8.4.1　平面 同步练习（含解析）

8．4.1　平面
必备知识基础练　
1．下列命题正确的是(　　)
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)
A．A a，a α，B∈α B．A∈a，a α，B∈α
C．A a，a∈α，B α D．A∈a，a∈α，B∈α
3．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条
4．已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，则(　　)
A．P∈c B．P c C．c∩a＝ D．c∩β＝
5．(多选)下列图形中一定是平面图形的有(　　)
A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．四条边相等的四边形
6．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．梯形的四个顶点共面
B．三条平行直线共面
C．有三个公共点的两个平面重合
D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．
7．已知α∩β＝m，a α，b β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．
8．在平行六面体ABCD A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱的条数为________．
关键能力综合练　
1．已知空间中有A，B，C，D，E五个点，如果点A，B，C，D在同一个平面内，点B，C，D，E在同一个平面内，那么这五个点(　　)
A．一定共面 B．不一定共面
C．一定不共面 D．以上都不对
2．下列命题是真命题的是(　　)
A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
B．若四点不共面，则其中任意三点不共线
C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分
3．在三棱锥A BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P(　　)
A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上
4．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)
直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
5．(多选)已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是(　　)
A．l α，A∈l A α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l α
D．A∈α，A∈l，l α l∩α＝A
6．(多选)以下四个命题中，不正确的命题是(　　)
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面
C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
7．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
8.在空间四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，若直线EH与FG相交于点P，则点P与直线BD的关系是________．
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，若P为棱BB1的中点，判断平面D1PC与平面ABCD是否相交．如果相交，作出这两个平面的交线．
10．如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．求证：直线AD，BD，CD在同一平面内．
核心素养升级练　
1.如图，四棱锥P ABCD，AC∩BD＝O，M是PC的中点，直线AM交平面PBD于点N，则下列结论正确的是(　　)
A．O，N，P，M四点不共面
B．O，N，M，D四点共面
C．O，N，M三点共线
D．P，N，O三点共线
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1和C1D1的中点分别为M，N.如图，若以A，M，N所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为(　　)
A．六边形　B．五边形 C．四边形　D．三角形
3．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：
(1)C1、O、M三点共线；
(2)E、C、D1、F四点共面；
(3)CE、D1F、DA三线共点．
参考答案
必备知识基础练
1．答案：D
解析：过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确．故选D.
2．答案：B
解析：点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a α，B∈α.
故选B.
3．答案：D
解析：三个平面可能交于同一条直线，也可能有三条不同的交线，如图所示：
故选D.
4．答案：A
解析：
因为α∩β＝a，β∩γ＝b，所以a α，b γ，
由a∩b＝P，可得P∈a且P∈b，
所以P∈α且P∈γ，
因为γ∩α＝c，所以P∈c，故选项A正确，选项B不正确；
因为P∈c，P∈a，所以c、a有公共点P，故选项C不正确；
因为P∈b，b β，所以P∈β，因为P∈c，所以c与β有公共点P，故选项D不正确．
故选A.
5．答案：ABC
解析：由平面及基本性质知：
三角形的三个顶点不共线，故三角形一定是平面图形，故A正确；平行四边形的两组对边分别平行，故平行四边形一定是平面图形，故B正确；梯形有一组对边平行，故梯形一定是平面图形，故C正确；四边相等的四边形可能是空间四边形，故D不正确．故选ABC.
6．答案：AD
解析：梯形是平面图形，四个顶点共面，A正确；三条平行直线可以确定1个或3个平面，B错误；若这三个点共线，则两个平面相交，故C错误；若三条直线交于一点，可以确定3个平面，若三条直线交于三点，可以确定1个平面，D正确．
故选AD.
7．答案：A∈m
解析：因为α∩β＝m，a α，b β，a∩b＝A，
所以A∈α，A∈β，所以A∈m.
8．答案：5
解析：如图，满足条件的有BC，DC，BB1，AA1，D1C1.
关键能力综合练
1．答案：B
解析：设点A，B，C，D在同一个平面α内，
若E∈α，则五点共面，
若B，C，D∈l，且E α，这种情况五点不共面．
故选B.
2．答案：B
解析：A.如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；B.若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确；C.空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥P ABC，相交于同一点P的三条直线PA，PB，PC不在同一平面内，所以该选项错误；D.三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误．
故选B.
3．答案：B
解析：如图，
∵EF 平面ABC，HG 平面ACD，EF∩HG＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC.
故选B.
4．答案：C
解析：由题意知，D∈l，l β，∴D∈β.
又D∈AB，∴D∈平面ABC，
即D在平面ABC与平面β的交线上．
又C∈平面ABC，C∈β，
∴点C在平面β与平面ABC的交线上．
从而有平面ABC∩平面β＝CD.
故选C.
5．答案：BCD
解析：l α，A∈l，则点A可能在面α内，也可能不在面α内．故错误；为公理2，可判断面面相交．故B正确；为公理1，可判断出线在面内．故C正确；A∈α，A∈l说明直线与平面有公共点，又l α，所以l∩α＝A.故D正确．
故选BCD.
6．答案：BCD
解析：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，正确；若A，B，C三点共线，直线DE与直线AC异面，此时A，B，C，D，E不共面，B错误；a，b共面，a，c共面，此时b，c可为异面直线，C错误；依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，D错误．
故选BCD.
7．答案：共线
解析：因AC∥BD，则AC与BD确定一个平面β，而C，D∈α，从而得α∩β＝CD，
又l∩α＝O，即O∈α，而l β，则有O∈β，于是得O∈CD，
所以O，C，D三点共线．
8．答案：P∈BD
解析：由题意，P∈EH，P∈FG，而EH 平面ABD，FG 平面CBD，
∴P∈平面ABD，P∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，
∴P∈BD.
9．解析：平面D1PC与平面ABCD相交，
如图，连接DB、D1P并延长交于Q，连接CQ，
则平面D1PC∩平面ABCD＝CQ.
10．证明：因为点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．
所以点A，B，D确定唯一的一个平面，设为α，
所以l α，因为C∈l，所以C∈α，因为A，B，C，D∈α，
所以AD α，BD α，CD α，即直线AD，BD，CD在同一平面内．
核心素养升级练
1．答案：D
解析：直线AC与直线PO交于点O，所以平面PCA与平面PBD交于点O，所以必相交于直线PO，直线AM在平面PAC内，点N∈AM，故N∈平面PAC，故O，N，P，M四点共面，所以A错．
若点D与M，N共面，则直线BD在平面PAC内，与题目矛盾，故B错．
O，M为中点，所以OM∥PA，ON∩PA＝P，故ON∩OM＝O，故C错．
故选D.
2．答案：B
解析：如图，延长AM，A1B1相交于点P，
连接PN并延长，与B1C1相交于点E，与A1D1的延长线相交于点Q，
连接AQ，与DD1相交于点F，
连接NF，ME，则五边形AMENF即为截面．
故选B.
3．证明：(1)∵A1C∩平面BDC1＝O，∴O∈A1C，O∈平面BDC1；
又∵A1C 平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1；
∵AC、BD交于点M，∴M∈AC，M∈BD；
又AC 平面ACC1A1，BD 平面BDC1，
∴M∈平面ACC1A1，M∈平面BDC1；
又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面BDC1；
∴C1、O、M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线．
(2)连接EF，
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF∥BA1，
又∵BC∥A1D1，BC＝A1D1，∴四边形BCD1A1是平行四边形，
∴BA1∥CD1，∴EF∥CD1，∴E、F、C、D1四点共面．
(3)∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
设CE与D1F交于一点P，则P∈CE，CE 平面ABCD，
∴P∈平面ABCD，同理，P∈平面ADD1A1，
∴P∈平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
∴直线CE、D1F、DA三线交于一点P，即三线共点．