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21.2.2公式法解一元二次方程同步练习
1、选择题
1.下列关于x的方程有实数根的是( )
A.x2-x+1=0 B.x2+x+1=0 C.(x-1)(x+2)=0 D.(x-1)2+1=0
2.一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
3.一元二次方程x2-2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是( )
A.m＞1 B.m=1 C.m＜1 D.m≤1
4.方程x2+x-1=0的一个根是( )
A.1- B. C.-1+ D.
5.已知α是一元二次方程x2-x-1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是( )
A.0＜α＜1 B.1＜α＜1.5 C.1.5＜α＜2 D.2＜α＜3[来源:
6.(泰州中考)下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )
A.x2-3x+1=0 B.x2+1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2+2x+3=0
7.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有不相等实数根，则k的取值范围是( )
A.k＞ B.k≥ C.k＞且k≠1 D.k≥且k≠1
2、填空题
8.已知x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根，则______.
9.(北海中考)若一元二次方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为______.[来源:21世纪教育网]21教育网21教育网
10.关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，则a满足的条件是______
11.(贺州中考)已知关于x的方程x2+(1-m)x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是______.21·cn·jy·com21·cn·jy·com
三、解答题
12.不解方程，判定下列一元二次方程根的情况：
(1)9x2+6x+1=0； (2)3(x2-1)-5x=0.
13.用公式法解下列方程：
(1)2x2-3x+1=0； (2)1-x=3x2； (3)2x2-3x-1=0； (4)4x2-4x-1=0.
来源:21世纪教育网]
14.用公式法解一元二次方程：
(1)x2+4x-1=0； (2)x2+2x=0； (3)x2+10=2x； (4)x(x-4)=2-8x.21cnjy.com21世纪教育网版权所有
15.(汕尾中考)已知关于x的方程x2+ax+a-2=0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
16.(北京中考)已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值.
参考答案
一、选择题
( http: / / www.21cnjy.com )
二、填空题
8.a=1或-2.
9.9. 10.a≥1. 11.0
三、解答题
12.(1)∵a=9，b=6，c=1，∴Δ=b2-4ac=36-36=0.
∴此方程有两个相等的实数根；
(2)化为一般形式为：3x2-5x-3=0.
∵a=3，b=-5，c=-3，
∴Δ=(-5)2-4×3×(-3)=25+36=61＞0.
∴此方程有两个不相等的实数根.
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)x=， x1=，x2=.
(4)x=， x1=，x2=.
14.(1)x=, x1=-2+，x2=-2-;
(2)x=; x1=0,x2=-2；
(3)x2-2x+10=0, ∵Δ=(-2)2-4×1×10=-20<0，∴此方程无实数解；21世纪教育网版权所有21cnjy.com
(4)x2+4x-2=0,x=,x1=-2+,x2=-2-.
15.(1)∵1为原方程的一个根，∴1+a+a-2=0.
∴a=.代入方程得：x2+x-=0.
解得x1=1,x2=-，
∴a的值为，方程的另一个根为-.
(2)证明：在x2+ax+a-2=0中，21世纪教育网
Δ=a2-4a+8=(a-2)2+4>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
16.(1)∵a=m，b=-(m+2)，c=2，
∴Δ=b2-4ac=(m+2)2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=(m-2)2≥0.
∴方程总有两个实数根.
( http: / / www.21cnjy.com )又∵m是正整数，∴m=1或2.
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21.2.2解一元二次方程——公式法 人教九上
一、三维目标 学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程 ( http: / / www.21cnjy.com )，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程；
2.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．教学重点：公式的推导和公式法的应用教学难点：一元二次方程求根公式法的推导
二、预习导航 1．什么是配方法 配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方法：通过配方，先把方程的左边配 ( http: / / www.21cnjy.com )成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移常数项到方程右边；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）化方程左边为完全平方式；（5）若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根．2．怎样用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程？解：移项，得二次项系数化为1，得配方，得即：，因为所以当；当3．用公式法解一元二次方程的思路应是(1)将方程化成 ；(2)写出相应a，b，c的值，并计算Δ的值；(3)当Δ 时，可直接套用公式得出方程的解．4．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：(1)当 时，有两个不相等的实数根；(2)当 时，有两个相等的实数根；(3)当 时，没有实数根．
三、新知讲解 一元二次方程根的判别式叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．公式法解一元二次方程一般地，对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当时，它的两个根分别是，，这里，叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．公式法解一元二次方程的一般步骤把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)；确定a，b，c的值；求出的值，并判断方程根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．当时，将a，b，c和的值代入公式（注意符号）．
四、例题解析 1．根据根的判别式判断一元二次方程根的情况【例1】（2015 重庆）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根两个根都是自然数 D．无实数根总结：求根的判别式时，应该先将方程化为一般形式，正确找出a，b，c的值.根的判别式与一元二次方程根的情况的关系如下：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．练1．（2015 铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法不正确的是（ ）A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定练2．（2015 泰州）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值．2．根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围【例2】（2015 温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（ ）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4总结：已知方程根的情况求字母的值或取值范围时：先计算根的判别式；再根据方程根的情况列出关于根的判别式的等式或不等式求解；若二次项系数出现了字母，应注意“二次项系数不为0”．练3．（2015 凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠23．用公式法解一元二次方程【例3】用公式法解下列方程：（1）x2+2x﹣2=0；（2）y2﹣3y+1=0；（3）x2+3=2x．总结：公式法的实质是配方法，只不过省去了配方的过程，而直接利用了配方的结论；运用公式法求解一元二次方程要注意两个前提：（1）先将一元二次方程化为一般形式，即确定a，b，c的值；（2）必须保证b2-4ac≥0．练4．（2014 锦江区模拟）解方程：x（x﹣2）=3x+1．练5．当x是何值时，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？
五、目标检测 一、选择题1．（2015 云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=02．（2015 贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（ ）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（2015 烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（ ）A．9 B．10 C．9或10 D．8或104．（2015 株洲）有两个一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（ ）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=15．（2013 日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（ ）A．﹣2＜x1＜﹣1 B．﹣3＜x1＜﹣2 C．2＜x1＜3 D．﹣1＜x1＜0二、填空题6．（2011秋 册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac= ，x1= ，x2= ．三、解答题7．（2014秋 通山县期中）用公式法解方程：2x2﹣4x=5．8．（2014秋 金溪县校级月考）解方程：2x2﹣2x﹣5=0．9．（2013春 石景山区期末）用公式法解方程：x（x）=4．10．（2015 梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．11．（2015 咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．12．（2015 昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．13．（2015 南充一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．（2）小华补充说，其中一个根与k无关．请你说说其中的道理．
参考答案
例题解析答案：
【例1】（2015 重庆）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数 D．无实数根
分析：判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．
解答：解：∵a=2，b=﹣5，c=3，
∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式， ( http: / / www.21cnjy.com )要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．21世纪教育网版权所有21世纪教育网版权所有
练1．（2015 铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法不正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
分析：先求出△的值，再判断出其符号即可．
解答：解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．21·cn·jy·com21·cn·jy·com
练2．（2015 泰州）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
分析：（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；
（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
解答：解：（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1，
∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；
（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+m2﹣1=0，
解得，m=﹣4或m=﹣2．
点评：此题考查了根的判别式 ( http: / / www.21cnjy.com )，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．www.21-cn-jy.com
【例2】（2015 温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（ ）2·1·c·n·j·ywww.21-cn-jy.com
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
分析：根据方程根的情况与判别式的关系知△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．
解答：解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，
∴△=42﹣4×4c=0，
∴c=1，
故选B．
点评：本题考查了一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
练3．（2015 凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）21·世纪*教育网2·1·c·n·j·y
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
分析：根据一元二次方程ax2+bx+c ( http: / / www.21cnjy.com )=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
解答：解：∵关于x的一元二次方程（m- ( http: / / www.21cnjy.com )2）x2+2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
故选：D．www-2-1-cnjy-com21·世纪*教育网
点评：本题考查了一元二次方程ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【例3】用公式法解下列方程：
（1）x2+2x﹣2=0；
（2）y2﹣3y+1=0；
（3）x2+3=2x．
分析：（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式x=求出即可；
（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式y=求出即可；
（3）求出b2﹣4ac的值是负数，即可得出原方程无解．
解答：解：（1）这里a=1，b=2，c=﹣2，
∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，
∴x==﹣1，
∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；
（2）这里a=1，b=﹣3，c=1．
∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，
∴?y=，
∴y1=，y2=；
（3）移项，得x2﹣2x+3=0，
这里a=1，b=﹣2，c=3．?
∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣4＜0．
∴原方程没有实数根．
点评：本题主要考查学生运用公式法正确解方程的能力，前提是先判断判别式的符号，再根据情况代入求根公式求解．【来源：21·世纪·教育·网】【来源：21·世纪·教育·网】
练4．（2014 锦江区模拟）解方程：x（x﹣2）=3x+1．
分析：整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
解答：解：x（x﹣2）=3x+1，
整理得：x2﹣5x﹣1=0，
b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）=29，
x=，
x1=，x2=．
点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能正确运用公式法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．
练5．当x是何值时，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？
分析：根据3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解．
解答：解：根据题意得：3x2+4x﹣8=2x2﹣1，
即x2+4x﹣7=0，
a=1，b=4，c=﹣7，
△=b2﹣4ac=16+28=44＞0，
则x==﹣2．
点评：本题考查了公式法解一元二次方程，注意公式运用的条件：判别式△≥0．
目标检测答案：
一、选择题
1．（2015 云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=0
解：A、∵△=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；
B、∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
C、∵△=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
D、∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
故选A．
2．（2015 贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（ ） 21*cnjy*comwww-2-1-cnjy-com
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，
∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，
∴a≤且a≠1，
∴整数a的最大值为0．
故选：B．
3．（2015 烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为21教育网21教育网
（ ）
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
解：∵三角形是等腰直角三角形，
∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，
①当a=2，或b=2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，
∴x=2，
把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，
解得：n=9，
当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n=9不合题意，
②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0
解得：n=10，
故选B．
4．（2015 株洲）有两个一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（ ）2-1-c-n-j-y2-1-c-n-j-y
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；21cnjy.com21cnjy.com
B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；【来源：21cnj*y.co*m】 21*cnjy*com
D、如果方程M和方程N有一个相同的根 ( http: / / www.21cnjy.com )，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；【出处：21教育名师】【来源：21cnj*y.co*m】
故选D．
5．（2013 日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（ ）21教育名师原创作品【出处：21教育名师】
A．﹣2＜x1＜﹣1 B．﹣3＜x1＜﹣2 C．2＜x1＜3 D．﹣1＜x1＜0
解：x2﹣x﹣3=0，
b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=13，
x=，
方程的最小值是，
∵3＜＜4，
∴﹣3＞﹣＞﹣4，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣1＞＞﹣
故选：A．
二、填空题
6．（2011秋 册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac= 41 ，x1= ，x2= ．【版权所有：21教育】【版权所有：21教育】
解：2x2﹣7x+1=0，
a=2，b=﹣7，c=1，
∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×1=41，
∴x==，
∴x1=，x2=，
故答案为：41，，．
三、解答题
7．（2014秋 通山县期中）用公式法解方程：2x2﹣4x=5．
解：原方程可化为：2x2﹣4x﹣5=0，
∵a=2，b=﹣4，c=﹣5，
∴b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）=56＞0，
∴x=\frac{4±\sqrt{56}}{4}=1±．
∴x1=1+，x2=1﹣．
8．（2014秋 金溪县校级月考）解方程：2x2﹣2x﹣5=0．
解：这里a=2，b=﹣2，c=﹣5，
∵△=8+40=48，
∴x==．
9．（2013春 石景山区期末）用公式法解方程：x（x）=4．
解：整理得：x2+2x﹣4=0，
△=b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（﹣4）=28，
x=，
x1=﹣+，x2=﹣﹣．
10．（2015 梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
11．（2015 咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
解：（1）△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解方程得，x=，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
12．（2015 昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．
解：（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=m2+2m+5=（m+1）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x1、x2是原方程的两根，
∴x1+x2=﹣m﹣3，x1x2=m+1，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=8，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，
∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）=8，
∴m1=1，m2=﹣3．
13．（2015 南充一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）
（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．
（2）小华补充说，其中一个根与k无关．
请你说说其中的道理．
解：（1）∵△=4（k﹣1）2﹣4k（k﹣2）=4＞0，
∴一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）总有两个不相等的实数根；
（2）当x=1时，k﹣2（k﹣1）+k﹣2=0，
即一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）有一根为1，
x=1是一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）的根，与k无关．
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21.2.2 公式法
21.2 解一元二次方程
教学目标： 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程； 2.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
教学重点：
求根公式的推导和公式法的应用
教学难点： 一元二次方程求根公式法的推导
解：
移项，得
配方
由此可得
1.利用配方法解一元二次方程
化：把原方程化成 x＋px＋q = 0 的形式.
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q.
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.
开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.
求解：解一元一次方程.
定解：写出原方程的解.
2.用配方法解一元二次方程的步骤
方程右边是非负数
x2＋px＋ ( )2 = －q＋ ( )2
( x+ )2 =－q＋ ( )2
2．用公式法解一元二次方程的思路应是
(1)将方程化成 ；
(2)写出相应a，b，c的值，并计算Δ的值；
(3)当Δ 时，可直接套用公式得出方程的解．
3．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：
(1)当 时，有两个不相等的实数根；
(2)当 时，有两个相等的实数根；
(3)当 时，没有实数根．
b2－4ac≥0
一般形式
≥0
b2－4ac＞0
b2－4ac＝0
b2－4ac＜0
1．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．下列选项中正确的是( )
A．b2－4ac＝0 B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≥0
2．(2014·自贡)一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
B
D
4．已知一元二次方程x2＋6x＋9＝0，则b2－4ac＝____，原方程根的情况是 ．
5．不解方程，判断下列一元二次方程根的情况．
(1)16x2＋8x＝－3；
(2)9x2＋6x＋1＝0；
(3)3(x2＋1)－5x＝0.
0
有两个相等的实数根
化为一般形式：16x2＋8x＋3＝0.∵a＝16，b＝8，c＝3，∴b2－4ac＝64－4×16×3＝－128＜0.∴此方程没有实数根
∵a＝9，b＝6，c＝1，∴b2－4ac＝36－36＝0.∴此方程有两个相等的实数根
化为一般形式：3x2－5x＋3＝0.∵a＝3，b＝－5，c＝3，∴b2－4ac＝(－5)2－4×3×3＝25－36＝－11＜0.∴此方程没有实数根
一元二次方程的一般形式是什么？
ax2＋bx＋c = 0(a≠0)
如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？
任何一元二次方程都可以写成一般形式吗
你能否也用配方法得出①的解呢？
二次项系数化为1，得
配方
即
①
②
移项，得
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（2）当 时，一元二次方程 有实数根．
（1）当 时，一元二次方程 有实数根．
（3）当 时，一元二次方程 没有实数根．
一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式。通常用希腊字母△表示它，即△= b2-4ac。
由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根。
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
当 时，方程有实数根吗
例1：用公式法解方程 x2-4x-7=0
1.变形:化已知方程为一般形式;
3.计算: △=b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公式计算;
5.定根:写出原方程的根.
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
结论：当
时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
–
解：
则：方程有两个相等的实数根：
这里的a、b、c的值分别是什么？
结论：当
时，一元二次方程有两个
相等的实数根.
例2：用公式法解方程
则：方程有两个不相等的实数根
结论：当
时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
例3：用公式法解方程
原方程可变形：
这里的a、b、c的值分别是什么？
∴方程无实数根。
结论：当
时，一元二次方程没有
实数根.
例4：用公式法解方程
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 的值。
3. (a)当 >0 时，代入求根公式 :
写出一元二次方程的根：
x1 = ______ ，x2 = ______ 。
(b)当 =0时，代入求根公式：
写出一元二次方程的根：
x1 = x2 = ______ 。
(b)当 <0时，方程实数根。
求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程
解这个方程，得
精确到0.001，x1≈ 1.236，
虽然方程有两个根，但是其中只有x1≈1.236符合问题的实际意义，所以雕像下部高度应设计为约1.236m．
1.解下列方程：
解：（1）
解：
解：
解：
2．已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，C＝a2＋5a＋19.
(1)求证：B－A＞0；
(2)指出A与C哪个大？并说明理由．
解：(1)B－A＝(a－1)2＋2＞0
(2)C－A＝(a＋2)2＋13＞0，∴C＞A
3．在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
解：由Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝b2＋8b－20＝0，
解得b＝2或b＝－10(不合题意，舍去)，
∴b＝2
(1)当c＝b＝2时，b＋c＝4＜5，不合题意；
(2)当c＝a＝5时，周长为a＋b＋c＝12
