特殊平行四边形复习
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特殊平行四边形
课标要求： 1. 掌握几种特殊平行四边形的概念和性质.，以及四边形是矩形、菱形、正方形的条件，了解几种特殊四边形之间的关系。
2. 探索几种特殊平行四边形的轴对称及中心对称的特点
复习重点： 矩形、菱形、正方形的性质及判别方法的灵活运用。
考点热点： 与特殊平行四边形相关的证明计算，几何动态问题、数形结合问题、探索性问题等。
归纳结构：
典例示范：
例1．正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，作EF⊥BC，EG⊥DC，垂足分别F、G，连接AE、FG，求证；AE=FG。
例2.一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（O也是BD 的中点）按顺时针方向旋转。
（1）：如图①，当EF与AB相交于M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM、FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）：若三角尺GEF旋转到图③所示位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由。
变式训练：
1、一张矩形纸片，要叠出一个最大正方形，如图将一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合。则ABEF是最大正方形。它的判定方法是 。
2、正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC中点，如图AＯ：ＤＯ＝ 。
3、菱形ABCD中，边长为1，M、N分别为AB、BC中点，P为对角线AC上一点，则PM+PN 的最小值为 。
(1) (2) (3)
4、如图折叠矩形，EM、FM为折痕，则∠EMF= 。
A、85° B、90° C、85° D100°
5、直线L过正方形顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形边长
为
(4)
6、下列错误的是：
A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
C 对角线垂直且相等四边形是菱形。
D、菱形的对角线分别平分两组对角。
7、如图折叠矩形ABCD，已知△ECF周长为3，△AFD周长为9，则矩形ABCD周长为 。
8如图，矩形ＡＢＣＤ中，ＥＦ∥ＡＢ，ＧＨ∥ＢＣ，ＥＦ，ＧＨ的交点Ｐ在BD上，则面积相等的四边形有 对．
总结规律： (7) (8)
1. 要善于灵活运用矩形、菱形、正方形的轴对称和中心对称找条件，以求的问题的解决。
2. 对于旋转、折叠的图形要注意找准图形变化后的等量关系。
3. 重视全等三角形、相似三角形等基本知识的运用。
反馈测评：
1、正方形ABCD边长为2，等边△BCP边与正方形边BC重合，连DP，则S△CDP = 。
(1) (3)
2、正方形ABCD对角线交与点O，设有下列条件：
①AB=ＡＤ②∠DAB=90０ ③BO=DO AO=CO
④矩形ABCD ⑤菱形ABCD ⑥正方形ABCD。则下列推理中不成立的是：
Ａ ①④ ⑥ Ｂ ①③ ⑤ Ｃ①② ⑥ Ｄ②③ ④
3直角三角形中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D在BC上运动（不与B、C重合），过D点分别向AB、AC作垂线，垂足分别为E、F，则矩形AEDF的面积的最大值是 。
4如图， 正方形ABCD内有一边长与正方形边长相等的正三角形ABP，如果让正方形方框在射线AE上翻滚，正三角形也在正方形内翻滚，规定沿顺时针方向每旋转90°为一次翻滚，那么翻滚 次后，可以回到初始状态？
5如图，正方形边长为2, 每个正方形都经过另一个正方形的中心
则Ｓ阴＝ 。
6正方形ABCD边长为１２，将顶点Ａ折
叠至ＤＣ边上的点Ｅ，使ＤＥ＝５折痕为
ＰＱ，则ＰＱ＝ 。
7如图，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＥ∥ＡＣ，ＤＦ∥ＡＢ，求证：四边形ＡＥＤＦ是菱形
证明：∵ ＡＤ平分∠ＢＡＣ∴
∴ ∠１＝∠２
∵ ＤＥ∥ＡＣ
∴ ∠２＝∠３
∴ ∠１＝∠3
∴ ＡＥ＝ＤＥ
同理可证 ＡＦ＝ＤＦ
∴ 四边形ＡＥＤＦ是菱形
老师说小林证明有错误
（1） 请你指出他的错误，并说明理由。
（2） 请你帮小林做出正确解答。
(7) (8)
8已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请你只用无刻度的直尺在图中作出∠AOB的平分线。（保留作图痕迹）
9矩形ABCD中，AD=4，AB=10，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=
10、菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线BD上任一点（点P不与点B、D重合），且PE∥BC交CD于E，PF∥CD交AD于F，连接EF交PD于G，则阴影部分的面积
(9) (10)
11、如图，正方形ABCD中，E是CD边中点，AC与BE交于点F，连接DF。
（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
（2）连接AE， 试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；
（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC得数量关系。（直接写出结论）
12、梯形ABCD中，AD∥BC，AD﹥CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC与点E，连接C′E。
（1）求证：四边形CDC′E是菱形；
（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明。
(11) (12)
思考题：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则有结论①AF=DE；②AF⊥DE。（不必证明）（1）如图②若点E、F不是正方形ABCD边BC、CD的中点，但满足CE=DF。则上面结论①②仍然成立吗？（请直接回答“成立|或不成立）（2）如图③若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和边DC的延长线上，且满足CE=DF，此时上面结论①②仍然成立吗？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE、EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、DA的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形中的哪一种？并写出证明过程。
特殊平行四边形答案
变式训练:
1. 邻边相等的矩形是正方形 2. 3. 1
4. B 5. 6. C 7. 12
8. 5
反馈测评:
1. 1 2. C 3. 3 4. 12
5. 4 6. 13 7. 略 8. 略
9 . 5.8 10. 11. (1) 略 (2) AE⊥DF (3) BM＝CM 12． 略
思考题：⑴ 成立 ⑵ 成立 ，证明略 ⑶ 正方形，证明略
思考条
一个角90°
一组邻边相等
邻边相等
一个角90°
判定
性质
矩形四个角都是直角
矩形
菱形
矩形对角线相等
菱形四条边相等
菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。
正方形
G
F
D
C
B
A
E
1
2
B
A
C
⑸
⑸题题
C
D
A
B
P
⑷
E
⑹
C
E
B
A
D
C′
A
B
C
D
A
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特殊平行四边形
课标要求： 1. 掌握几种特殊平行四边形的概念和性质.，以及四边形是矩形、菱形、正方形的条件，了解几种特殊四边形之间的关系。
2. 探索几种特殊平行四边形的轴对称及中心对称的特点
复习重点： 矩形、菱形、正方形的性质及判别方法的灵活运用。
考点热点： 与特殊平行四边形相关的证明计算，几何动态问题、数形结合问题、探索性问题等。
归纳结构：
典例示范：
例1．正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，作EF⊥BC，EG⊥DC，垂足分别F、G，连接AE、FG，求证；AE=FG。
例2.一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（O也是BD 的中点）按顺时针方向旋转。
（1）：如图①，当EF与AB相交于M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM、FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）：若三角尺GEF旋转到图③所示位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由。
变式训练：
1、一张矩形纸片，要叠出一个最大正方形，如图将一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合。则ABEF是最大正方形。它的判定方法是 。
2、正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC中点，如图AＯ：ＤＯ＝ 。
3、菱形ABCD中，边长为1，M、N分别为AB、BC中点，P为对角线AC上一点，则PM+PN 的最小值为 。
(1) (2) (3)
4、如图折叠矩形，EM、FM为折痕，则∠EMF= 。
A、85° B、90° C、85° D100°
5、直线L过正方形顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形边长
为
(4)
6、下列错误的是：
A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
C 对角线垂直且相等四边形是菱形。
D、菱形的对角线分别平分两组对角。
7、如图折叠矩形ABCD，已知△ECF周长为3，△AFD周长为9，则矩形ABCD周长为 。
8如图，矩形ＡＢＣＤ中，ＥＦ∥ＡＢ，ＧＨ∥ＢＣ，ＥＦ，ＧＨ的交点Ｐ在BD上，则面积相等的四边形有 对．
总结规律： (7) (8)
1. 要善于灵活运用矩形、菱形、正方形的轴对称和中心对称找条件，以求的问题的解决。
2. 对于旋转、折叠的图形要注意找准图形变化后的等量关系。
3. 重视全等三角形、相似三角形等基本知识的运用。
反馈测评：
1、正方形ABCD边长为2，等边△BCP边与正方形边BC重合，连DP，则S△CDP = 。
(1) (3)
2、正方形ABCD对角线交与点O，设有下列条件：
①AB=ＡＤ②∠DAB=90０ ③BO=DO AO=CO
④矩形ABCD ⑤菱形ABCD ⑥正方形ABCD。则下列推理中不成立的是：
Ａ ①④ ⑥ Ｂ ①③ ⑤ Ｃ①② ⑥ Ｄ②③ ④
3直角三角形中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D在BC上运动（不与B、C重合），过D点分别向AB、AC作垂线，垂足分别为E、F，则矩形AEDF的面积的最大值是 。
4如图， 正方形ABCD内有一边长与正方形边长相等的正三角形ABP，如果让正方形方框在射线AE上翻滚，正三角形也在正方形内翻滚，规定沿顺时针方向每旋转90°为一次翻滚，那么翻滚 次后，可以回到初始状态？
5如图，正方形边长为2, 每个正方形都经过另一个正方形的中心
则Ｓ阴＝ 。
6正方形ABCD边长为１２，将顶点Ａ折
叠至ＤＣ边上的点Ｅ，使ＤＥ＝５折痕为
ＰＱ，则ＰＱ＝ 。
7如图，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＥ∥ＡＣ，ＤＦ∥ＡＢ，求证：四边形ＡＥＤＦ是菱形
证明：∵ ＡＤ平分∠ＢＡＣ∴
∴ ∠１＝∠２
∵ ＤＥ∥ＡＣ
∴ ∠２＝∠３
∴ ∠１＝∠3
∴ ＡＥ＝ＤＥ
同理可证 ＡＦ＝ＤＦ
∴ 四边形ＡＥＤＦ是菱形
老师说小林证明有错误
（1） 请你指出他的错误，并说明理由。
（2） 请你帮小林做出正确解答。
(7) (8)
8已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请你只用无刻度的直尺在图中作出∠AOB的平分线。（保留作图痕迹）
9矩形ABCD中，AD=4，AB=10，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=
10、菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线BD上任一点（点P不与点B、D重合），且PE∥BC交CD于E，PF∥CD交AD于F，连接EF交PD于G，则阴影部分的面积
(9) (10)
11、如图，正方形ABCD中，E是CD边中点，AC与BE交于点F，连接DF。
（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
（2）连接AE， 试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；
（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC得数量关系。（直接写出结论）
12、梯形ABCD中，AD∥BC，AD﹥CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC与点E，连接C′E。
（1）求证：四边形CDC′E是菱形；
（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明。
(11) (12)
思考题：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则有结论①AF=DE；②AF⊥DE。（不必证明）（1）如图②若点E、F不是正方形ABCD边BC、CD的中点，但满足CE=DF。则上面结论①②仍然成立吗？（请直接回答“成立|或不成立）（2）如图③若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和边DC的延长线上，且满足CE=DF，此时上面结论①②仍然成立吗？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE、EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、DA的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形中的哪一种？并写出证明过程。
特殊平行四边形答案
变式训练:
1. 邻边相等的矩形是正方形 2. 3. 1
4. B 5. 6. C 7. 12
8. 5
反馈测评:
1. 1 2. C 3. 3 4. 12
5. 4 6. 13 7. 略 8. 略
9 . 5.8 10. 11. (1) 略 (2) AE⊥DF (3) BM＝CM 12． 略
思考题：⑴ 成立 ⑵ 成立 ，证明略 ⑶ 正方形，证明略
思考条
一个角90°
一组邻边相等
邻边相等
一个角90°
判定
性质
矩形四个角都是直角
矩形
菱形
矩形对角线相等
菱形四条边相等
菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。
正方形
G
F
D
C
B
A
E
1
2
B
A
C
⑸
⑸题题
C
D
A
B
P
⑷
E
⑹
C
E
B
A
D
C′
A
B
C
D
A
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