平行四边形
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平行四边形
课标要求： ①掌握平行四边形的概念和性质，了解平行四边形的不稳定性。
②探索并掌握平行四边形的有关性质和平行四边形的判定条件
③探索并掌握平行四边形的重心及物理意义，了解平行四边形是中心对称图形。
复习重点 : 平行四边形的性质与判定.
考点热点: 运用平行四边形性质与判定,结合相似与全等考查对图形的理解.
归纳结构：
典例示范：
例1：如图：已知在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG.
求证：四边形GEHF是平行四边形.
例2：如图①，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”.它又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其他条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”的结论.
你同意小明的观点吗？若同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由
变式训练：
1. 平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD与E ，若AE=2 ，DE=1，则平行四边形ABCD周长为 。
2. 平行四边形ABCD对角线交于O， AC=12，BD=10， 设AB=m，则m的取值范围为 。
3. 平行四边形ABCD中AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，∠EAF=60°，AD=8，AB=6则平行四边形ABCD的面积为 。
4. 平行四边形ABCD中对角线交于O，则满足下列条件不一定是平行四边形的为（ ）
A.AE=CF B.∠ADE=∠CBF C.DE=BF D .∠AED=∠CFB
（1） （3）
（4）
5. 下列错误的是（ ）
A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （6）
B.对角线垂直且平分的四边形是菱形
C.四个角都相等的四边形是矩形
D.对角线垂直且相等的四边形是正方形
6.如图平行四边形ABCD中AE：BE=3，AF：FC= 。
7.三角形三条中位线围成 个平行四边形。三条中位线围成的小三角形面积等于整个三角形面积的 。
8.矩形ABCD中，E为CD上的一点，P为BC上的动点，连接AP、EP，G、H分别为AP、EP的中点，则P在移动过程中GH= 。
9. 平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（-2，3）,则点C的坐标为 。
10.选作题：
平行四边形ABCD，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB延长线上，且AE=AD，CF=CB，（1）求证：四边形AFCE为平行四边形 （2）若去掉已知条件中∠DAB=60°，上述结论成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
（10）
总结规律：
1.牢记平行四边形性质与判定，运用比较、转化、类比等数学方法来解答问题.
2.综合运用等腰三角形、全等三角形、相似三角形等知识，选用合理、简便的方法解决问题.
反馈测评：
1.直线L将平行四边形分成面积相等的两份，这样的直线有 条。
2. 在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F= 度。
3．已知：M是平行四边形ABCD的AB边中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD的面积比是 。
4．平行四边形ABCD ，∠DAE=20°，∠AED=90°，则∠ B= 度；若EC：AB=1：3
AD=4，则CF=
(2) (3)
5．平行四边形ABCD，对角线相交与点O，EF过点O分别与AD 、BC交于E、F，则图中全等三角形有 对。
6．平行四边形ABCD对角线交于O ，过O作OM⊥AC，交AD与M，如果△CDM周长为ａ，平行四边形ABCD的周长为 。
7．点P为x轴正半轴上一个动点，过P做x轴的垂线，与双曲线y= 于点A,连接OA,并延长与双曲线的另一个交点为F, FH垂直与ｘ轴，垂足为Ｈ，则四边形ＡＰＦＨ的面积为 ．
(5) (6) (7)
8．平行四边形ABCD-中，M、N分别是AB、CD的中点，DB分别交AN、CM与点P、Q，下列结论：
①．DP=PQ=QB；②．AP=CQ ③．CQ=2MQ
④．S△ADP=SABCD，其中正确结论是：（ ）
A.①②③④ B。.①②③ C. ③④ D. ①
9. 某广场有一形状为平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫六种颜色的花，如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,则下列错误是（ ）
A..红、绿花种植面积一定相等
B．紫、橙花种植面积一定相等
C．红、蓝花种植面积一定相等
D．蓝、黄花种植面积一定相等
10．平行四边形纸条ABCD中，E，F分别是边AD、BC的中点，张老师请同学将纸条
的下半部分平行四边形ABFE沿EF翻折，得到了V字形图案。
（1）请你在原图中画出 翻折后的图形ABFE
（用尺规 作图，保留 作图痕迹，不写作法。）
（2）已知∠A=63°，求∠BFC的大小。
(9) (10)
11．如图，已知直线L及L外一点A，只用圆规在直线外画出一点P，使得点A、P所在直线与直线L平行。
12．在下列直角坐标系中，（1）请写出在平行四边形内（不包括边界）横、纵坐标均为整数，且和为零的点的坐标；（2）在平行四边形内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求该点的横、纵坐标之和为零的概率。
13. 已知：任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、F、G、H、P、Q。
（1）若四边形ABCD如图①，判断下列结论是否正确，（分别打“√”或“×”。）
甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形.（ ）
乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形. （ ）
（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断.
（3）若四边形ABCD如图2，请判断（1）中的两个结论是否成立.
思考题：我们给出以下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：（1）写出你学过的等对角线四边形的名称。（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
平行四边形答案：
变式训练:
１．１０ ２．１﹤ｍ﹤１１ ３． ４．Ｃ
５．Ｄ ６．３：４ ７．３， ８．ＡＥ
９（２，－３）
反馈测评
1.无数条 2. 40°, 1:3 3 6 4 70° 2
5. 6 6. 2a 7. 2 8. B
9. C 10. (1) 略 (2) 54° 11. 略
12.①(-1,1) (1,-1) (0,0) ② 13. (1)√ (2)√ (3) 略
思考题：⑴ 等腰梯形 矩形 正方形 ⑵ 等对角线四边形中，两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和，大于或等于其中一条对角线长。
⑧
⑦
①
②
③
④
⑤
⑥
F
F
C
B
A
F
D
E
B
C
D
E
A
D
E
A
D
E
A
C
B
B
C
①
②
③
④
F
E
D
C
B
A
D
C
B
A
E
F
⑻
E
P
D
C
B
A
H
G
E
D
FF
C
B
A
(4)
L
．
A
E
D
C
B
A
O
F
D
E
C
B
A
F
O
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平行四边形
课标要求： ①掌握平行四边形的概念和性质，了解平行四边形的不稳定性。
②探索并掌握平行四边形的有关性质和平行四边形的判定条件
③探索并掌握平行四边形的重心及物理意义，了解平行四边形是中心对称图形。
复习重点 : 平行四边形的性质与判定.
考点热点: 运用平行四边形性质与判定,结合相似与全等考查对图形的理解.
归纳结构：
典例示范：
例1：如图：已知在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG.
求证：四边形GEHF是平行四边形.
例2：如图①，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”.它又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其他条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”的结论.
你同意小明的观点吗？若同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由
变式训练：
1. 平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD与E ，若AE=2 ，DE=1，则平行四边形ABCD周长为 。
2. 平行四边形ABCD对角线交于O， AC=12，BD=10， 设AB=m，则m的取值范围为 。
3. 平行四边形ABCD中AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，∠EAF=60°，AD=8，AB=6则平行四边形ABCD的面积为 。
4. 平行四边形ABCD中对角线交于O，则满足下列条件不一定是平行四边形的为（ ）
A.AE=CF B.∠ADE=∠CBF C.DE=BF D .∠AED=∠CFB
（1） （3）
（4）
5. 下列错误的是（ ）
A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （6）
B.对角线垂直且平分的四边形是菱形
C.四个角都相等的四边形是矩形
D.对角线垂直且相等的四边形是正方形
6.如图平行四边形ABCD中AE：BE=3，AF：FC= 。
7.三角形三条中位线围成 个平行四边形。三条中位线围成的小三角形面积等于整个三角形面积的 。
8.矩形ABCD中，E为CD上的一点，P为BC上的动点，连接AP、EP，G、H分别为AP、EP的中点，则P在移动过程中GH= 。
9. 平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（-2，3）,则点C的坐标为 。
10.选作题：
平行四边形ABCD，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB延长线上，且AE=AD，CF=CB，（1）求证：四边形AFCE为平行四边形 （2）若去掉已知条件中∠DAB=60°，上述结论成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
（10）
总结规律：
1.牢记平行四边形性质与判定，运用比较、转化、类比等数学方法来解答问题.
2.综合运用等腰三角形、全等三角形、相似三角形等知识，选用合理、简便的方法解决问题.
反馈测评：
1.直线L将平行四边形分成面积相等的两份，这样的直线有 条。
2. 在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F= 度。
3．已知：M是平行四边形ABCD的AB边中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD的面积比是 。
4．平行四边形ABCD ，∠DAE=20°，∠AED=90°，则∠ B= 度；若EC：AB=1：3
AD=4，则CF=
(2) (3)
5．平行四边形ABCD，对角线相交与点O，EF过点O分别与AD 、BC交于E、F，则图中全等三角形有 对。
6．平行四边形ABCD对角线交于O ，过O作OM⊥AC，交AD与M，如果△CDM周长为ａ，平行四边形ABCD的周长为 。
7．点P为x轴正半轴上一个动点，过P做x轴的垂线，与双曲线y= 于点A,连接OA,并延长与双曲线的另一个交点为F, FH垂直与ｘ轴，垂足为Ｈ，则四边形ＡＰＦＨ的面积为 ．
(5) (6) (7)
8．平行四边形ABCD-中，M、N分别是AB、CD的中点，DB分别交AN、CM与点P、Q，下列结论：
①．DP=PQ=QB；②．AP=CQ ③．CQ=2MQ
④．S△ADP=SABCD，其中正确结论是：（ ）
A.①②③④ B。.①②③ C. ③④ D. ①
9. 某广场有一形状为平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫六种颜色的花，如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,则下列错误是（ ）
A..红、绿花种植面积一定相等
B．紫、橙花种植面积一定相等
C．红、蓝花种植面积一定相等
D．蓝、黄花种植面积一定相等
10．平行四边形纸条ABCD中，E，F分别是边AD、BC的中点，张老师请同学将纸条
的下半部分平行四边形ABFE沿EF翻折，得到了V字形图案。
（1）请你在原图中画出 翻折后的图形ABFE
（用尺规 作图，保留 作图痕迹，不写作法。）
（2）已知∠A=63°，求∠BFC的大小。
(9) (10)
11．如图，已知直线L及L外一点A，只用圆规在直线外画出一点P，使得点A、P所在直线与直线L平行。
12．在下列直角坐标系中，（1）请写出在平行四边形内（不包括边界）横、纵坐标均为整数，且和为零的点的坐标；（2）在平行四边形内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求该点的横、纵坐标之和为零的概率。
13. 已知：任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、F、G、H、P、Q。
（1）若四边形ABCD如图①，判断下列结论是否正确，（分别打“√”或“×”。）
甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形.（ ）
乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形. （ ）
（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断.
（3）若四边形ABCD如图2，请判断（1）中的两个结论是否成立.
思考题：我们给出以下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：（1）写出你学过的等对角线四边形的名称。（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
平行四边形答案：
变式训练:
１．１０ ２．１﹤ｍ﹤１１ ３． ４．Ｃ
５．Ｄ ６．３：４ ７．３， ８．ＡＥ
９（２，－３）
反馈测评
1.无数条 2. 40°, 1:3 3 6 4 70° 2
5. 6 6. 2a 7. 2 8. B
9. C 10. (1) 略 (2) 54° 11. 略
12.①(-1,1) (1,-1) (0,0) ② 13. (1)√ (2)√ (3) 略
思考题：⑴ 等腰梯形 矩形 正方形 ⑵ 等对角线四边形中，两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和，大于或等于其中一条对角线长。
⑧
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①
②
③
④
⑤
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③
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