（6-x）2+22
解得x=．
故答案为：．]
17．直角[提示：根据题意得，，，，
解得，，，
，
此三角形是直角三角形 ．
故答案为： 直角三角形 ．]
18．[提示：作，
则，
又∵，
，
，
，
，
，
，
∴与之间的距离为，
故答案为：．]
19．42[提示：如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝4，
∵的周长是21，OD⊥BC于D，且OD＝4，
∴
＝42，
故答案为：42．]
20．4[提示；过点D作DF⊥AC
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC， DE⊥AB，
∴DE=DF,
又三角形的面积的,
即,
解得AC=4]
21．证明： ，，，
在与中有：
，
22．证明：∵，，，
∴是的平分线，
∵，，
∴．
23．证明：设OE=a，因为△ABC是等边三角形，且OB，OC平分∠ABC、∠ACB，所以BE=CF=2a，
由勾股定理得：OB=a，又因为EO⊥BO，FO⊥CO，所以∠EOF=60°，
所以△EOF为等边三角形，
∴∠OEF=∠OFE=∠EOF=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∴三角形AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF=a，所以EF=OE=a，BC=3a，AE+AF+EF=AB-BE+AC-CF+EF=3a-2a+3a-2a+a=3a=BC．
即△AEF的周长等于BC的长．
24．证明：
，
以为三边的是直角三角形．
25．（1）证明：∵DF＝EF
∴点F为DE的中点
又∵CF⊥DE
∴CF为DE的中垂线
∴CD＝CE
又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
CD是斜边AB上的中线
∴CD＝=AD
∴AD＝CE
（2）解：由（1）得CD＝CE==5
∴AB=10
∴在Rt△ABC中，BC==8
∴EB=EC+BC=13
∴ ．
26．（1）△EGA≌△EFA（或△EGB≌△EFC）．
证明：∵AE平分∠CAD，
∴∠EAG=∠EAF．
又∵EF⊥AC，EG⊥AD，
∴∠EGA=∠EFA=90°．
在△AEG和△EFA中：
∠EAG=∠EAF，∠EGA=∠EFA，AE=AE，
∴△EGA≌△EFA（AAS）．
（2）∵AE平分∠CAD且EF⊥AC，EG⊥AD，
∴EG=EF，∠EGB=∠EFC=90°．
在Rt△EGB和Rt△EFC中
．
∴Rt△EGB≌Rt△EFC（HL）．
∴BG=CF．
又∵BG=AB+AG，CF=AC-AF，
即AB+AG=AC-AF，
又∵△EGA≌△EFA，
∴AG=AF．
∴2AF=AC-AB=5-3=2．
∴AF=1．
27．（1）解：，
，
，，
，，
，，
，；
（2）解：结论：，理由如下：
如图，过点作平分交于，在上取使，连接．
设，则，
，
平分，
，
，
又，，
，
，
，，
∴，
，
；
（3）解：如图2中：当在内部，且，时，过点作于，于．设．在上取一点，连接使得．
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
此时；
②当在的延长线上时，连接，可得，
，
都是等边三角形，
．
③当在上方时，同法可得，，
综上所述，的值为或2或．
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