三角形（一）
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三角形（一）
一、课标要求
1、了解三角形有关概念，会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。
2、探索并掌握三角形中位线的性质。
3、了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念并探索其性质。
4、了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件。
5、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
二、复习重点
1、等腰等边三角形的性质和判定。
2、直角三角形的性质和判定。
3、勾股定理的运用。
三、知识结构
主要线段：角平分线、中线、高线、中位线
边：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边
性质
三角形 角：内角和为180°、 一个外角大于不相邻两个内角和
等腰三角形 等边三角形（三线和一）
勾股定理
特殊三角形
30°角所对的直角边等于斜边的一半
直角三角形
两锐角互余
斜边上的中线等于斜边的一半
四、考点热点
1、三角形的分类。 2、三角形的边角关系。 3、三角形中线、角平分线、高线。
4、三角形的中位线。 5、等腰三角形 6、等边三角形 7、直角三角形
五、典例示范
1、三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x－16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是 （ ）
A.24 B.24或8 C.48 D. 8
2、等腰三角形两边长分别是2㎝和5㎝，则这个三角形周长是（ ）
A.9㎝ B.12㎝ C. 9㎝ 或12㎝ D.14㎝
3、如图在平行四边形ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm ,AE平分∠BAD交 BC边于点E、则EC等于 （ ）
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
4、如图△ＡＢＣ中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=______.
A D C
D
B E C
A B
（第3题） （第4题）
5、如图△ＡＢＣ中，AB=AC，CD平分∠ACB，交AB于D点，AE∥DC，交BC的延长线于点E，已知∠E=36°,则∠B=___________.
6、已知如图△ＡＢＣ是等腰三角形AB=BC、∠ABC=90°，AB=10，D为△ＡＢＣ外一点，连结ＡＤ、ＢＤ，过Ｄ做ＤＨ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ，DH交ＡＣ于Ｅ。
（１）若△ＡＢＤ是等边三角形，求ＤＥ的长。
（２）若ＢＤ＝AB，且tan∠HDB=,求DE的长
A A
D
B D E H
C E
C B
（第5题） （第6题）
六、总结通法
1、利用三角形三边关系，知道三角形两边可确定第三边的范围。
2、等腰三角形或等边三角形三线合一。
3、直角三角形中有30°的角，注意利用30°所对直角边等于斜边的一半。
七、变式训练
1、若直角三角形的三边长分别为2、4、X，则X可能值为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x－6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A.11 B.13 C.11或13 D.11和13
3、如图矩形ABCD的周长为20㎝，两条对角线相交于O点，，过O点作AC的垂线EF分别交ＡＤ、ＢＣ与Ｅ、Ｆ点，连结ＣＥ，则△ＣＤＥ的周长为（ ）
Ａ．5㎝ Ｂ．8㎝ Ｃ．9㎝ Ｄ．10㎝
A
A E D
O
E
B F C B C
D
(第3题) （第4题）
４、如图△ＡＢＣ中，BＣ=AC，∠C=90°，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，已知ＣＤ＝4㎝，则ＡＣ＝＿＿＿㎝．
５、等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形底角为＿＿＿＿＿＿．
６、如图将纸片ＡＢＣ沿ＤＥ折叠点Ａ落在Ａ‵处，已知∠１＋∠２＝100°则∠Ａ =____
A
D E
α
1 2
A‵
B C
（第6题） （第7题）
７、如图把一副三角尺叠放在一起，∠α的度数是＿＿＿＿＿＿．
８、如图点Ｏ是等边三角形内一点，∠ＡＯＢ＝110°，∠ＢＯＣ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60度，得△ADC，连结OD。
（1）求证△COD是等边三角形。
（2）当∠α=150度，试判断△AOD的形状，并说明理由。
（3）探究当α为多少度时△AOD是等腰三角形。
A
D
110° O
α
B C
(第8题)
八、反馈测试
1、小芳要画一个有两边长分别为5㎝和6㎝的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A.16㎝ B.17㎝ C.16㎝或17㎝ D.11㎝
2、如图在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠Ａ=44°，CＤ⊥ＡＢ于D，则∠DCB=（ ）
A. 44° B.68° C. 46° D. 22°
A C′
A D
D
B C
B C E
（第2题） （第3题）
3、将一张矩形纸片ABCD如图折起来，使定点C落在C处，其中AB=4，若∠CED=30°，则折痕ED的长为（ ）
A.4 B.4 C.8 D. 5
4、如图将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a，则①DC‵平分∠BDE。②BC长为（+2）a ③△BCD是等腰三角形 ④△CED的周长等于BC的长，其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A A
D D
B C B E C B C′ E C
（第4题）
5、如图在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD，AB=AD，∠Ａ=120°，则∠C=_________°
A D A
E
B C
C D B
（第5题） （第6题）
6、如图在三角形ABC中，AC=BC=2, ∠ＡCB=90°,D是BC边上的中点，点E是AB上的一动点，则EC+ED的最小值是 _________
7、如图在三角形ABC中，BC=5㎝，BP、CP分别是∠ＡCB和∠ＡBC的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_________㎝.
A A
D
P
B D E C B C E
(第7题) （第8题）
8、如图在三角形ABC中，BD平分∠ＡBC，CD平分∠ＡCE，请你写出∠Ａ与∠D的关系是__________.
9、将一根25㎝的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝、和10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是___________________.
10、如图在三角形ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AＤ⊥ＡＢ，点E是BD的中点，连结AE。
（1）求证∠AEC=∠C
（2）求证BD=2AC
（3）若AE=6.5，AD=5，求三角形ABE的周长。
A
B E D C
（第10题）
参考答案 1C 2D 3C 4B 5、 75° 6、+1 7、5 8 ∠A=2∠D 9、5cm
10①证明∵AE=BE ∴∠AEC=2∠B 又∵∠C=2∠B ∴∠AEC=∠C
②证明∵△ABD是直角三角形、E是BD的中点∴BD=2AE 又∵∠AEC=∠C
∴AE=AC ∴BD=2AC
③ 30
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三角形（一）
一、课标要求
1、了解三角形有关概念，会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。
2、探索并掌握三角形中位线的性质。
3、了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念并探索其性质。
4、了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件。
5、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
二、复习重点
1、等腰等边三角形的性质和判定。
2、直角三角形的性质和判定。
3、勾股定理的运用。
三、知识结构
主要线段：角平分线、中线、高线、中位线
边：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边
性质
三角形 角：内角和为180°、 一个外角大于不相邻两个内角和
等腰三角形 等边三角形（三线和一）
勾股定理
特殊三角形
30°角所对的直角边等于斜边的一半
直角三角形
两锐角互余
斜边上的中线等于斜边的一半
四、考点热点
1、三角形的分类。 2、三角形的边角关系。 3、三角形中线、角平分线、高线。
4、三角形的中位线。 5、等腰三角形 6、等边三角形 7、直角三角形
五、典例示范
1、三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x－16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是 （ ）
A.24 B.24或8 C.48 D. 8
2、等腰三角形两边长分别是2㎝和5㎝，则这个三角形周长是（ ）
A.9㎝ B.12㎝ C. 9㎝ 或12㎝ D.14㎝
3、如图在平行四边形ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm ,AE平分∠BAD交 BC边于点E、则EC等于 （ ）
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
4、如图△ＡＢＣ中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=______.
A D C
D
B E C
A B
（第3题） （第4题）
5、如图△ＡＢＣ中，AB=AC，CD平分∠ACB，交AB于D点，AE∥DC，交BC的延长线于点E，已知∠E=36°,则∠B=___________.
6、已知如图△ＡＢＣ是等腰三角形AB=BC、∠ABC=90°，AB=10，D为△ＡＢＣ外一点，连结ＡＤ、ＢＤ，过Ｄ做ＤＨ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ，DH交ＡＣ于Ｅ。
（１）若△ＡＢＤ是等边三角形，求ＤＥ的长。
（２）若ＢＤ＝AB，且tan∠HDB=,求DE的长
A A
D
B D E H
C E
C B
（第5题） （第6题）
六、总结通法
1、利用三角形三边关系，知道三角形两边可确定第三边的范围。
2、等腰三角形或等边三角形三线合一。
3、直角三角形中有30°的角，注意利用30°所对直角边等于斜边的一半。
七、变式训练
1、若直角三角形的三边长分别为2、4、X，则X可能值为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x－6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A.11 B.13 C.11或13 D.11和13
3、如图矩形ABCD的周长为20㎝，两条对角线相交于O点，，过O点作AC的垂线EF分别交ＡＤ、ＢＣ与Ｅ、Ｆ点，连结ＣＥ，则△ＣＤＥ的周长为（ ）
Ａ．5㎝ Ｂ．8㎝ Ｃ．9㎝ Ｄ．10㎝
A
A E D
O
E
B F C B C
D
(第3题) （第4题）
４、如图△ＡＢＣ中，BＣ=AC，∠C=90°，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，已知ＣＤ＝4㎝，则ＡＣ＝＿＿＿㎝．
５、等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形底角为＿＿＿＿＿＿．
６、如图将纸片ＡＢＣ沿ＤＥ折叠点Ａ落在Ａ‵处，已知∠１＋∠２＝100°则∠Ａ =____
A
D E
α
1 2
A‵
B C
（第6题） （第7题）
７、如图把一副三角尺叠放在一起，∠α的度数是＿＿＿＿＿＿．
８、如图点Ｏ是等边三角形内一点，∠ＡＯＢ＝110°，∠ＢＯＣ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60度，得△ADC，连结OD。
（1）求证△COD是等边三角形。
（2）当∠α=150度，试判断△AOD的形状，并说明理由。
（3）探究当α为多少度时△AOD是等腰三角形。
A
D
110° O
α
B C
(第8题)
八、反馈测试
1、小芳要画一个有两边长分别为5㎝和6㎝的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A.16㎝ B.17㎝ C.16㎝或17㎝ D.11㎝
2、如图在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠Ａ=44°，CＤ⊥ＡＢ于D，则∠DCB=（ ）
A. 44° B.68° C. 46° D. 22°
A C′
A D
D
B C
B C E
（第2题） （第3题）
3、将一张矩形纸片ABCD如图折起来，使定点C落在C处，其中AB=4，若∠CED=30°，则折痕ED的长为（ ）
A.4 B.4 C.8 D. 5
4、如图将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a，则①DC‵平分∠BDE。②BC长为（+2）a ③△BCD是等腰三角形 ④△CED的周长等于BC的长，其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A A
D D
B C B E C B C′ E C
（第4题）
5、如图在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD，AB=AD，∠Ａ=120°，则∠C=_________°
A D A
E
B C
C D B
（第5题） （第6题）
6、如图在三角形ABC中，AC=BC=2, ∠ＡCB=90°,D是BC边上的中点，点E是AB上的一动点，则EC+ED的最小值是 _________
7、如图在三角形ABC中，BC=5㎝，BP、CP分别是∠ＡCB和∠ＡBC的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_________㎝.
A A
D
P
B D E C B C E
(第7题) （第8题）
8、如图在三角形ABC中，BD平分∠ＡBC，CD平分∠ＡCE，请你写出∠Ａ与∠D的关系是__________.
9、将一根25㎝的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝、和10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是___________________.
10、如图在三角形ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AＤ⊥ＡＢ，点E是BD的中点，连结AE。
（1）求证∠AEC=∠C
（2）求证BD=2AC
（3）若AE=6.5，AD=5，求三角形ABE的周长。
A
B E D C
（第10题）
参考答案 1C 2D 3C 4B 5、 75° 6、+1 7、5 8 ∠A=2∠D 9、5cm
10①证明∵AE=BE ∴∠AEC=2∠B 又∵∠C=2∠B ∴∠AEC=∠C
②证明∵△ABD是直角三角形、E是BD的中点∴BD=2AE 又∵∠AEC=∠C
∴AE=AC ∴BD=2AC
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