整数、小数和分数的一致性
教学内容分析：
2022版课标多次强调了“一致性”，明确提出“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识”。不难发现，2022版课标强调数是对数量的抽象，注重打通数之间的关联、把握数的一致性。在教学建议中进一步提出，“在理解整数、小数、分数意义的同时，理解整数、小数、分数基于计数单位表达的一致性”。由此可见，建立整数、小数和分数一致性的关键之一是从“计数单位”的角度来打通认识。实际上它们都可以看成计数单位的“累积”，比如5可以看成5个1相加，0.5可以看成5个0.1相加，可以看成是5个相加。
因此，我们对“整数、小数和分数的一致性”的教学进行了尝试与探索，以促进学生对数概念的深入理解，发展数感。本课是在学生已经学习了整数、小数和分数意义的基础上进行的梳理反思，从学生的困惑入手，通过再一次认识如何读数、画图表示数的意义、比较数的大小等学习活动，帮助学生理解所学内容的有机联系，体会计数单位的价值，感悟数的一致性。
教学目标：
1. 通过回顾整理整数、小数、分数的学习内容，沟通不同数集之间的关联，感悟整数、小数和分数的一致性。
2. 在读数、表示数和比较数的大小等活动中，进一步体会计数单位的重要作用，发展数感。
3. 在感悟数的一致性的过程中，体会数学内容之间的联系。
教学重点：
从计数单位的角度沟通不同数集之间的关联，感悟整数、小数和分数的一致性。
教学难点：
引导学生对数概念的整体理解，打通不同数集之间的关联。
教学过程：
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 复习旧知暴露困感引发学习需求 引导学生回忆学习过的整数、小数和分数的相关内容。 出示整理整数、小数和分数知识的表格。 师：我们先来回顾学习过的整数、小数和分数的相关内容。大家可以从整数、小数和分数的意义、读写、大小比较、相互转化四个方面来说一说。 师：大家说得十分详细，说明对这些基础知识掌握得十分牢固。你们对所有学过的数还有什么困惑和想继续研究的问题吗？组内交流一下。 师：请说出你的困惑和想继续研究的问题。 师：我们看到很多同学对数的学习仍然有不少想进一步探索的问题，而且很多同学的问题都关注到了整数、小数和分数之间的联系。寻找事物之间的联系能让我们更好地关注事物的本质，你们真会思考！老师也看出同学们有很强的问题意识和探究愿望。这节课就让我们一起来探究整数、小数和分数之间的联系。 生1：整数包括正整数、0、负整数；把单位“1”平均分成10份、100份、1000……表示这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之……可以用小数表示；分数是把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。 生2：整数从高位读起，一级一级地往下读，亿级和万级的数都按照个级的读法去读，读完后在后面加上“亿”或“万”字，每级末尾的“0”都不读，其它各位上无论只有一个“0”或者连续几个“0”，都只读一个“零”。 整数也是从最高位写起，一级一级地往下写，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0占位。读小数先读小数的整数部分，再读小数点，小数点读作“点”，小数部分从左往右依次读出每一位上的数字。写小数先写整数部分，写好后在个位的右下角点上小数点，小数部分按从左往右的顺序依次写出每个数字。读分数先读分母，然后读分数线，最后读分子；写分数先写分数线，然后写分母，最后写分子。 生3：比较整数的大小先看整数的位数，位数多的那个数就大；如果位数相同，就看最高位，最高位上数大的那个数大，如果最高位相同，就看下一位，下一位上数大的那个数大。比较小数的大小，先看它们的整数部分，整数大的那个数大，如果整数部分相同看十分位，十分位上大的数大，……。比较分数的大小，分母相同比分子，分子越大，分数越大；分子相同比分母，分母越大，分数越小，分子分母都不相同，先通分再比大小。 生4：整数化成分数，用指定的分母做分母，整数乘以分母做分子；整数化成小数，在整数部分个位右下角添上小数点，再在小数点后面添0。分数化成整数或小数，直接用分子除以分母。小数化成分数 ，整数部分保持不变，整数部分保持不变，将小数部分改成以10、100、1000……作分母的分数。 学生独立思考后，全班交流。 生1：小数可以化成分数，那循环小数是不是也可以化成分数？应该怎样化呢？ 生2：学习了这么多数，它们之间有联系吗？我感觉整数和小数有联系，都是十进制的，那分数呢？ 生3：为什么小数比大小和整数比大小要从最高位比起，分数比较大小却要先通分 生4：我还有一个问题，为什么整数读法和小数读法不同？比如34.34，为什么读整数部分的时候要读成“三十四”，读小数部分的时候却要读成“三四”？ …… 通过回顾整数、小数和分数已学过的内容，唤醒学生原有的认知，引导学生提出自己学习中遇到的困惑以及希望进一步研究的问题,引发学生进一步探寻对数的认识的需求,引导学生关注整数、小数和分数之间的联系。
环节二 探究新知 一、在读数中感悟计数单位的价值 出示学习任务单，聚焦数的读法之间的联系，进一步引发学生思考。 师：为什么整数读法和小数读法不同？我们先来探究这个问题。请同学们独立完成学习任务单。 师：0.35为什么不读作“零点三十五”？ （教师引导学生交流互相启发。） 师：看来读数跟数位有着紧密的联系。35为什么读作三十五 在读整数时，我们都读了什么 师：看来读数的时候，我们既读了数位上的数字，还读了相应的……小数的读法呢 师：确实读起来比较麻烦。那整数能不能跟小数统一，不读计数单位了呢 师：虽然整数和小数的读法不同，但是我们都能通过读出来的数感知它们的大小。这是为什么呢 整数和小数有什么共通之处吗 师：通过讨论我们知道，同一个数字在不同的数位表示的大小不同，虽然整数和小数在读法上有所区别，但都能让人们通过读法知道这个数，而且都和数位、计数单位有着紧密的联系。同学们还提到整数和小数的计数单位向左延伸越来越大、向右延仲越来越小，整数、小数的相邻数位之间都是十进关系。看来对于整数和小数而言，计数单位和数位是非常关键的知识。 出示分数、。 师：请读一读这两个分数，想一想分数的读法与什么有关联。 师：是的，看来读数都是基于数的计数单位来读的。 二、在画图中感悟数的一致性 出示学习任务单，让学生在感受了整数与小数读法联系的基础上，鼓励学生通过画图表示数的意义，在画图中进一步感悟数的一致性。 师：请大家先独立完成学习任务单，然后在小组中交流每个人的想法，推选一个能代表小组的作品全班分享。 出示学生的作品。 师：谁来解读一下这个小组的3个作品 出示学生作品1。 (教师板书：1个百、2个十、5个一。) 出示学生作品2。 师：为什么涂了37个就是0.37呢 为什么不是37呢 （教师板书：37个0.01（）。 出示学生作品3。 师：把一个圆平均分成4份，1份就是……3份就是3个……也就是…… (教师板书： 3个) 师：同学们分析得非常清楚，那这些表示方法之间有什么共通之处呢 师：谁听懂他说的是什么意思了？能说得具体一点吗？ 师：听懂了吗 说得真清楚。还有补充吗 [在黑板上圈出百、十、一、0.01()、。] 师：是的，分数单位可以看成分数的计数单位。在上面的活动中我们看到，读数时非常重要的是读出计数单位和计数单位的个数，看来在“画”数时，画的也是计数单位和计数单位的个数。这让我们又一次看到了计数单位的重要性。 三、在交流中继续感悟数的一致性 教师进一步引导学生通过举例的方式，探讨整数、小数、分数的一致性。 师：结合我们所学习的整数、小数、分数的相关内容，大家继续思考，整致、小数、分数还有哪些共通之处 可以举例说明。 师：比较数的大小有什么共通之处 师：有关这些运算之间的联系，我们今后还要继续研究。 小结：我们从数的意义、读写、大小关系等多个角度研究发现：整数、小数和分数都可以看成是计数单位的“累积”，这是它们作为数的本质特征的一致性。 学生独立完成学习任务单后进行全班交流。 生1：0.35如果读成零点三十五，那么0.350就应该读成零点三百五十，但是，0.35=0.350，读法却不一样，后面的0可以再增加，读法一直会变化。 生2：我觉得不能读零点三十五。0.35的3是3个0.1，不是3个十，不能读成三十五。 生1：(补充解读）35读成三十五是因为3在十位，表示3个十，所以读成三十五，0.35的3不在十位，所以不能读成零点三十五。 生2：35表示有3个十、5个一，所以读作三十五；126有1个百、2个十、6个一，所以读作一百二十六。在读数的时候，有几个百就读几百，有几个十就读几十，有几个一就读几。 生1：计数单位。 生2：小数点后面是几就读几，按着顺序读就可以了。 生3：小数读出计数单位也是可以的，0.35就读作零点三“十分之一”、五“百分之一”。 生4：不是不行，就是有点麻烦了。 生5：而且，读的时候如果节奏把握不好，还容易弄混，三个十分之一和三十分之一不是一回事。 生：也不行，读完了都不清楚是多少了。 生1：都是越向左计数单位越来越大，越向右计数单位越来越小。 生2：它们都是十进制。 生3：我是这么想的，小数有一个小数点，从小数点开始向右第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，读了小数点就提醒我们数位了，不读出来也能知道数字在哪一位上。 生1：七分之五，一百二十八分之三十五。是5个，是35个。读分数从分母读起，读出分母来就知道这个分数的分数单位了，读出分子后就知道有几个这样的分数单位了。 生2：我发现读分数就能感知分数的计数单位和计数单位的个数。 学生独立完成学习任务单。 生：125是由1个百、2个十、5个一组成的，所以画了1个大方块，里面是10行10列一共100个小方块，代表100，两个竖条是2个十，又画了5个一,一共是125。 生：第二幅图是画了1个大方块代表1，平均分成了10行10列，一共是100个小方块，涂了3列是30个，后面又涂了7个，一共是37个，所以是0.37。 生：因为把1平均分成了100份，每一份是0.01，37个0.01就是0.37。 生：这位同学画的是四分之三，把一个圆平均分成4份，阴影是其中的3份，阴影占整个圆的四分之三。 生：我觉得画的都是几个几。 生1：他说的是每个数画出来的都是几个几。第一幅图画的是1个百加2个十加5个一,一共是125，也是125个一。第二幅图画的是37个0.01，也是37个百分之一，就是0.37。第三幅图画的是3个四分之一，是四分之三。三幅图画的都是几个几。 生2：画的都是有多少个计数单位和多少个分数单位。 生3：分数单位也是分数的计数单位。 学生独立思考、小组交流之后进行全班分享。 生1：它们都是数，都有大小，可以比较大小。 生2：实际上比的还是计数单位和计数单位的个数，计数单位相同时才能进行比较。 生3：对，所以分数要先通分，通分后计数单位一致了，就能直接比较了。 生1：都可以进行“加、减、乘、除”的运算。 生2：都是用“数字”表示数，整数和小数有数位，分数是分数单位。 生3：读数时都和计数单位有关系，整数要读出计数单位，小数不需要读出计数单位,分数读分母就知道计数单位了。 …… 以学生的真实问题“为什么0.35不读作零点三十五 ”为切入点,引导学生讨论整数与小数读法看似的不同和实质的相同,理解读法与计数方法之间的关系,感悟整数与小数读法的本质是读出计数单位和计数单位的个数，体会数位和计数单位的核心地位，感悟整数和小数概念本质上的一致性。 设计利用直观图形表示数的活动,引导学生关注在画图表示数中有什么共通之处,促使学生感悟需要表示出计数单位和计数单位的个数,从而又一次感悟通过描述计数单位及其个数来表示数的大小。 鼓励学生进一步调取已有认知,通过举例的方式寻找整数、小数、分数的共通之处，进一步感悟数的意义、数的表示、比较大小等方面的一致性;同时,为运算一致性的研究理下伏笔。
环节三 巩固练习 1.用画图和数的知识比较和的大小。 2.涂一涂。 3.看图填空。 生：把两个同样大小的长方形平均分成2份和3份。 生1： 生2： 生3：相同单位下才能比较分数的大小，这个法则与整数比较大小的法则是一致的。 生： 生： 从数的大小、数的简单运算的角度，再次感悟数的一致性。
环节四 课堂小结 这堂课你有什么收获？ 师：这堂课的学习引发了你的思考，今后学习了其它数，可以继续做这一方面的研究。 学生交流想法。 生1：我对数的意义有了新认识。 生2：我知道整数、小数和分数都可以看成是计数单位的“累积”，比较数的大小其实就是比较相同计数单位的多少。 生3：我在想今后我们还要学习其它形式的数，是不是所有的形式的数都可以看成是计数单位的“累积”呢？ 让学生谈谈自己的收获，引导学生总结归纳并引发了学生新的思考，激发学生探究数的本质属性。
环节五 拓展延伸 事实上，所有数都是基于计数单位来建构的。“计数单位”是针对个数与顺序的计数单位，如同长度计量单位1m、1dm，二者均是“度量单位”，前者通过抽象得到，后者借助工具得到。有了计数单位，就克服了逐个计数的烦琐与低效，提供了一个组（本质上是一个标准量、单位量），一组一组地计数，这个“一组”就是计数单位。数的发展过程就是计数单位的发展过程。 通过数学阅读的方式，加深对计数单位的感悟。
环节六 课后活动 计算+，借助计算的过程和结果结合本节课的学习内容方法再举例，说一说自己对加法计算本质的理解。 生：+=+= 例，34.5+45.12=79.62 25+2321=2346 加法计算其实就是相同计数单位相加。 让学生将学习到的探究数的一致性方法用到加法运算的一致性探究中去，培养学生数学知识的迁移类推能力。(共25张PPT)
整数、小数和
分数的一致性
小学数学人教版六年级下册
第六单元 整理与复习
创设情境
数的形式 数的认识 整数 小数 分数
意义
读写
大小比较
相互转化 从计数开始的。
把单位“1”平均分成10份、100份、1000……表示这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
从高位读起，一级一级地往下读，亿级和万级的数都按照个级的读法去读，读完后在后面加上“亿”或“万”字，每级末尾的“0”都不读，其它各位上无论只有一个“0”或者连续几个“0”，都只读一个“零”。
从最高位写起，一级一级地往下写，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0占位。
先读小数的整数部分，按照整数的读法去读，再读小数点，小数点读作“点”，小数部分从左往右依次读出每一位上的数字。
先写整数部分，按照整数的写法来写，写好后在个位的右下角点上小数点，小数部分按从左往右的顺序依次写出每个数字。
先读分母，然后读分数线，最后读分子。
先写分数线，然后写分母，最后写分子。
先看整数的位数，位数多的那个数就大；如果位数相同，就看最高位，最高位上数大的那个数大，如果最高位相同，就看下一位，下一位上数大的那个数大。
先看它们的整数部分，整数大的那个数大；如果整数部分相同看十分位，十分位上大的数大，……
分母相同比分子，分子越大，分数越大；分子相同比分母，分母越大，分数越小。分子分母都不相同，先通分再比大小。
整数化成分数，用指定的分母作分母，整数乘分母作分子；整数化成小数，在整数部分个位右下角点上小数点，再在小数点后面添0。
分数化成整数或小数，直接用分子除以分母。
小数化成分数 ，整数部分保持不变，将小数部分改成以10、100、1000……作分母的分数。
创设情境
你对所有学过的数还有什么困惑和想继续研究的问题吗？
整数、分数、小数之间有联系吗？感觉整数和小数有联系，都是十进制的，那分数呢？
小数可以化成分数，那循环小数是不是也可以化成分数？
创设情境
你对所有学过的数还有什么困惑和想继续研究的问题吗？
为什么小数比大小和整数比大小要从最高位比起，分数比较大小却要先通分
为什么整数读法和小数读法不同？比如34.34，为什么读整数部分的时候要读成“三十四”，读小数部分的时候却要读成“三四”？
探究新知
聚焦数的读法
读一读，思考下面问题。
（1）读出下面各数。
35 读作： 2 126 读作： 1
0.35 读作： 0.126 读作： 1
（2）为什么0.35不读作零点三十五？
三十五
零点三五
一百二十六
零点一二六
探究新知
为什么0.35不读作零点三十五？
十分位
百分位
小数点
个位
0 . 3 5
假设
0.350读作零点三百五十，0.3500读作零点三千五百……
0.35=0.350=0.3500=……
数相等，读法却一直变化。
0.35读作零点三十五
那么
探究新知
十分位
百分位
小数点
个位
0 . 3 5
3表示3个0.1
不是3个十，不能读成三十五。
探究新知
十分位
百分位
小数点
个位
0 . 3 5
3 5
3表示3个0.1
不是3个十，不能读成三十五。
十位
3表示3个十
探究新知
十分位
百分位
小数点
个位
0 . 3 5
3 5
1 2 6
35表示有3个十、5个一，读作三十五。
十位
百位
126有1个百、2个十、6个一，所以读作一百二十六。
读数既读数位上的数字还读计数单位
3 5
1 2 6
百
个
十
小数部分直接读数位上的数字
探究新知
越来越小
越来越大
十进制
整数和小数有什么共通之处吗
整数的读法是读出计数单位；小数读出计数单位比较麻烦，但读出了小数点后就知道了计数单位。
…… 百位 十位 个位 小数点 十分位 百分位 ……
0 . 3 5
3 5
1 2 6
探究新知
读出下面分数。
读作：
读作：
七分之五
一百二十六分之三十五
七
一百二十六
读出分母就读出分数单位
五
三十五
读出分子就读出分数单位的个数
读数读出计数单位和计数单位的个数
画图表示数
画一画，用图表示下面各数的意义。
怎么通过画图来表示整数、小数和分数的意义。
125
0.37
探究新知
125 0.37
探究新知
10
10
125
1个百
2个十
5个一
125是由1个百、2个十、5个一组成的
探究新知
把单位1平均分成了100份，每一份是0.01，37个0.01就是0.37。
37个0.01()
0.37
探究新知
把一个圆平均分成4份，阴影是其中的3份，阴影占整个圆的四分之三。
3个
探究新知
125 0.37
125个一
都是几个几
37个0.01()
3个
用图表示数的过程也是应用计数单位及其个数的过程。
探究新知
比较数的大小
整数
小数
分数
比较数的大小有什么共通之处
计数单位相同时才能进行比较，比的还是计数单位和计数单位的个数。
分数要先通分，通分后计数单位一致了，就能直接比较。
探究新知
拓展延伸
用画图和数的知识比较和的大小。
把两个同样大小的长方形平均分成2份和3份。
相同单位下才能比较分数的大小，这个法则与整数比较大小的法则是一致的。
=
=
所以
巩固练习
涂一涂
2.14+1.23=
2.62-1.31=
+
-
3.37
1.31
巩固练习
看图填空
（ ）
+
（ ）
=
（ ）
（ ）
-
（ ）
=
（ ）
课堂小结
今天的学习你有什么收获？
读数
整数、小数和分数一致性
“画”数
比较大小
表示数的大小核心是计数单位和计数单位的个数
数的认识
不同角度
读法
意义
大小关系
拓展延伸
事实上，所有的数都是基于计数单位来建构的。“计数单位”是针对个数与顺序的计数单位，如同长度计量单位1m、1dm，二者均是“度量单位”，前者通过抽象得到，后者借助工具得到。有了计数单位，就克服了逐个计数的烦琐与低效，提供了一个组（本质上是一个标准量、单位量），一组一组地计数，这个“一组”就是计数单位。数的发展过程就是计数单位的发展过程。
阅读与思考
阅读与思考
课后活动
计算，借助计算的过程和结果结合本节课的学习内容再举例，说一说自己对加法计算本质的理解。
例：34.5 + 45.12 = 79.62
25 + 2321 = 2346
再见
