2023-2024学年黑龙江省大庆铁人中学高二(下)开学数学试卷(含解析)

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名称 2023-2024学年黑龙江省大庆铁人中学高二(下)开学数学试卷(含解析)
格式 docx
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-03-26 08:53:03

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文档简介

2023-2024学年黑龙江省大庆铁人中学高二(下)开学数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.圆:的圆心与半径分别为( )
A. , B. ,
C. , D. ,
2.已知直线与直线平行,则实数的值是( )
A. 或 B. C. D.
3.正四面体边长为,点、分别是、的中点,则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知是等比数列,是等差数列,,,公比等于公差,,则为( )
A. B. C. D.
5.设椭圆:的左、右焦点分别为、,是上的点,,则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.数列、满足,,则的前项之和等于( )
A. B. C. D.
7.若双曲线与直线没有交点,则双曲线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.如图,过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,与其准线交于点点位于,之间且,于点且,则等于( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.若,,,,成等比数列,则( )
A. B. C. D.
10.过点引圆的切线,则切线方程为( )
A. B. C. D.
11.已知曲线,则( )
A. 可能是两条平行的直线
B. 既不可能是抛物线,也不可能是圆
C. 不可能是焦点在轴上的双曲线
D. 当时,是一个焦点在轴上的椭圆
12.如图,是一块半径为的圆形纸板,在的左下端前去一个半径为的半圆后得到图形,然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个前掉半圆的半径得图形,,,,,记纸板的周长为,面积为,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.过点,在轴上和轴上的截距分别是,且满足的直线方程为_________________.
14.已知数列为递减数列,其前项和,则实数的取值范围是______.
15.已知抛物线:的焦点为,过点且斜率为的直线与抛物线交于,两点点在轴的上方,则______.
16.棱长为的正方体,点是侧面内的一个动点不包含端点,若点满足平面,则的最小值为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知的顶点坐标分别是,,.
求的外接圆方程;
求的面积.
18.本小题分
已知数列满足,且,.
求,,并证明:数列是等比数列;
求数列的前项和.
19.本小题分
已知抛物线的准线方程是,
求抛物线的方程;
设直线与抛物线相交于,两点,为坐标原点,证明:.
20.本小题分
已知正项数列的前项和满足
求数列的通项公式;
若,求数列的前项和.
21.本小题分
如图,,分别是直径的半圆上的点,且满足,为等边三角形,且与半圆所成二面角的大小为,为的中点.
求证:平面;
在弧上是否存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,求出点到平面的距离;若不存在,说明理由.
22.本小题分
在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,焦距为.
求椭圆的方程.
动直线交椭圆于、两点,是椭圆上一点,直线的斜率为,且是线段延长线上一点,且,的半径为,,是的两条切线,切点分别为,,求的最大值.
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程与标准方程的互化,属于简单题.
化一般方程为标准方程,即可得到圆心与半径.
【解答】
解:圆:,的标准方程为:,
则其圆心坐标为,半径为.
故选:.
2.【答案】
【解析】解:当时,两直线都为,两直线重合,不符合题意;
当时,由两直线平行,得到,解得,
经检验,此时两直线不重合,即直线与直线平行,
综上,实数的值是.
故选:.
讨论是否为,不等于时,根据直线平行,列式计算,求得的值,验证后即可确定答案.
本题主要考查直线平行的性质,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:如图所示,
,,

故选:.
如图所示,,,代入,利用数量积运算性质即可得出.
本题考查了数量积运算性质、向量平行四边形法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
4.【答案】
【解析】解:是等比数列,,,
,,
,,.
故选:.
由等比数列的通项公式,解方程可得公比,再由等差数列的通项公式,可得所求值.
本题考查等比数列和等差数列的通项公式,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:,,,
,,
又,
,,
的离心率为:.
故选:.
设,在直角三角形中,依题意可求得与,利用椭圆离心率的性质即可求得答案.
本题考查椭圆的简单性质,求得与及是关键,考查理解与应用能力,属于中档题.
6.【答案】
【解析】解:
故选项为.
先求出数列的通项公式,然后写出数列的前项之和,利用裂项的方法求和即可.
本题考查了数列的求和对于通项公式为,一般采取裂项的方法求前项和,属于基础题.
7.【答案】
【解析】解:因为双曲线的一条渐近线为,直线,由题意可得,即;
又因为,所以;
又因为双曲线离心率,所以双曲线离心率,
故选:.
利用双曲线与直线没有公共点,结合双曲线的渐近线与直线的关系,转化求解来这里的范围即可.
本题考查双曲线的简单性质的应用,离心率的范围的求解,是中档题.
8.【答案】
【解析】解:设于点,准线交轴于点,
则,又,
,,又于点且,

,即,

等于.
故选:.
由题可得,然后结合条件可得,即可得的值.
本题主要考查直线与抛物线的综合问题,圆锥曲线与向量的综合问题等知识,属于中等题.
9.【答案】
【解析】解:,,,,成等比数列,
,解得,
当时,,,,,
当时,,,,.
故选:.
由,,,,成等比数列,求出公比,由此能求出结果.
本题考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
10.【答案】
【解析】解:根据题意,圆的圆心为,半径,
过点引圆的切线,
若切线的斜率不存在,此时切线的方程为,符合题意;
若切线的斜率存在,设此时切线的斜率为,则其方程为,即,
则有,解可得,则切线的方程为,
综合可得:切线的方程为或;
故选:.
根据题意,分析圆的圆心与半径,据此分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论,分析求出切线的方程,综合即可得答案.
本题考查圆的切线方程,注意分析切线斜率不存在的情况,属于基础题.
11.【答案】
【解析】解:当时,可能是两条平行的直线,即,所以A正确;
曲线,方程不可能出现抛物线方程的形式,
当时,方程化为,时,方程表示圆,即,即,显然不成立,所以方程不表示圆.
所以B正确;
当,时,,是焦点在轴上的双曲线,所以不正确;
当时,方程化为,方程表示椭圆,,所以椭圆的焦点坐标在轴上,所以不正确.
故选:.
利用和的取值逐一判断即可.
本题考查曲线方程的应用,椭圆以及双曲线,抛物线的简单性质的应用,是中档题.
12.【答案】
【解析】解:根据题意可得纸板相交于纸板剪掉了半径为的半圆,
故,即,
故L,,,,
累加可得,
所以,故A正确,C错误;
又,故,即,故D正确;
又,,,
累加可得,故正确,故B正确;
故选:.
观察图形,分析剪掉的半圆的变化,纸板相交于纸板剪掉了半径为的半圆,再分别写出和的递推公式,从而累加得到通项公式再逐个判断即可
本题主要考查逻辑推理,属于中档题.
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查直线方程的求法,直线的点斜式方程的应用,考查计算能力.
设出直线的点斜式方程,求出,,利用,求出直线的斜率,然后求出直线方程.
【解答】
解:显然直线的斜率存在,设直线的斜率为,所以直线方程为:.
令,得,令,得,
由题意可知,,
因为,所以,
解得或,
故所求的直线方程为:或,
即或.
故答案为:或.
14.【答案】
【解析】解:当时,,
当时,,,
当时,,数列递减,
综上所述,若使为递减数列,只需满足,即,
解得,
故答案为:.
先由求出数列的通项公式,根据通项公式可知,当时,数列递减,因此只需使即可.
本题考查数列的单调性,属于基础题.
15.【答案】
【解析】解:设,,
由可得直线的方程为,
联立方程,
化为,
解得,,且有.
由抛物线的定义,则.
故答案为:.
设,,由可得直线的方程为,联立方程,化简利用根与系数的关系、抛物线的定义即可得出.
本题考查了直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、抛物线的定义,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
16.【答案】
【解析】解:如图所示,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系,
则,,设,则,,
因为,所以,整理可得,
不妨设,,


当时,取得最小值为,
故答案为:.
建立空间直角坐标系,由题意结合点的坐标得到长度的表达式,然后求解其最小值即可.
本题主要考查立体几何中的最值与范围问题,空间向量及其应用,空间想象能力的培养等知识,属于中等题.
17.【答案】解:设圆的方程为,
则将,,三点代入可得,
,,,
所以所求圆的方程为.
由题意得,

所以:,
即,
点到直线的距离为

所以.
【解析】设圆的方程为,再把三个点的坐标代入求解即可.
求出以及直线的方程,结合点到直线的距离公式求得三角形的高,进而求解结论.
本题主要考查圆的方程的求解,考查计算能力,属于基础题.
18.【答案】证明:由题意,,
则,

当时,由两边同时加,
可得,
即,

数列是以为首项,公比为的等比数列.
解:由可得,,
则,


【解析】先根据题干递推公式逐项代入即可计算出,的值,当时,由两边同时加,进一步推导即可得到,即可证得数列是以为首项,公比为的等比数列;
先根据第题的结果计算出数列的通项公式,再计算出数列的通项公式,进一步计算出数列的通项公式,最后运用分组求和法以及等比数列求和公式的运用即可计算出前项和.
本题主要考查等比数列的判定,以及数列求和问题.考查了整体思想,转化与化归思想,迭代法,分组求和法,等比数列求和公式的运用,以及逻辑推理能力和数学运算能力,属中档题.
19.【答案】解:由抛物线的准线方程为,则,则,
抛物线方程为:;
证明:设,,由,消去整理得,
,由,,两式相乘,得,
注意到,异号,所以,
则,

【解析】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标运算,考查计算能力,属于基础题.
根据抛物线的性质,即可求得的值,求得抛物线方程;
将直线方程代入抛物线方程,利于韦达定理即可,由,即可求得,利用向量的坐标运算,即可求得.
20.【答案】解:当时,,解得;
当时,,又,
两式相减可得,
化为,
因为,所以,
即有是首项为,公差为的等差数列,
则:

数列的前项和,

两式相减可得,

化为.
【解析】由数列的递推式:当时,;当时,,结合等差数列的定义和通项公式,可得所求;
求得,由数列的错位相减法求和,结合等比数列的求和公式可得所求和.
本题考查数列的递推式和等差数列、等比数列的通项公式和求和公式的运用,以及数列的错位相减法求和,考查转化思想和运算能力、推理能力,属于中档题.
21.【答案】解:证明:设为的中点,连接,则,
因为为等边三角形,为中点,所以,
又平面与半圆所成二面角的大小为,平面与半圆所在的平面的交线为,
则平面,
以为原点,,,所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
,,,
设平面的法向量为,
所以,
取,
因为,所以,
又平面,所以平面;
设平面的法向量为,
,,
所以,取,
因为圆的方程为,设,,

设直线与平面所成角为,则,
则,则,
所以,,
故在弧上存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值为,
点到平面的距离为.
【解析】设为的中点,连接,推导出,,从而平面,以为原点,,,所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明平面;
求出平面的法向量,利用向量法能求出点到平面的距离.
本题考查线面垂直的证明、点到平面的距离、线面角正弦值等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
22.【答案】解:由题意得,,
又,,,
椭圆方程为:;
设,,
联立,得,

,,

,,
直线的方程为:,
联立,得,,



令,,且,,
则,
当且仅当,,即,时等号成立,
,因此,
的最大值为,
综上所述,的最大值为,此时.
【解析】根据焦距易得,,再根据离心率为可得椭圆方程;
将直线与椭圆联立得到方程组,利用弦长公式得到的表达式,再利用,则可得到,即圆半径的表达式,根据,则,则将直线的方程与椭圆方程联立,得到的表达式,利用,将上述表达式代入,利用换元法结合二次函数最值得到的最值,最终得到的最大值.
本题考查了求椭圆的方程、直线与椭圆相交的弦长公式、转化思想、韦达定理,第二问计算量与思维量较大,对于弦长公式要做到熟练运用,角度最值转化为在一定角度范围内的角的正弦值的最值,最终结合换元法,配方法等求解函数表达式的最值,从而得到角度的最值,属于难题.
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