2023-2024学年黑龙江省哈工大附中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈工大附中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的绝对值是( )
A. B. C. D.
2.下列运算一定正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，是的直径，是的切线，点为切点，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.方程的解为( )
A. B. C. D.
7.已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是( )
A.
B.
C.
D.
8.一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，，，则的长为
( )
A. B. C. D.
10.周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家在整个过程中，小辉离家的距离单位：与他所用的时间单位：之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有兆瓦，用科学记数法表示为______兆瓦．
12.在函数中，自变量的取值范围是______．
13.的算术平方根是______．
14.把多项式分解因式的结果是______．
15.不等式组的解集是______．
16.二次函数的最大值是______．
17.若双曲线的图象的一支位于第四象限，则的取值范围是______．
18.一个扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角是______度．
19.在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为________度．
20.如图，矩形的对角线的垂直平分线交于点，交于点，连接，的面积为，，则的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
先化简再求值：，其中．
22.本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
在方格纸中将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，请画出；
在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形点在小正方形的顶点上连接，请直接写出线段的长．
23.本小题分
民海中学开展以“我最喜欢的健身活动”为主题的调查活动，围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞类四类健身活动中，你最喜欢哪一类？必选且只选一类”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的请你根据图中提供的信息解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
请通过计算补全条形统计图；
若民海中学共有名学生，请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名．
24.本小题分
已知四边形是正方形，点在边的延长线上，连接交于点，过点作，垂足为点，的延长线交于点，交的延长线于点．
如图，求证：；
如图，若，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个三角形除外，使写出的每个三角形都与全等．
25.本小题分
君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的、两种型号的毛笔若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元；若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元．
求每支种型号的毛笔和每支种型号的毛笔各多少元；
君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共支，总费用不超过元，那么该中学最多可以购买多少支种型号的毛笔？
26.本小题分
如图，内接于，半径平分，延长交于点．
如图，求证：；
如图，延长交于点，当时，求证：为等边三角形；
如图，在的条件下，点在弧上，点在弧上，连接、、、，交于点，，且，连接，当时，求的长．
27.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，且．
求的值；
点为抛物线的顶点，点在第三象限的抛物线上，轴，交直线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式；
在的条件下，连接、，交轴于点，连接、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线交轴于点，当时，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得．
故选：．
绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
考查了绝对值的性质．
2.【答案】
【解析】解：、，原计算正确，故此选项符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则，完全平方公式、合并同类项法则解答即可．
本题考查了整式的运算．解题的关键是熟练运用整式的运算法则和乘法公式．
3.【答案】
【解析】解：、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故A符合题意；
B、、中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B、、不符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
4.【答案】
【解析】解：从正面看，共有三列，每列的小正方形个数分别为、、，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了锐角三角函数的定义．
先根据切线的性质得到，然后利用正切的定义求的长．
【解答】
解：是的直径，是的切线，
，
，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
检验：当时，，
分式方程的解为．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
7.【答案】
【解析】解：，，
以，，
A、在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
B、在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C、在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D、在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意．
故选：．
因为，所以、同号，又，所以，，观察图形判断出小手盖住的点在第四象限，然后解答即可．
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
8.【答案】
【解析】解：从袋子中随机摸出一个小球共有种等可能结果，摸出的小球是红球的结果数为，
摸出的小球是红球的概率为，
故选：．
用红球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，，，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例由得到，然后根据比例的性质可求出．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
10.【答案】
【解析】解：由题意，得：
小辉从家去图书馆的速度为：；
小辉从图书馆回家的速度为：．
故选：．
根据题意可知小辉家与图书馆的距离为，去图书馆花了分钟，回来时用了分钟，再根据“速度路程时间”列式计算即可求解．
本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．
11.【答案】
【解析】解：数字用科学记数法可表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12.【答案】
【解析】解：由题意得：
，
，
故答案为：．
根据分母不能为，可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不能为是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：的算术平方根是．
故答案为：．
利用算术平方根的意义解答即可．
本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
15.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：二次函数，
，
有最大值，
当时，有最大值，最大值是．
故答案为：．
利用二次函数的性质解决问题．
本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：双曲线的图象的一支位于第四象限，
，即．
故答案为：．
根据反比例函数的图象与性质进行解答即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：设扇形的圆心角为，
则，
，
故答案为：．
设扇形的圆心角为，利用扇形面积公式列方程，即可求出．
本题考查扇形面积公式，解题关键是掌握扇形面积公式．
19.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是本题的关键．
当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理可得结论．
【解答】
解：分两种情况：
如图，当时，
，
；
如图，当时，
，，
，
，
综上，则的度数为或；
故答案为：或．
20.【答案】
【解析】解：如图，设，交于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
设，则，，
是线段的垂直平分线，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
解得：或不合题意，舍去，
，
故答案为：．
设，交于点，由矩形的性质，三角形的正切的定义得出，设，则，，由线段的垂直平分线的性质得出，由∽，得出，代入计算求出，进而得出，由，得出，得出或不合题意，舍去，即可得出的长度．
本题考查了解直角三角形，线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
21.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【解析】本题主要考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
先根据分式的混合运算法则化简原式，再依据特殊锐角三角函数值求得的值，代入计算可得．
22.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；
．

【解析】利用网格特点和平移的性质画出、、的对应点即可；
先把绕点逆时针旋转得到，则为等腰直角三角形，然后取的中点，则满足条件，最后利用勾股定理计算．
本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了等腰直角三角形的性质．
23.【答案】解：名，
答：一共抽取了名学生；
名，
补全条形统计图如下：
名，
答：估计该中学最喜欢球类的学生共有名．
【解析】根据最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的即可得出答案；
先求出武术类的人数，再补全统计图；
利用样本估计总体即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
，，，，
理由如下：，
，
≌，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可证≌，
，
，
在和中，
，
≌，
同理可证≌，≌．
【解析】由正方形的性质可得，，由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，由“”可证≌，≌，≌．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
25.【答案】解：设每支种型号的毛笔元，每支种型号的毛笔元；
由题意可得：，解得：，
答：每支种型号的毛笔元，每支种型号的毛笔元；
设种型号的毛笔为支，则买型毛笔支，
由题意可得：，
解得：，
答：最多可以购买多少支种型号的毛笔．
【解析】设每支种型号的毛笔元，每支种型号的毛笔元，由题意列出方程组，即可求解；
设种型号的毛笔为支，由“总费用不超过元”列出不等式，即可求解．
本题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，找出正确的等量关系和不等关系是解题的关键．
26.【答案】证明：连，，如图，
，
，
，
，
平分，
，
又，
≌，
，
，
；
证明：连，，如图，
设，则，
，
，
，
，
，，
，
垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
为等边三角形；
解：连接，，，，过点作，交的延长线于点，如图，
，
为的直径，即经过点．
，
．
．
．
．
是的直径，
．
，
四边形为矩形．
，，
．
，
．
．
．
，
为等腰直角三角形．
，．
．
设，则，
．
解得：．
．
【解析】利用垂径定理的推论解答即可；
利用垂径定理的推论得到，设，则，则，可得圆的半径与弦心距，解直角三角形得到，再利用圆周角定理即可得出结论；
连接，，，，过点作，交的延长线于点，利用垂径定理及其推论，圆周角定理得到为等腰直角三角形，设，则，，利用，列出方程求得值，则结论可得．
本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理及其推论，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等弧对等弦和等弦对等弧，熟练掌握圆的有关性质并恰当的添加辅助线是解题的关键．
27.【答案】解：当时，，
解得，，
，，
，
，
，
，
，
解得；
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
点的横坐标为，
，
轴，
，
；
当点在点上方时，连接，，延长交于点，
，，，
，，，
，
是直角三角形，，
由旋转可知，
，
，，
≌，
，
，
，
点、、、四点共圆，
，
，
，
，
，
，
过点作交于点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，
，，
，
≌，
，，
，
，，
设直线解析式，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，--，
解得，
，
，
解得舍或，
；
当点在点下方时，延长交于点，交于点，连接，，
同理可知≌，
，
，
，
点、、、四点共圆，
，
，
，
，
过点作交的延长线于点，过点作轴交轴于点，过点作交于点，
，
，
≌，
，，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
直线的解析式为，
，
解得舍或，
；
综上所述：点坐标为或．
【解析】当时求出、点坐标，再由，求出点坐标，根据，求出的值即可；
求出直线的解析式为，则，，可得；
分两种情况讨论：当点在点上方时，当点在点下方时，分别得到，，分别求点坐标即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
第1页，共1页